命题XXXIII 定理IX

假设［以上的结果］今已求得，我说下落物体在任意位置C的速度比物体画出中心为B，间隔为BC的圆的速度，按照AC，物体离圆或者直角双曲线的那边的顶点A的距离，比图形的主半直径12AB的二分之一次比。

设两个图形RPB，DEB的公共直径AB被平分于O；并引直线PT，它切图形RPB于P，又截那条公共直径AB（必要时延长之）于T，SY与这条切线，又BQ与这条直径垂直，图形RPB的通径假设为L。由命题XVI的系理9，显然，物体在围绕中心S的曲线RPB上任意位置P的运动速度比物体围绕同一中心，画出间隔为SP的圆的速度按照矩形 L×SP比SY的正方形的二分之一次比。但由《圆锥截线》，ACB比CP_q如同2AO比L，且因此（2CP_q×AO）/（ACB）等于L。所以那些速度彼此之比按照（CP_q×AO×SP）/（ACB）比SY_quad.的二分之一次比。再者，由《圆锥截线》，CO比BO如同BO比TO，由合比或者分比，如同CB比BT。或者由分比，或者由合比，BO－或者+CO比BO如同CT比BT，亦即，AC比AO如同CP比BQ；且因此（CP_q×AO×SP）/（ACB）等于（BQ_q×AC×SP）/（AO×BC）。现在图形RPB的宽度CP被减小以至无穷，使点P与点C，点S与点B，且直线SP与直线BC，直线SY与直线BQ重合；现在物体在直线CB上竖直下落的速度比物体画出中心为B，间隔为BC的圆的速度，按照（BQ_q×AC×SP）/（AO×BC）比SY_q的二分之一次比，这就是（忽略等量之比SP比BC和BQ_q比SY_q）按照AC比AO或者 AB的二分之一次比。此即所证。

系理1 点B与S重合时，TC比TS变成如同AC比AO。

系理2 一个物体在离中心的距离给定的任意圆上运行，当它自身的运动转化为向上的运动时，将上升到两倍于它自己离中心的距离。