1.3　向量代数与场论

本书将重点介绍梯度、散度和旋度这三个概念，以及格林公式、高斯公式和斯托克斯公式这三个重要的定理。这些概念都是紧密相连、层层递进的。为了更好地理解它们，也有必要补充一些内容，这些知识要么是在后续定理的证明过程中发挥重要作用（如牛顿-莱布尼茨公式），要么就是与定理的表述密不可分（如内积和外积的概念）。需要说明的是，这部分给出的积分是经典的黎曼积分，随着后续学习的深入，在第3章中，本书还会讨论勒贝格积分的有关内容。

1.3.1　牛顿-莱布尼茨公式

牛顿-莱布尼茨公式又被称为微积分的基本定理，可见其重要性。为了理解这个定理，有必要对一些基本内容进行简要介绍。首先，设函数f（x）在[a，b]上有界，在[a，b]中任意插入若干分点，即

a=x₀＜x₁＜x₂…＜x_n-1＜x_n=b

把区间[a，b]分成n个小区间为

[x₀，x₁]，[x₁，x₂]，…，[x_n-1，x_n]

各个小区间的长度依次为

Δx₁=x₁-x₀， Δx₂=x₂-x₁， …， Δx_n=x_n-x_n-1

然后，在每个小区间[x_i-1，x_i]上取任一点ξ_i（x_i-1≤ξ_i≤x_i），做函数值f（ξ_i）与小区间长度Δx_i的乘积f（ξ_i）Δx_i（i=1，2，…，n），并做出和

记λ=max{Δx₁，Δx₂，…，Δx_n}，若无论对[a，b]怎样划分，在小区间[x_i-1，x_i]上点ξ_i怎样选取，只要当λ趋近于零时，和S总趋近于确定的极限I，那么称这个极限I为函数f（x）在[a，b]上的定积分（简称积分），记作

其中，f（x）叫做被积函数，f（x）dx叫做被积表达式，x叫做积分变量，a叫做积分下限，b叫做积分上限，[a，b]叫做积分区间。

如果f（x）在[a，b]上的定积分存在，那么就说f（x）在[a，b]上可积。可以通过如下两个定理判定函数是否可积。

定理1　设f（x）在区间[a，b]上连续，则f（x）在[a，b]上可积。

定理2　设f（x）在区间[a，b]上有界，且只有有限个间断点，则f（x）在[a，b]上可积。

利用ε-δ的数学语言，上述定积分的定义可以表述为：设有常数I，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得对于区间[a，b]的任何分法，无论ξ_i在小区间[x_i-1，x_i]中怎样选取，只要λ＜δ，总有

成立，则称I为函数f（x）在[a，b]上的定积分，记作。

定积分有许多重要的性质，这里无法一一罗列，仅介绍后续推导中将用到的几个。例如，如果在区间[a，b]上，f（x）≥0，则

对于该性质，从定积分的几何意义上就能看出。定积分表示的是函数f（x）的曲线与x=a，x=b和y=0所围成的区域的面积。显然，若函数f（x）在区间[a，b]上的值都大于0就表示其曲线都位于横轴的上方，所以这时围成的面积自然也就大于0。

根据上述性质，还可以得出一个推论。

如果在区间[a，b]上，f（x）≤g（x），则

对此的解释就是，如果函数g（x）的曲线始终位于函数f（x）曲线的上方，那么由前者所围出的面积自然会大于后者。注意，这里的面积是有正负号的，即若两条曲线都位于横轴的下方，那么此时的情况是f（x）曲线围成的面积的绝对值大于g（x）所围出的面积的绝对值，但是由于二者原本就都是负数，所以仍然有f（x）的定积分小于g（x）的定积分。

据此又可以推导关于定积分的另外一条重要性质。

设M及m分别是函数f（x）在区间[a，b]上的最大值和最小值，则

证明　因为m≤f（x）≤M，所以由刚才给出的性质可得

由于M和m都是常数，则

即

得证。

在此基础上给出定积分中值定理：如果函数f（x）在积分区间[a，b]上连续，则在[a，b]上至少存在一个点ξ，使得下式成立

证明　把前一条性质中的不等式各除以b-a，得

这表明确定的数值

介于函数f（x）的最小值m与最大值M之间。根据闭区间上连续函数的介值定理，在[a，b]上至少存在一点ξ，使得函数f（x）在点ξ处的值与这个确定的数值相等，即应有

等式两端各乘以b-a，即得所要证明的等式，则原结论得证。

显然积分中值公式为

无论当a＜b或a＞b时都是成立的。

积分中值公式的几何意义：在区间[a，b]上至少存在一点ξ，使得以[a，b]为底边，以曲线y=f（x）为曲边的梯形的面积等于同一底边而高为f（ξ）的一个矩形的面积。

设函数f（x）在区间[a，b]上连续，并且x为[a，b]上的一点，那么f（x）在部分区间[a，x]上的定积分就为。显然，由于f（x）在区间[a，x]上依旧连续，所以这个定积分是存在的。此处x既表示定积分的上限，又表示积分变量。而且定积分与积分变量的记法无关，所以为了明确起见，可以把积分变量改成其他的符号，例如

如果上限x在区间[a，b]上任意变动，则对于每一个确定的x值，定积分都有一个对应值，所以它是在[a，b]上定义的一个函数，记作

这就是积分上限函数，它具有如下定理所指出的重要性质。

定理3　如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则积分上限函数Φ（x）=（t）dt在[a，b]上可导，并且它的导数

证明　如果设x∈（a，b），设x获得增量Δx，其绝对值足够小，使得x+Δx∈（a，b），则Φ（x）在x+Δx处的函数值为

由此得函数的增量

再应用前面讲过的积分中值定理，即有等式

ΔΦ=f（ξ）Δx

这里，ξ位于x和x+Δx之间。把上式两端各除以Δx，得函数增量与自变量增量的比值

由于假设f（x）在区间[a，b]上是连续的，而当Δx→0时，有ξ→x，因此（ξ）=f（x）。于是令Δx→0，对上式两端取极限时，左端的极限也应该存在且等于f（x）。这表明函数Φ（x）的导数存在，并且Φ′（x）=f（x）。

若x=a，取Δx＞0，则同理可证（a）=f（a）；若x=b，取Δx＜0，则同理可证（b）=f（b）。

定理得证。

该定理指出了一个重要结论：连续函数f（x）取变上限x的定积分然后求导，其结果还原为f（x）本身。联想到原函数的定义，就可以从前面的定理中推出Φ（x）是连续函数f（x）的一个原函数。因此，这里引出如下原函数的存在定理。

定理4　如果函数f（x）在区间[a，b]上连续，则函数

就是f（x）在区间[a，b]上的一个原函数。

在上述讨论的基础上，介绍微积分基本公式：如果函数F（x）是连续函数f（x）在区间[a，b]上的一个原函数，则有

为了方便起见，F（b）-F（a）也可以记成[F（x）]，所以上式又可以写成

这个公式又叫做牛顿-莱布尼茨公式。这个公式进一步揭示了定积分与被积函数的原函数或不定积分之间的联系。它表明一个连续函数在区间[a，b]上的定积分等于它的任意一个原函数在区间[a，b]上的增量。这也就给出了利用原函数来计算定积分的方法。

