1.1.4 设计的简化现象

好的非线性控制器设计比相应的线性控制器更加简单直观。这个似乎不合理的结论是因为非线性控制器设计通常源于物理特性。如一个垂直于平面的摆，从任意初始位置开始作简谐振动并最后停止于垂直位置，尽管摆的运动可以通过其在平衡点附件的线性化进行分析，但物理上它的稳定性与线性化系统矩阵的特征值无关，而是由于各种摩擦力（如铰链的摩擦）使系统的全部机械能耗尽。因此，摆停在能量最小的位置。

例1.4　单摆模型。

摆杆长度为l，摆锤质量为m，假设杆是硬质的且质量为零。用θ表示杆与通过中心点的竖直轴之间的夹角。单摆在竖直平面内自由摆动，摆锤以半径为l作圆周运动。为了写出单摆的运动方程，先来确定作用在摆锤上的力，有一个向下的重力mg，g为重力加速度。还有一个阻碍运动的摩擦力，假设与摆的速度成正比，摩擦系数为k。运用牛顿第二定律，得到运动方程为

假设x1=θ，则有

这也是一个理想化的非线性控制系统。