命题XXXV 定理XI

对同样的假设，我说图形DES的面积，它由不定的半径SD画出，等于一个面积，它能由一个物体围绕中心S，在半径等于图形DES的通径之半的轨道上均匀地运行，在相同的时间画出。

因为设想一个物体C在下落中在极短的时间段画出短线Cc，且在此期间另一个物体K围绕中心S运行，在圆OKk上均匀地画出弧Kk。竖立垂线CD，cd交图形DES于D，d。连结SD，Sd，SK，Sk，并引Dd交轴AS于T，又向它［Dd］落下垂线SY。

情形1 现在如果图形DES为圆或直角双曲线，它的横截直径^（23）（transversa diameter）AS被平分于O，则SO为通径之半，又因为TC比TD如同Cc比Dd，且TD比TS如同CD比SY，由错比，TC比TS如同CD×Cc比SY×Dd。但是（由命题XXXIII系理1）TC比TS如同AC比AO，如果依点D，d会合时线段所取的最终比计算。所以AC比AO或者SK如同CD×Cc比SY×Dd。再者，下落物体在C的速度比物体以间隔SC围绕中心S画出一个圆的速度，按照AC比AO或者SK的二分之一次比（由命题XXXIII）。且这个速度比物体画出圆OKk的速度按照SK比SC的二分之一次比（由命题IV系理6），再由错比，第一个速度比最后一个速度，这就是，短线Cs比弧Kk，按照AC比SC的二分之一次比，亦即按照AC比CD之比。所以CD×Cc等于AC×Kk，且因此AC比SK如同AC×Kk比SY×Dd，由是SK×Kk等于SY×Dd，则 SK×Kk等于 SY×Dd，亦即，面积KSk等于面积SDd。所以在生成两小块面积的小部分KSk和SDd的每一时间的小部分，如果它们的大小减小且数目增加以至无穷，得到等量之比，且所以（由引理IV系理）同时生成的总面积总相等。此即所证。

情形2 但是，如果图形DES为抛物线，如同上面发现CD×Cc比SY×Dd如同TC比TS，这就是，如同2比1，且因此 CD×Cc等于 SY×Dd。但下落物体在C的速度等于一个速度，（由命题XXXIV）以它［物体］能均匀地画出间隔为 SC的一个圆。且这个速度比一个速度，以它［物体］能画出半径为SK的一个圆，这就是，线段Cc比弧Kk（由命题IV系理6）按照SK比 SC的，亦即，按照SK比 CD的二分之一次比。所以 Sk×Kk等于 CD×Cc，且因此等于 SY×Dd，这就是，面积KSk等于面积SDd，如同上面。此即所证。