证明　已知函数F（x）是连续函数f（x）的一个原函数，又根据前面的介绍知道积分上限函数

同样也是f（x）的一个原函数。于是，这两个原函数之差F（x）-Φ（x）在区间[a，b]上必定是某个常数C，即

F（x）-Φ（x）=C， a≤x≤b

在上式中，如果令x=a，那么可得F（a）-Φ（a）=C。又由Φ（x）的定义及定积分的补充规定可知Φ（a）=0，显然此时围出的面积就是0。因此，F（a）=C。以F（a）代替上式中的C，以（t）dt代替上式中的Φ（x），可得

在上式中，令x=b，即得到所要证明的公式。显然，对于a＞b的情况，上式仍然成立。

1.3.2　内积与外积

定义　已知向量a=a₁i+a₂j+a₃k，b=b₁i+b₂j+b₃k，则a与b之内积为

a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃

借由内积，也可以给方向余弦一个更明确的意义，即

内积的性质：a、b和c是三个向量，k∈ℝ，则内积满足如下性质

（1）a·b=b·a；

（2）a·（kb）=k（b·a），（ka）·b=k（a·b）；

（3）a·（b+c）=a·b+a·c，（a+b）·c=a·c+b·c；

（4）|a|²=a·a＞0（a≠0）。

在给出向量内积的前提下，已知两个向量夹角的余弦可以定义成这两个向量的内积与它们模的乘积之比。对于平面向量而言，即向量都是二维的，向量的内积也可以表示成这样一种形式a·b=|a||b|cosθ。由此也可推出两个向量a、b相互垂直的等价条件就是a·b=0，因为cos（π/2）=0。当然，这也是众多教科书上介绍向量内积最开始时常用到的一种定义方式。但必须明确，这种表示方式仅仅是一种非常狭隘的定义。如果从这个定义出发介绍向量内积，其实是本末倒置的。因为对于高维向量而言，夹角的意义是不明确的。例如，在三维坐标空间中，再引入一维时间坐标，形成一个四维空间，那么时间向量与空间向量的夹角该如何解释呢？所以读者务必明确，首先应该是给出如本小节最开始时给出的内积定义，然后才能由此给出二维或三维空间下的夹角定义。在此基础上，证明余弦定律。

余弦定律　已知△ABC，其中∠CAB=θ，则。

证明　

注意与是相等的，因为一个向量与自身的夹角为0，而cos0=1，所以结论得证。

柯西-施瓦茨不等式　a、b是两个向量，则其内积满足不等式|a·b|≤|a||b|，当b=λa，λ∈ℝ时等号成立。

若根据a·b=|a||b|cosθ定义，因为0≤cosθ≤1，显然柯西-施瓦茨不等式是成立的。但是这样的证明方式同样又犯了本末倒置的错误，柯西-施瓦茨不等式并没有限定向量的维度。换言之，它对于任意维度的向量都是成立的，这时夹角的定义是不明确的。正确的思路同样应该从本小节最开始的定义出发证明柯西-施瓦茨不等式，因为存在这样一个不等式关系，然后才会想到内积与向量模的乘积之间存在一个介于0和1之间的系数，然后用cosθ表述这个系数，于是得到a·b=|a||b|cosθ这个表达式。下面给出证明。

证明　若x是任意实数，则必然有（a+xb）·（a+xb）≥0，展开得

a·a-2a·bx+b·bx²≥0

这是一条开口向上的抛物线且在x轴上方，于是由抛物线的性质，可得判别式小于等于0，即

Δ=（2a·b）²-4（a·a）（b·b）≤0

（a·b）²≤|a|²|b|²⇒|a·b|≤|a||b|

由证明过程可知，等式若要成立，则a+xb必须是零向量。换言之，向量a、b是线性相关的，即b=λa，λ∈ℝ。

由柯西-施瓦茨不等式可以证明三角不等式，三角不等式在前面也有用到过，它的完整表述如下。

三角不等式　a、b是两个向量，则|a+b|≤|a|+|b|。

证明

|a+b|²=（a+b）·（a+b）

=a·a+2a·b+b·b≤|a|²+2|a||b|+|b|²=（|a|+|b|）²

定理得证。

定义　已知向量a=a₁i+a₂j+a₃k，b=b₁i+b₂j+b₃k，则a与b的外积为

与内积类似，向量a、b的外积也可以狭义地定义为

a×b=|a||b|nsinθ

其中，θ是向量a、b的夹角，向量n是同时与a、b垂直的单位向量，且{a，b，n}满足右手法则，其方向为a→b→n。

外积的性质：a、b是两个向量，k∈ℝ，则外积满足如下性质。

（1）a×b=-b×a；

（2）（ka）×b=a×（kb）=k（a×b）；

（3）a×（b+c）=a×b+a×c；

（4）（a+b）×c=a×c+b×c。

如果将内积和外积综合起来，可得如下性质。其中，a、b、c、d是向量。

（1）（a·b）×c=a·（b×c）；

（2）（a×b）×c=（a·c）b-（b·c）a；

（3）（a×b）·（c×d）=（a·c）（b·d）-（a·d）（b·c）；

（4）a×（b×c）+b×（c×a）+c×（a×b）=0；

（5）a×（b×c）=（a·c）b-（a·b）c。

定义　向量a、b、c的三重乘积定义为[a，b，c]≡a·（b×c），可知三重乘积是一个标量。此外，若已知向量a=a₁i+a₂j+a₃k，b=b₁i+b₂j+b₃k，c=c₁i+c₂j+c₃k，则向量a、b、c的三重乘积可以用行列式表示为

三重乘积满足如下关系

[a，b，c]=[b，c，a]=[c，a，b]=-[b，a，c]=-[c，b，a]=-[a，c，b]

1.3.3　方向导数与梯度

偏导数刻画了函数沿着坐标轴方向的变化率，但有些时候这还不能满足实际需求。为了研究函数沿着任意方向的变化率，就需要用到方向导数。

设函数z=f（x，y）在点P（x，y）的某一个邻域U（P）内有定义。自点P引射线l，设x轴正向到射线l的转角为φ，并设P′（x+Δx，y+Δy）为l上的另一点，且P′∈U（P）。这里规定，逆时针方向旋转生成的角是正角（φ＞0），顺时针方向旋转生成的角是负角（φ＜0）。此时，再考虑函数的增量f（x+Δx，y+Δy）-f（x，y）与P和P′两点间距离ρ=的比值。当点P′沿着射线l逐渐趋近于P时，如果这个比的极限存在，则称该极限为函数f（x，y）在点P沿着方向l的方向导数，记作

从定义可知，当函数f（x，y）在点P（x，y）的偏导数f_x、f_y存在时，函数f（x，y）在点P沿着x轴正向e₁={1，0}，y轴正向e₂={0，1}的方向导数存在且其值依次为f_x、f_y，函数f（x，y）点P沿着x轴负向e′₁={-1，0}，y轴负向={0，-1}的方向导数也存在且其值依次为-f_x，-f_y。

如果函数z=f（x，y）在点P（x，y）处可微，那么函数在该点沿任意一个方向l的方向导数都存在，且有

其中，φ为x轴到方向l的转角。

证明　根据函数z=f（x，y）在点P（x，y）是可微的假定，函数的增量可以表示为

两边各除以ρ，得到

所以

定理得证。

与方向导数有关的一个重要概念是函数的梯度。对于二元函数而言，设函数z=f（x，y）在平面区域D内具有一阶连续偏导数，则对于每一点P（x，y）∈D，都可以给出一个向量

