数独的规律与极限

1.数独终盘知多少

数独的逻辑虽然简单，但是由于数字排列方式千变万化，有着无限可能，所以人们并不认为数独是个简易的小儿科游戏。数学家们在思考这样一个问题：简单的9个数字，到底能组成多少个不同数独呢？

现在，我们利用计算机系统检验所有可能性，才算出所有正确数独终盘的数目：6,670,903,752,021,072,936,960。

这个答案是2005年由Bertram Felgenhauer和Frazer Jarvis计算出的，如果将重复组合（如数字交换、对称等）剔除在外，那么有5,472,730,538个组合。数独终盘的组合数量都如此惊人，那么数独题目数量就更加不计其数了，因为每个数独终盘都可以用挖数的方法给出很多个不同的数独题目。

2.未解的“最少初盘”之谜

特别要注意的是，一个完整的数独终盘，可能来自各式各样不同的初盘。还没有人知道到底有多少种不同的初盘。数学家真正感兴趣的是那些数字不能再更少的“极小初盘”。意思是说，如果从极小初盘再移走任意一个明数，该数独就不可能有唯一解。目前，没有人知道有多少个极小初盘，这个数字相当于数独游戏的真正总数一般，势必将是数学家短期之内所要挑战的问题。

另外还有一类“极小”的问题也还没有解决：在保证有唯一解的条件下，一个初盘至少需要几个数字？答案似乎是17个。西澳大学的罗艾尔（Gordon Royle）已经搜集了38000多个满足这个条件的例子，这些例子是已经化约过，不能靠换行或换列来相互转换的。

一方面，爱尔兰国立大学梅努斯校区的麦盖尔（Gary McGuire）正在彻底搜寻着，希望可以找出16数字初盘并且有唯一解的情形，然而到目前为止还没有什么成果，看来似乎是没有这种可能性。另一方面，罗艾尔和其他人已经各自在寻找16数字初盘只有两个解的情形，不过迄今也还没有找到更多的例子。

有没有人已经快要证明出16数字初盘不会有唯一解呢？麦盖尔认为还早，假设计算机每秒可以分析一组方阵，他说：“我们就可以在173年内搜寻完毕，很不幸，我们目前还做不到这一点，即使是现在的高速计算机也不行。”他认为不久之后，计算机会进步到平均每分钟可以处理一组方阵，但是即便以这种速度，也需要10380年才能完成搜寻。“即使分散到一万部计算机，也还需要一年的时间，”麦盖尔补上一句，“我们必须在理论上有所突破，做搜寻才比较有可能。要么我们得缩减搜寻的空间，不然就需要更棒的搜寻算则。”

数学家倒是知道最少初始数字相反问题的答案，也就是不能保证唯一解的初盘的最多数字，答案是77。就80、79或78个数字的初盘而言，都很容易说明这些情况保证有唯一解，但是77个数字的初盘就无法保证了。