这个向量称为函数z=f（x，y）在点P（x，y）的梯度，记作gradf（x，y），或（x，y），即

需要说明的是是一个偏微分算子，它又称为哈密尔顿（Hamilton）算子，它定义为

求一个函数u=f（x，y，z）的梯度，就可以看成是将哈密尔算子与函数f做乘法，即。可见对一个函数求梯度，其实是从一个标量得到一个矢量的过程。后面在研究散度和旋度的时候，同样会用到哈密尔算子。

如果设e=cosφi+sinφj是与方向l同方向的单位向量，则由方向导数的计算公式可知

这里（gradf（x，y），e）表示向量gradf（x，y）与e的夹角。由此可见，方向导数就是梯度在l上的投影，当方向l与梯度方向一致时，有

cos（gradf（x，y），e）=1

从而方向导数有最大值。所以，沿着梯度方向的方向导数达到最大值，也就是说梯度的方向是函数f（x，y）在这点增长最快的方向。

从梯度的定义中可知，梯度的模为

总而言之，函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与方向导数取得最大值时的方向相一致，而它的模为方向导数的最大值。

1.3.4　曲线积分

第一类曲线积分　设L为平面内的一条光滑曲线弧，函数f（x，y）在L上有界，在L上任意插入一点列M₁，M₂，…，M_n-1，这个点列把L分成n个小段。设第i个小段的长度为Δs_i。又有（ξ_i，η_i）为第i个小段上任意取定的一点，做乘积f（ξ_i，η_i）Δs_i（i=1，2，…，n），并做和（ξ_i，η_i）Δs_i，如果当各个小弧段的长度的最大值λ趋近于0时，其和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y）在曲线弧L上的对弧长的曲线积分（或称第一类曲线积分），记为

其中，f（x，y）叫做被积函数，L叫做积分弧段。特别地，如果L是闭曲线，那么函数f（x，y）在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为

上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间曲线弧Γ的情形，即函数f（x，y，z）在曲线弧Γ上对弧长的曲线积分

对于第一类曲线积分的实际意义，可以从如下两个角度解释。首先，如果被积函数f（x，y）≥0，那么关于弧长的曲线积分就可以表示密度为f（x，y）的曲线形构件之质量。其次，如果函数f（x，y）≥0，做以xOy平面上的曲线L为准线，母线平行于z轴的柱面片。曲线L上的一点（x，y）处所对应的柱面片之高为z=f（x，y），那么关于弧长的曲线积分就可以用来表示该柱面片的面积。

第二类曲线积分　设L为平面内从点A到B的一条有向光滑曲线弧，并有定义在L上的向量值函数F（x，y）=（P（x，y），Q（x，y））。在L上任意插入一点列M₁（x₁，y₁），M₂（x₂，y₂），…，M_n-1（x_n-1，y_n-1），这个点列把L分成n个有向小弧段

设Δx_k=x_k-x_k-1，Δy_k=y_k-y_k-1，点（ξ_k，η_k）是第k个小弧段上任意取定的一点。如果当各小弧段的长度的最大值λ趋近于0时，小弧段就近似于一条很短的有向线段，此时=（x_k-x_k-1，y_k-y_k-1），如果的极限总存在，则称此极限为函数F（x，y）在曲线弧L上的对坐标的曲线积分（或称第二类曲线积分），记为

其中，P（x，y）、Q（x，y）叫做被积函数，L叫做积分弧段。显然，上式是由如下两式做加法得到的。

上述第一式称为函数P（x，y）在有向曲线弧L上对坐标x的曲线积分，第二式称为函数Q（x，y）在有向曲线弧L上对坐标y的曲线积分。

上述定义可以类似地推广到积分弧段为空间有向曲线弧Γ的情形，即函数F（x，y，z）在曲线弧Γ上对坐标的曲线积分

对于第二类曲线积分的实际意义，可以从变力做功的角度考虑。即某个质点在平面内受到力F（x，y）=P（x，y）i+Q（x，y）j的作用，从点A沿光滑曲线弧L移动到点B时，变力F（x，y）所做的功。所以若用向量形式重写第二类曲线积分的表达式，便可以记为如下形式

其中，dr=dxi+dyj。

最后，讨论两类曲线积分之间的联系。对弧长的曲线积分与对坐标的曲线积分两者之间既有区别，又有联系。前者是数量场f（x，y）的曲线积分，后者是向量场F（x，y）的曲线积分。如果设有向光滑弧L以A为起点，以B为终点，曲线弧L的参数方程为

起点A和终点B分别对应参数α、β，不妨设α＜β。对于α＞β的情况，可令s=-t，则起点A和终点B分别对应s=-α，s=-β，于是有-α＜-β，那么下面讨论中只须换成对s进行的，仍然可以得到相同结论，所以这里仅讨论α＜β时的情形。再设函数φ（t）和ψ（t）在闭区间[α，β]上具有一阶连续的偏导数，且[φ′（t）]²+[ψ′（t）]²≠0。又因为P（x，y）、Q（x，y）在L上连续。所以，由曲线积分的计算公式得

向量τ=φ′（t）i+ψ′（t）j是曲线弧L在点（φ（t），ψ（t））处的一个切向量，它的指向与参数t的增长方向一致，当α＜β时，这个指向就是有向曲线弧L的方向。当τ与有向曲线弧方向相同时，即为有向曲线弧L在该点处的切向量，它的方向余弦为

由弧长的曲线积分的计算方法可得

所以，两类曲线积分有如下关系：

其中，α（x，y）、β（x，y）是有向曲线弧L在点（x，y）处的切向量的方向角。类似地，还可以得到空间曲线Γ上的两类曲线积分之间有如下关系

其中，α（x，y，z）、β（x，y，z）、γ（x，y，z）是有向曲线弧Γ在点（x，y，z）处的切向量的方向角。

最后，从变力沿曲线做功的角度分析两类曲线积分之间的联系。势必得到同样的结论，但是这个讨论相对更加直观，更易于理解，同时也为之后一些内容的深入学习打下基础。

如图1-9所示，设力场F（x，y）=P（x，y）i+Q（x，y）j沿着曲线L所做的功为W，则用第一类曲线积分可以表示为

其中，τ=（cosα，cosβ）是曲线L的单位切向量。而且α（x，y）、β（x，y）是有向曲线弧L在点（x，y）处的切向量的方向角，又根据基本的平面几何知识，从图1-9中的右图也易知，在微分三角形中有

其中，α和β都是锐角，所以cosα和cosβ都是大于0的，这表示沿着曲线弧L的方向，x分量和y分量都在增加，即dx和dy都是正的（因为ds永远大于0）。在图1-9的左图中，很明显沿着曲线弧L的方向y分量在增加，而x分量在减少，所以dy＞0，而dx＜0。在相应的三角形中，有sinβ=|dx|/ds，因为dx＜0，所以sinβ=-dx/ds，即-sinβ=dx/ds。同时，β是锐角，即cosβ＞0，而α是钝角，即cosα＜0。又根据三角函数的诱导公式，有cosα=cos（π/2+β）=-sinβ，所以cosα=dx/ds仍然成立。同理，还可以尝试讨论切向量朝其他方向时的情况（如dy＜0时的情况），也势必得到相同的结论。

根据之前的讨论，当然还可以用第二类曲线积分表示变力所做的功，表达式为

由此，便得到了与之前相同的结论。但是，可能仍然有一个疑问，那就是对坐标的曲线积分的曲线弧是带有方向的，而对弧长的曲线积分的曲线弧则是没有方向的，这个问题又该如何解释。事实上，在第二类曲线积分中，这个方向是由单位切向量（cosα，cosβ）标识的，正是借由这个切向量，两种曲线积分才最终统一起来。最后，如果把两类曲线积分之间的联系记为向量形式，则有

1.3.5　格林公式

格林公式是场论中的一个基本而又重要的公式，它建立了平面上闭区域D的二重积分与沿闭区域D的边界曲线L的曲线积分之间的关系。由格林公式出发，还可以进一步得到高斯公式和斯托克斯公式。就很多初学者而言，之所以会对格林公式感到困惑，主要是由于没有深刻领会它的物理意义，因而缺乏具象的认识，关于这部分内容的讨论将是本节的重点。

定理　设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，函数P（x，y）以及Q（x，y）在D上具有一阶连续的偏导数，则有

其中，L是D的取正向的边界曲线，这个公式就称为格林公式。

利用格林公式求闭区域D的面积，有时是非常方便的。在上述公式中，如果取P=-y，以及Q=x，即得

可见，上式左端是闭区域D的面积A的两倍，因此便有

下面证明格林公式，请注意这个过程中用到牛顿-莱布尼茨公式。证明的思路是考虑P（x，y）=0或Q（x，y）=0这两种特殊的情形下的格林公式，如果可以证明这两种情况下的格林公式都成立，那么将这两种特殊情况下的格林公式相加即可得证原公式成立。

首先，假设单连通的区域D既是X型又是Y型的情况。如图1-10所示，其中左图所示的区域D显然既是X型又是Y型的。此时，有D={（x，y）|φ₁（x）≤y≤φ₂（x），a≤x≤b}。因为P（x，y）具有一阶连续的偏导数，所以根据二重积分的计算方法有

另一方面，由对坐标的曲线积分的性质及计算方法有

因此

于是，已经证明了Q（x，y）=0时的格林公式，接下来考虑P（x，y）=0时的情形。如图1-10中的右图所示，此时有D={（x，y）|ψ₁（y）≤x≤ψ₂（y），c≤y≤d}。

与前面相同，根据二重积分的计算方法，有

对于区域D，上述两个结论同时成立，显然将它们合并即可得证明在简单区域上（即单连通区域）格林公式是成立的。而对于更一般的情形，则可以在D内做几条辅助曲线，把D分割成有限个闭区域，并使得每个闭区域都满足上式条件。再将各个闭区域上得到的格林公式相加之后，方向相反的部分会抵消掉。最终便可以证明格林公式对于光滑（或分段光滑）曲线所围成的封闭区域都是成立的。

要正确认识格林公式，就非常有必要研究一下它的物理意义，对此便从如下几个概念开始。假设L是平面上一条封闭的曲线L：r=r（t）（t：a→b），曲线的方向（即t从a到b）为逆时针方向。曲线所在的向量场为v=（P（x，y），Q（x，y）），（x，y）∈D，则称下面这个量为环量，其中向量τ是曲线上对应的切向量，并且切向量的方向与曲线L是一致的。

把下面这个量称为流量，其中向量n是曲线上对应的外法向量，也就是指向封闭曲线L外侧的法向量。

考虑把向量τ和n用曲线的参数方程表示，因为τ是曲线L在点（x，y）处与L方向一致的单位切向量，所以τ=r′（t）/|r′（t）|=[x′（t），y′（t）]/|r′（t）|。n为曲线L在点（x，y）处的单位外法向量，于是n=[y′（t），-x′（t）]/|r′（t）|。在此基础上，便可以把环量和流量这两个对弧长的曲线积分形式表示成对坐标的曲线积分。

首先，环量对坐标曲线积分的形式如下

其次，流量对坐标曲线积分的形式如下

为了帮助理解，稍作补充说明。这里主要解释一下单位外法向量n是如何得到的。由于，n与τ是彼此垂直的，所以n·τ=0。在已知τ=（x，y）时便很容易求出法向量的两个解，即n₁=（y，-x）和n₂=（-y，x），显然这里面有一个是外法向量，另一个就是内法向量。如图1-11所示，由于曲线的方向是沿着逆时针的，而切向量的方向与此相同，所以外法向量其实是切向量沿顺时针方向旋转π/2得到的。相应地，内法向量则是切向量沿逆时针方向旋转π/2得到的。根据线性代数的知识，若想令一个二维向量按逆时针方向旋转θ角，则需用到下列旋转矩阵，将旋转矩阵与向量相乘，便可以得到旋转后的新向量。如果要得到顺时针旋转的结果，只需将其中θ加上相应的负号。

要得到外法向量，令θ=-π/2，再将旋转矩阵与原向量相乘，可得外法向量为（y，-x）。

同理，要获得内法向量，θ=π/2，再将新的旋转矩阵与原向量相乘，便可得内法向量为（-y，x）。

习惯上，可以用一对三角函数表示单位切向量和单位外法向量。例如，图1-12中的情况，其中τ是一个单位切向量，n是一个单位外法向量。根据上一小节的讨论，通常习惯记为τ=（cosα，cosβ），或写成（cosα，sinα），运用三角函数的诱导公式很容易证明这两种表示方法是等价的。再根据前面关于外法向量与切线量之间关系的讨论，很容易得到n=（cosβ，-cosα），或写成（sinα，-cosα）。

为了便于对后面格林公式的物理意义进行讨论，在此有必要一同来回顾一下中学物理的一些知识。1820年，丹麦物理学家奥斯特（Oersted）发现了电流的磁效应。后来法国物理学家安培（Ampère）进一步发展了奥斯特的实验，提出了安培右手定则，此外安培还创造性地研究了电流对电流的作用。既然电能够产生磁，那磁能否产生电呢？1831年，英国物理学家法拉第（Faraday）发现了电磁感应现象，从而回答了这个问题。电磁感应现象是指放在变化磁通量中的导体，会产生电动势。此电动势称为感应电动势，若将此导体闭合成回路，则该电动势会驱使电子流动，形成感应电流。

1834年，俄国物理学家楞次（Lenz）发现了楞次定律，为判定感应电动势及感应电流的方向提供了准则。而在此期间，英国数学家格林（Green）于1828年发表了《论应用数学分析于电磁学》一文，并在其中提出了著名的格林公式。可惜格林的成果在他有生之年并未得到科学界的重视，而是在其逝世后才被其他科学家所重新发掘。英国数学家斯托克斯（Stokes）在格林工作的基础之上提出了斯托克斯公式，他的主要贡献集中于流体力学。实际上，格林公式（也包括斯托克斯公式）不仅可以用来解释电磁学中的一些问题，还可以用来解释流体力学中的一些问题。

再后来，曾经受教于斯托克斯的麦克斯韦（Maxwell）集前人的电磁学研究于大成，提出了电磁场理论，并建立了一组描述电场、磁场与电荷密度、电流密度之间关系的偏微分方程，即麦克斯韦方程组。麦克斯韦方程组由四个方程组成，它们分别是描述电荷如何产生电场的高斯定律，描述磁单极子不存在的高斯磁定律，描述电流和时变电场如何产生磁场的安培定律，以及描述时变磁场如何产生电场的法拉第感应定律。一般来说，宇宙间任何的电磁现象，皆可由此方程组解释。后来麦克斯韦仅靠纸笔演算，就从这组公式预言了电磁波的存在。1873年，麦克斯韦编写了电磁场理论的经典巨著《论电和磁》。不过，直到他去世近十年之后，德国物理学家赫兹（Hertz）于1888年才通过实验首先证实了电磁波的存在。

下面从电磁学的角度讨论格林公式的意义。当闭合的线圈中存在变化的磁通量时，线圈中就会因为感应电动势驱动电子运动的缘故而产生感应电流。假设电子运动的速度场v（x，y）=P（x，y）i+Q（x，y）j，则如同之前讨论过的那样，单位时间内沿闭合线圈L的环量如下

其中，τ=（cosα，cosβ）是L指定方向的单位切向量。

另一方面，如图1-13所示，把L所围成的区域D用直角坐标系中的坐标曲线x=x_i，y=y_i进行划分。设完全在D内的直多边形区域为D′，其边界为L′，它的方向与L相同。从D′取一个具有代表性的小矩形区域σ_i，如图1-14所示。然后计算它的环量I_σi，图1-14中的E、F、G、H为小矩形区域的四个端点。小矩形的长和宽分别为Δx和Δy，并且有Δx＞0，以及Δy＞0，相应的四个点的坐标也标注在旁边。箭头方向是σ_i边界曲线的方向。小矩形区域的环量为I_σi=I_EF+I_FG+I_GH+I_HE。当曲线积分中的曲线弧L的弧长趋近于0的时候，可以认为定义在曲线上的被积函数就是一个常值函数，也就是说由于曲线弧L特别短，所以定义在其上的被积函数几乎不发生变化。由于被积函数是一个常值函数，那么不妨取它在弧上的任意一点（如端点）的函数值作为函数在整个弧上的值，于是便有

其中，点（x_i，y_i）是曲线弧L任取的一点。所以，针对图1-14中的情况，当Δx→0，Δy→0时，对于I_EF积分的计算，则有I_EF=P（x_i，y_i）dx+Q（x_i，y_i）dy，由于EF边平行于x轴，所以垂直方向上的增量是等于0的，即dy=0，然后用Δx替换dx，则有I_EF=P（x_i，y_i）Δx。

再来计算I_HE，此时可以计算与其方向相反的积分I_EH，然后在结果上加一个负号便可以得到I_HE，即I_HE=-I_EH。仍然选择E点上的函数值来作为函数在EH边上的值，又因为EH是平行于y轴的，所以水平方向上的增量是等于0的，即dx=0，于是有I_HE=-I_EH=-Q（x_i，y_i）Δy。

对于I_FG的计算要稍复杂些，基于前面的思路，选择F点上的函数值作为函数在FG边上的值，同理有

I_FG=P（x_i+Δx，y_i）dx+Q（x_i+Δx，y_i）dy=Q（x_i+Δx，y_i）dy

根据偏导数的定义

有

Q（x_i+Δx，y_i）=Q（x_i，y_i）+Q_x（x_i，y_i）Δx

所以，可得

I_FG=[Q（x_i，y_i）+Q_x（x_i，y_i）Δx]Δy

对于I_GH的计算，同样先计算与其方向相反的积分I_HG，并选择H点上的函数值作为函数在HG边上的值，于是可得I_GH=-I_HG=-[P（x_i，y_i）+P_y（x_i，y_i）Δy]Δx。

综上可得

或写为

沿着相邻的区域边界的环量在其公共部分因为方向相反而会相互抵消，于是沿着L′的环量就等于所有被划分出来的小矩形区域σ_i的环量的总和，即

而当区域D的划分越来越细时，D′最终就会趋近于D，即沿着L′的环量也会趋近于沿着L的环量，此处用λ趋近于0表示这个趋近过程，λ可以理解为每个小矩形区域σ_i的大小。最终速度场v（x，y）沿着L的环量就为

于是

对平面区域的分割在物理意义上也可以得到解释。在电磁感应过程中，变化的磁通量穿过由闭合线圈围成的一个平面区域，产生感应电动势，进而使闭合线圈中产生感应电流。事实上，即使闭合的线圈不存在，感应电动势也依然是存在的。所以，如果变化的磁通量穿过的不是一个单独的线圈，而是一张由导体织成的网，那么显然每个闭合小网格上自然都会产生电流，也就会有相应的环量。最终所有小网格上的环量之和就会与整张网最外侧边界曲线上的环量相等。这正是格林公式所揭示的。

1878年，英国应用数学家兰姆（Lamb）在其经典著作《流体运动的数学理论》⁽¹⁾一书中总结了经典流体力学的成果。兰姆曾经是斯托克斯和麦克斯韦的学生。他在该书中指出沿任意曲线ABCD所取的积分∫udx+vdy+wdz称为流体沿该曲线自A到D的“流动”，并记为I（ABCD）。如果A和D重合，这样就构成一个闭曲线或回路，则积分的值称为在该回路中的环量，记为I（ABCA）。不论曲线是否闭合，若沿反方向取积分，则最终积分结果的正负号就会颠倒过来，于是有I（AD）=-I（DA）以及I（ABCA）=-I（ACBA），显然也有I（ABCD）=I（AB）+I（BC）+I（CD）。此外，任何一个曲面都可以被曲面上两组交叉线划分为许多无穷小的面元。现在假定该曲面的边界由简单闭曲线构成，这样，当以同样的绕向沿那些小面元的边界取环量时，它们的总和将等于沿原表面边界的环量。这是因为在上述的求和中，对每一个小面元的边界计算一次环量时，沿每两个相邻小面元的公共边线就计算了两次流动，但它们的符号却相反，因而在求和后的结果中消失了。所以，留下来的仅是沿着构成原始边界的那些边线上的流动。把任意一个有限曲面边缘上的环量表示为把该面分割后所得的各无穷小面元边界上的环量之和，便会得到

该式就是后面将要介绍到的斯托克斯公式。其中，单重积分是沿边界曲线取的，二重积分是在曲面上取的，l、m和n各量是曲面法线的方向余弦，所有法线都是从该曲面的一个侧面引出的，则将该侧面称做正侧面。格林公式所描述的情况是基于平面向量场的，而斯托克斯公式则是基于空间向量场的，所以斯托克斯公式可以被看成是格林公式的推广。

之前提到过，格林公式既可以用来解释电磁场理论中的物理现象，也可以用来解释流体力学中的现象。现在所给出的基于电磁场理论的解释与此处兰姆所给出的基于流体力学的解释是一致的，统一的。鉴于在格林公式的物理意义上已经耗用了颇多笔墨，此后对于斯托克斯公式的物理意义，本书将不再赘述。

格林公式还有另外一种形式，将原公式中的P、Q分别换成-Q、P时便可以得到

此时，该公式的物理意义就需要从前面提到的流量进行解释，而且已知流量的表达式如下

下面从一种更直观的角度来推导该表达式。

设有速度场v（x，y）=P（x，y）i+Q（x，y）j，用以表示流体的速度。想要计算单位时间内流体经过边界L的流量，于是考虑将曲线L分成若干个小弧段并考察其中一段。

如图1-15所示，在x分量上通过小弧段的流量就是图中的平行四边形，该四边形的一条边长是ds（它是对小弧段的近似），另一条边长是速度场在x轴上的分离，即P_i（x，y），它表示流体单位时间内流过的距离。显然，平行四边形的面积就等于P_i（x，y）cosθds，其中θ是朝外法向量n与x轴的夹角。同理，对于这一个小弧段，它在y轴上的流量平行四边形的面积就等于Q_i（x，y）cosγds。当然沿着曲线的方向，每一点处所对应的θ和γ都是在不停变化的，所以分别采用cos（n，x）和cos（n，y）这样的记号来表示每一点处，朝外法向量n与x轴，以及n与y轴的夹角。因此，可得整条闭合曲线上沿x轴方向的分量之和，以及沿y轴方向的分量之和分别为

全部流量之和为

这与之前所推出的结果是完全一致的，因此表明这种解释方式是可行的。需要说明的是，这里cos（n，y）=-dx/ds之所以有一个负号是因为对于图1-15所示的情况，沿着曲线的方向有dx＜0，因为x是在减少的。而图中的γ是一个锐角，即cos（n，y）＞0，所以需要一个符号使最终的结果变成正确的取值。也可以尝试验证外法向量朝向其他方位时的情况，最终都会得到相同的结果。

然后，同样把封闭曲线L所围成的区域D划分成众多小的矩形块。如图1-16所示，因为该矩形左侧垂直边上的流速为P（x，y），所以单位时间内有P（x，y）Δy的流体流入，而同一时间又约有P（x+Δx，y）Δy的流体流出，所以沿x轴方向的单位面积之净流量为

当Δx→0时，上式的极限就等于∂P/∂x，同理沿y轴方向的单位面积的净流量为∂Q/∂y。因此，单位面积上的净流量就等于∂P/∂x+∂Q/∂y。而通过整个区域D上的全部流量为

因为，假设流体是不可压缩的，同一时间内的液体只能从边界流出，故有

这也就从流量的角度解释了格林公式的物理意义。

最后，不难从以上两种物理解释得到推导高斯公式和斯托克斯公式的启迪，高斯公式和斯托克斯公式都是格林公式在三维空间上的推广。

1.3.6　积分与路径无关条件

定义　设有平面向量场F（x，y）=（P（x，y），Q（x，y）），（x，y）∈D，并且对于区域D中的任意两点A和B，以及任意两条以A为起点，B为终点的光滑或分段光滑曲线L₁和L₂，若有

则称向量场F为平面保守场，同理还可以定义空间保守场。

给出平面保守场的定义之后，自然想要知道如何验证平面上一个向量场是保守场，此时就需要用到如下定理。

定理　设D是平面上的单连通区域，函数P（x，y）、Q（x，y）在D内有连续的一阶偏导数，则下面的四种说法是等价的：

（1）在区域D内存在可微函数u（x，y），使得du（x，y）=P（x，y）dx+Q（x，y）dy，（x，y）∈D；

（2）在区域D内总有∂P/∂y=∂Q/∂x成立；

（3）对区域D内的任意光滑闭曲线L，均有∮_LPdx+Qdy=0；

（4）对区域D内的任意两点A和B，定义在A、B两点间连线上的积分∫Pdx+Qdy的值只与这两点的位置有关，而与两点连线在区域D内所走过的路径无关。

证明　为了简便起见，不妨考虑证明由定理中的第一种说法可以推出第二种说法，由第二种说法可以推出第三种说法，由第三种说法可以推出第四种说法，最后由第四种说法可以推出第一种说法。因此，四种说法彼此之间的等价性就可以被证明。

首先，证明第一种说法可以推出第二种说法。

由于存在u（x，y），使得du（x，y）=P（x，y）dx+Q（x，y）dy，（x，y）∈D，根据全微分公式，又因为全微分的形式是唯一的，可得

由此可得

由于上述两个二阶偏导数连续，所以有∂P/∂y=∂Q/∂x。

其次，证明第二种说法可以推出第三种说法。

设L为区域D内的一条光滑闭曲线，不妨设其为一条简单的光滑闭曲线，并且它所围成的区域为D′，则根据格林公式有

如果曲线不满足简单性的条件，其实可以通过分割的方法，对不同区域分别应用格林公式，最终也会得到相同的结果。

然后，证明第三种说法可以推出第四种说法。

这其实是显而易见的。区域D内的任意两点A和B，以A为起点，以B为终点，可做任意一条曲线，记为L_AB。然后，再以B为起点，以A为终点，做任意一条曲线，记为。则L_AB和便形成了一条闭合的回路，于是根据第三种说法的描述，便有

又因为沿同一条路径的曲线积分，改变积分曲线的方向会导致积分结果的正负号颠倒，所以有

由于积分路径L_AB和都是任取的，自然也就证明定义在A、B两点间连线上的积分值只与这两点的位置有关，而与两点连线在区域D内所走过的路径无关。

最后，证明第四种说法可以推出第一种说法。

设（x₀，y₀）是区域D内的固定一点，而（x，y）表示区域D内的任意一点，然后构造一个变上限的积分函数

根据第四种说法的表述，定义在区域D内的曲线积分，其积分值仅与起始点和终末点的位置有关，而与积分路径无关，所以当点（x₀，y₀）固定时，函数u（x，y）的值可以唯一由点（x，y）确定。因此上述函数的定义是有意义的。这时，如果可以验证∂u/∂x=P，∂u/∂y=Q，那么相应的结论便可得到证明。由于P、Q是连续的，即u关于x和y分别拥有连续的一阶偏导数，而有连续偏导数的函数一定是可微的，所以u的全微分是存在的。并且根据全微分公式可得

这正是所要证明的。下面就来验证∂u/∂x=P。由偏导数的定义，可知

根据u（x，y）的定义，可以把上述表达式中的函数展开成积分的形式。其中，u（x+Δx，y）的积分曲线以点（x₀，y₀）为起点，以（x+Δx，y）为终点的任意曲线，而函数u（x，y）的积分曲线以点（x₀，y₀）为起点，以（x，y）为终点的任意曲线。曲线积分的值仅与起始点的位置有关，而与积分路径无关，所以可以根据计算的便利性来对积分路径进行选择。不妨令u（x+Δx，y）的积分曲线，先沿着u（x，y）的积分路径从点（x₀，y₀）开始，到点（x，y）后，再沿着一条直线段到达点（x+Δx，y）。重合的部分相减之后变为0，所以有

而从点（x，y）沿直线段达到点（x+Δx，y）的路径中，y没有变化，即dy=0，再根据积分中值定理，可得

同理，还可以验证∂u/∂y=Q，所以也就证明原结论成立。

综上所述，定理得证。

对于连通区域D内的向量场F=（P（x，y），Q（x，y）），若P（x，y）和Q（x，y）具有连续的偏导数，且∂Q/∂x=∂P/∂y，则F是保守场。此外，如果向量场F是保守场，那么当且仅当它是某函数u（x，y）的梯度场，即F=（x，y）。把函数u（x，y）称为是向量场F在D上的原函数或势函数。对于空间上的情况同样有类似的定义。设有空间向量场F=（P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）），（x，y，z）∈Ω，若存在函数u（x，y，z），使得

则称函数u（x，y，z）是向量场F的原函数或势函数。此时，向量场F是空间保守场。而判断F是空间保守场的条件为

关于该结论的证明需要用到后面介绍的斯托克斯公式。最后，采用一种行列式的形式来重写上述保守场的判定条件。判定平面向量场F=（P（x，y），Q（x，y））为保守场的条件是

判定空间向量场F=（P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z））为保守场的条件是

1.3.7　曲面积分

第一类曲面积分　设曲面Σ是光滑的，函数f（x，y，z）在Σ上有界。把Σ任意分成n小块ΔS_i（ΔS_i同时也代表第i个小块曲面的面积），设（ξ_i，η_i，ζ_i）是ΔS_i上任意取定的一点，做乘积f（ξ_i，η_i，ζ_i）ΔS_i（i=1，2，…，n），并做和（ξ_i，η_i，ζ_i）ΔS_i，如果当各小块曲面直径⁽²⁾的最大值λ趋近于0时，其和的极限总存在，则称此极限为函数f（x，y，z）在曲面Σ上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记作

其中，f（x，y，z）叫做被积函数，Σ叫做积分曲面。特别地，如果Σ是闭曲面，那么函数f（x，y，z）在闭曲面Σ上对面积的曲面积分则记为

对于第一类曲面积分的实际意义，可以从空间曲面构件的质量这个角度解释。如果被积函数f（x，y，z）≥0，那么关于面积的曲面积分就可以表示为面密度函数f（x，y，z）的曲线所构建的质量。特别地，当f（x，y，z）=1时，关于面积的曲面积分计算的就是曲面的面积。

第二类曲面积分　设Σ为光滑的有向曲面，函数R（x，y，z）在Σ上有界。把Σ任意分成n块小曲面ΔS_i（ΔS_i同时也代表第i个小块曲面的面积），ΔS_i在xOy面上的投影为（ΔS_i）_xy，（ξ_i，η_i，ζ_i）是ΔS_i上任意取定的一点。如果当各小块曲面的直径的最大值λ趋近于0时，极限

总存在，则称此极限为函数R（x，y，z）在有向曲面Σ上对坐标x、y的曲面积分，记作

其中，R（x，y，z）叫做被积函数，Σ叫做积分曲面。

类似地，可以定义函数P（x，y，z）在有向曲面Σ上对坐标y、z的曲面积分，记作

以及函数Q（x，y，z）在有向曲面Σ上对坐标z、x的曲面积分，记作

以上三个曲面积分也称为第二类曲面积分。此外，在实际中更常用到的是下列形式

为了简便起见，上式还可以写成

这表示的便是向量场v=P（x，y，z）i+Q（x，y，z）j+R（x，y，z）k，在有向曲面Σ上对坐标的曲面积分。

下面讨论第二类曲面积分的实际意义。在介绍格林公式的物理意义时，已经接触过流量的概念了。此时讨论的是二维平面向量场中的情况，现在将其推广到三维空间向量场中。在平面上，向量场穿过一条曲线的流量，是指单位时间内流体沿着曲线外法线方向流过曲线弧的量，这个量最终反映为一个平面区域的面积。而在空间中，向量场穿过一块曲面的流量，是指单位时间内流体沿着正法向量方向流过曲面片的量，这个量最终反映为一个空间区域的体积。假设稳定流动的不可压缩流体的速度场为v=P（x，y，z）i+Q（x，y，z）j+R（x，y，z）k，这里点（x，y，z）∈Ω，现在求流体流过有向曲面Σ的流量Φ。如图1-17所示，把曲面Σ任意分成众多小曲面，然后考虑其中的一个小曲面ΔS，M是ΔS上的一点，n（M）表示该点处曲面Σ的法向量，在M点处的速度等于v（M）。当各小块曲面的直径的最大值λ趋近于0时，即可采用以平代曲的思想，用dS代替ΔS的面积。

现在要计算曲面上以dS为底面积的某个小斜柱体的体积，可以将其拿出来单独考虑，如图1-18所示。单位法向量n与速度向量v之间的夹角是θ，h是斜柱体的高，所以这个小斜柱体的体积显然就等于|v|cosθdS。回忆前面关于向量内积的介绍，考虑到向量n是一个单位向量，于是便可以把这个体积表达式重写为（v·n）dS。基于这个结论，再来讨论通过曲面的流量，问题的答案似乎已经变得相当明朗了。在流速场v中，流体通过任意一个小曲面ΔS的流量ΔΦ≈v（M）·n（M）dS。然后，对整个曲面做积分便可得到通过曲面Σ的流量

又因曲面的单位法向量n={cosα，cosβ，cosγ}，且速度向量v的三个分量分别是P（x，y，z）、Q（x，y，z）和R（x，y，z），于是流量表达式就变成如下对面积的曲面积分

注意，cosα、cosβ、cosγ分别是法向量n与x轴、y轴和z轴的方向余弦，所以cosαdS、cosβdS和cosγdS就分别表示dS在yOz平面上、在zOx平面上以及在xOy平面上的投影。而且当各小块曲面直径的最大值λ趋近于0时，有ΔS趋近于dS，因此dS在yOz平面上、在zOx平面上以及在xOy平面上的投影其实就是最初在定义第二类曲线积分时所采用的（ΔS）_yz、（ΔS）_xy和（ΔS）_zx。所以，上面的对面积的曲面积分就可以写成对坐标的曲面积分定义中所采用形式

如果用dS表示向量（dydz，dzdx，dxdy），此时dS就是一个向量，它的含义是单位法向量n与面积微元dS的乘积，即ndS。换言之，dS就是一个有向的面积微元，它的方向其实就是曲面在（x，y，z）这一点的法向量。由此便可以把对坐标的曲面积分表示成下面这样的向量形式

关于这部分内容的讨论，既阐明了第二类曲面积分的实际意义，也明确了两类曲面积分之间的关联。需要说明的是，后面将更多地采用通量这个提法替代此前所用的流量。通量是更广义的说法，如果考虑的向量场是流速场的话，那么通量就是流量，如果考虑的是电场或者磁场，那么通量就是电通量或者磁通量。

1.3.8　高斯公式与散度

通过前面的学习已经认识到，格林公式建立了平面闭曲线的曲线积分与其所围成的平面区域的二重积分之间的联系；在物理上，它阐释了穿过封闭曲线的通量与其围成的面积上的全部通量之间的关系。从这个角度进行推广，即可得到高斯公式。在数学上，高斯公式建立了空间闭曲面的曲面积分与其所围成的空间区域的三重积分之间的联系；在物理上，它也阐释了穿过封闭曲面的通量与其围成的体积上的全部通量之间的关系。

定理　设空间闭区域Ω是由分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在Ω上具有一阶连续偏导数，则有

或

其中，Σ是Ω的整个边界曲面的外侧，cosα、cosβ和cosγ是Σ在点（x，y，z）处的法向量的方向余弦，以上公式就称为高斯公式。

在证明高斯公式时，可以考虑采用与格林公式的证明过程相类似的方法，即分别证明与P、Q和R有关的三个等式

证明　设区域Ω是关于z轴简单的，即和z轴平行的直线与区域Ω的表面要么相交于一点，要么相交于两点，要么相交于一条直线段，除此之外没有其他情况。下面就来证明在这样一个区域上，第三个等式是成立的。如图1-19所示，首先对于在Σ₃上的积分，由于Σ₃在xOy平面上的投影是D_xy的边界曲线，所以有

假设曲面Σ₁和Σ₂的方程分别为z=z₁（x，y）和z=z₂（x，y），其中（x，y）∈D_xy，则有

其中，正负号的选取是根据曲面法向量与z轴之间的夹角判定的。具体而言，就是曲面Σ₁的法向量与z轴之间的夹角是一个钝角，最终积分的结果为负；而曲面Σ₂的法向量与z轴之间的夹角是一个锐角，最终积分的结果为正。基于以上结果，可得

根据三重积分的计算方法，原等式右端的三重积分可以转化成累次积分，再利用牛顿-莱布尼茨公式，可得

由此即证明第三个等式左右两端确实是相等的。依照类似的方法，还可以证明第一个等式和第二个等式对于简单的区域都是成立的。而对于更一般的情况，只要把原区域分割成若干相邻的简单子区域，便不难发现相邻子区域间的共有曲面在各自计算积分的过程中由于方向相反，最终会彼此抵消掉。所以，对于更一般的情况（即使积分区域不是简单的），高斯公式仍然成立。

根据上一节的介绍，可知第二类曲面积分的实际意义就是在向量场中，穿过曲面Σ的流量Φ。如果Σ是向量场中的一个闭曲面，它的法向量是指向外侧的，则向量场通过Σ的通量就可能有三种情况。当Φ＞0时，说明流入Σ的流体的体积要少于流出的，表明Σ内是有源的；当Φ＜0时，说明流入Σ的流体的体积要多于流出的，表明Σ内是有汇的；当Φ=0时，说明流入与流出Σ的流体体积是相等的。并且基于本小节所介绍的高斯公式，有下式成立

其中，Ω是Σ所围成的空间区域，Ω的体积是V。

假设点M（x，y，z）是向量场A=P（x，y，z）i+Q（x，y，z）j+R（x，y，z）k中任意一点。作封闭曲面S包围M点，S包围的空间的体积为ΔV，当空间向M这一点收缩时（ΔV→0），考虑单位体积之流量（或称流量的密度）的极限，并定义该极限为向量场A在点M处的散度，用divA表示，即

散度的本质是通量对体积的变化率，而且散度绝对值的大小反映了单位体积内源的强度。如果divA＞0，表明该点处有正源；如果divA＜0，表明该点处有负源；如果divA=0，表明该点处无源。特别地，如果向量场A中处处有divA=0，则称A是无源场。

在空间直角坐标系中，矢量场A在点M处的散度还可以借助之前提到的梯度算子表示，此时散度表现为梯度算子与向量场的内积

1.3.9　斯托克斯公式与旋度

定理　设Γ是分段光滑的空间有向闭曲线，Σ是以Γ为边界的分片光滑的有向曲面，Γ的正向与Σ的侧符合右手法则，函数P（x，y，z）、Q（x，y，z）、R（x，y，z）在曲面Σ（连同边界Γ）上具有一阶连续的偏导数，则有

以上公式就称为斯托克斯公式。斯托克斯公式建立了空间闭曲线Γ上的曲线积分与第二类曲面积分之间的一种联系，其中这个曲面是由Γ所张成的一个曲面。

在证明斯托克斯公式时，很自然会想到采用与格林公式（或高斯公式）的证明过程相类似的方法，即分别证明与P、Q和R有关的三个等式。这里首先证明其中与P有关的等式

如图1-20所示，假设与z轴平行的直线与曲面Σ最多只有一个交点，区域D_xy是曲面Σ在xOy平面上的投影。相应的，曲面Σ的边界曲线Γ在xOy平面上的投影为区域D_xy的边界L。对坐标的曲面积分可以转化成为投影区域的二重积分，而根据格林公式，对坐标的曲线积分也可以被转化成投影区域上的二重积分，然后只需验证这两个二重积分是相等的。

证明　设曲面Σ的方程为z=f（x，y），其中（x，y）∈D_xy。投影区域D_xy的边界曲线L的参数方程为x=x（t），y=y（t），其中α≤t≤β。由此可得到空间曲线Γ的参数方程为x=x（t），y=y（t），z=f[x（t），y（t）]，且同样有α≤t≤β。

根据对坐标的曲线积分的计算方法可得

又根据格林公式，以及多元复合函数求偏导数的链式法则，可得

接下来，设法将坐标的曲面积分转化成投影区域的二重积分。根据空间解析几何的知识，若曲面Σ的方程为z=f（x，y），则可以确定其法向量为n=（）。如果cosα、cosβ和cosγ分别表示曲面Σ的单位法向量的方向余弦，则有n‖（cosα，cosβ，cosγ）。由此可得

基于上述关系，再根据两类曲面积分之间的关系有

所以，关于P的等式便得到了证明。同理，也可以证明如下等式成立

尽管在证明过程之初，假设空间曲面是简单的，但对于更一般的情况，只要把原曲面分割成若干满足该前提的子曲面，然后再对每个子曲面分别证明有关结论即可。所以，对于更一般的情况，斯托克斯公式仍然成立。

斯托克斯公式也可以写成下列行列式的形式

根据两类曲面积分之间的关系，还有

其实斯托克斯公式的物理意义在介绍格林公式时已经明确地给出了。下面就从这个物理意义出发来介绍场论中的一个重要概念——旋度。已知向量场A=P（x，y，z）i+Q（x，y，z）j+R（x，y，z）k，可以将平面上沿封闭曲线的环量推广到三维空间上，并定义空间上沿封闭曲线的环量为

其中，dl=（dx，dy，dz），这个向量表示弧长微元dl与曲线的单位切向量τ的乘积。

设点M是向量场A中的任意一点，在点M处取定一个方向n。再过点M做一个微小曲面ΔS（ΔS同时表示该小曲面的面积），使得该小曲面在点M处的单位法向量为n。此外，ΔS的边界曲线为Δl，而Δl的正向与n满足右手螺旋法则，则该矢量场沿Δl的正向的环量为ΔI。当曲面ΔS在点M处保持以n为法向量的条件下，以任意方式向点M收缩时（ΔS→0），若极限

存在，则称该极限为矢量场在点M处沿方向n的环量面密度（也就是环量对面积的变化率）。

在空间直角坐标系中，由斯托克斯公式以及两类曲面积分之间的关系，环量表达式还可以记为

根据积分中值定理，当曲面ΔS向点M收缩时（ΔS→0），可得环量面密度在直角坐标系中的表达式（以及用向量内积表示的形式）如下

其中，cosα、cosβ和cosγ是点M处单位法向量n的方向余弦，而C则是如下形式的一个向量

现在考虑在何种情况下，环量面密度的值最大。根据（关于二维或三维向量的）内积定义，可得C·n=|C|cosθ。其中，θ表示向量C和单位向量n的夹角，可知当向量C与单位法向量n同向时，环量面密度取得最大值，而且这个最大值就是向量C的模。由此便引出了旋度的定义。旋度是位于向量场A中一点M处的一个向量，向量场A在点M处沿着该向量的方向的环量密度为最大。向量场A中某一点的旋度常用符号curlA表示。特别地，如果向量场中处处有curlA=0，则称该向量场是无旋场。

环量的概念刻画了向量场沿其中一条闭曲线“流动”的强弱。而旋度则是用刻画向量场中沿着某一个轴“旋转”（或涡旋）强弱的量。显然，随着面元ΔS选取的方向不同，得到的环量面密度也有大有小。如果要表现一点附近向量场的旋转程度，则应该选择可以使其取得最大可能值时所对应面元的方向，并将由此得到的最大值用作衡量旋转程度的标准。

在空间直角坐标系中，矢量场A在点M处的旋度同样可以借助之前提到的梯度算子表示，此时旋度表现为梯度算子与向量场的外积

至此发现直角坐标系下的散度、旋度与梯度这三个算子（如果把它们看作是三种运算规则的话）正好可以对应到向量代数中的三个重要运算：内积（inner product）、外积（cross product）与直积（direct product）。其中，散度算子实现了一种从向量到标量的运算，旋度算子实现了一种从向量到向量的运算，而梯度算子则实现了一种从标量到向量的运算。

设向量场A=（P，Q，R）的分量函数存在偏导数，u=u（x，y，z）为可微实值函数，C为实常数，则不难得到下列结论：

（1）div（CA）=CdivA；

（2）div（uA）=udivA+A·gradu；

（3）curl（CA）=CcurlA；

（4）curl（uA）=ucurlA+gradu×A。

这里不再给出具体的推导过程，有兴趣的读者可以尝试自行证明。