2.1　任意维简谐势阱中的BEC

实验上通常利用磁势阱、光势阱或磁光势阱来囚禁冷原子，所以大多数实验都要借助某种形式的原子势阱来实现BEC。由于束缚在外势阱中的冷原子感受到的外势场可以近似等效为简谐势阱，而且简谐势阱中的理想量子气体的热力学量大都是可以解析的，所以简谐势阱成为研究冷原子气体时最常用、最有效的外势阱。探讨简谐势阱中的量子气体的性质对进一步揭示冷原子中的宏观量子现象有着十分重要的意义。

玻色气体的热力学性质总是受到粒子数、空间维度、外势阱类型（势阱结构）、粒子间的相互作用强度、有限尺度等多种因素的制约[20-23]。比如，在没有外势场囚禁时，二维理想玻色气体就不存在BEC，而三维玻色气体却可以实现BEC。当理想玻色气体处于二维简谐势阱中时，外势阱使得玻色气体比自由空间更容易保持有序，因此二维玻色气体在简谐势阱中也可以发生BEC，三维玻色气体在简谐势阱中更容易实现BEC。陈丽璇、李明哲小组[24-27]已经研究了任意维简谐势阱中的粒子的态密度等物理量，并用解析的方法揭示了简谐势阱的维度对玻色气体的热力学量的影响。本章的研究侧重于采用解析推导和数值计算相结合的方法，讨论相同数目的玻色子分别在二维和三维简谐势阱中的热力学行为，并将对应的热力学量和其他研究小组的结果进行对比分析。

本节的相关内容已在《原子与分子物理学报》发表。

2.1.1　热力学量解析表达式

选取简谐势阱中不考虑相互作用和自旋的非相对论玻色系统为研究对象，其哈密顿为

式中，为玻色子的动能，为椭球型简谐势阱，为简谐势阱的特征频率，为维空间中粒子的坐标。

由文献[34]可得任意维简谐势阱中粒子的态密度为

在统计物理中，人们通常采用准经典近似（SCA）来研究势阱中的量子气体的热力学性质。SCA假定能级间距远远小于，即（在实际实验中该条件很容易满足），此时不连续的量子能级可以近似看成连续的能谱，因此对量子态的求和可以直接转化为对量子数的积分或者通过引入态密度函数对相空间的积分。

根据态密度的表达式（2.2），并结合玻色-爱因斯坦分布函数，便可采用SCA将对能级的分立求和变为连续积分。SCA方法求出的系统粒子数和总能E的表达式为

和

式中，为玻色积分，为逸度。式（2.3）和式（2.4）是研究系统的热力学性质的基本方程，也是SCA的出发点。由粒子数方程（2.3）可以求出BEC相变温度和基态粒子占据率，由总能方程（2.4）可以求出比热。

系统发生BEC时，，化学势等于基态能，逸度等于1，故BEC相变温度为

为黎曼-才塔函数。

结合式（2.3）和式（2.5）可以求出基态粒子占据率

由式（2.4）可以得到系统的总能和比热；它们分别为

和

上述推导中用到了热力学关系式和粒子数守恒方程。

BEC相变温度附近的热容量的变化量为

以上由SCA得到的结果是基于热力学极限下的近似。实际的系统并不一定处于热力学极限，因此SCA的解析结果与实际结果可能会有偏差。

下面将对玻色系统的BEC相变温度、基态粒子占据率、总能和比热分别进行数值计算，并将其和上述解析结果及其他研究小组的结果进行比对，以加深人们对BEC的理解。

2.1.2　结果与讨论

数值计算采取直接对分立能级进行求和的方法。系统的粒子数根据Anderson和Cornell小组[35]的实验数据设定为2000。为方便讨论，实验考虑各向同性谐振子（），并定义无量纲温度、能量。此时，式（2.5）将变为。由于，，，所以式（2.5）也可以作为系统能否实现BEC的判据。

对于简谐势阱中的玻色系统而言，一维系统仍然不会有BEC出现（），二维和三维系统都可以在不同温度下实现BEC。下面将给出二维和三维玻色系统的解析和数值结果，约定图2-1至图2-4中的实线表示数值计算的结果，虚线表示SCA的解析结果。

由图2-1可以看出，二维和三维玻色系统的BEC相变温度均随着粒子数的增大而增大。和自由空间相比，简谐势阱的存在提高了系统的BEC相变温度，这使得原本不凝聚的二维玻色系统实现了凝聚，且三维玻色系统更容易保持有序，也就是三维玻色系统需要更高的温度才能实现BEC。数值计算的结果和SCA的解析结果相差不大，这表明采用SCA处理简谐势阱中的BEC是基本合理的。

图2-2给出了基态粒子占据率随温度的变化。由图2-2可知，基态粒子占据率随温度的降低逐渐增大，横坐标中的采用的是时两系统各自的SCA值。当时，粒子刚好全部处于激发态，基态粒子占据率为最小值0，随着温度的降低，越来越多的粒子被冻结到基态。到达绝对零度时，基态粒子占据率为最大值1，全部粒子都被冻结到基态。

图2-3给出了单粒子无量纲内能随温度的变化。图2-3表明二维系统的内能随温度的变化基本是连续的，而三维系统的内能-温度曲线在BEC相变温度处出现了拐点，这说明二维和三维系统的相变行为存在明显不同，更准确的说明还要借助于图2-4给出的单粒子比热-温度曲线。

图2-4给出了单粒子无量纲比热随温度的变化。图2-4表明，三维玻色系统的比热变化量明显高于二维玻色系统，比热变化量随简谐势阱维度的增加而增大。由式（2.9）可得，，这说明二维玻色子的比热在相变温度附近连续，即二维简谐势阱中粒子数有限的玻色系统不存在严格意义上的相变。数值计算结果也表明二维玻色系统的相变特征并不明显，临界点附近的比热曲线基本上是平滑的。对于三维玻色系统来讲，通过数值计算得到的比热变化量约为6.673，略高于式（2.9）中SCA方法给出的，这表明三维玻色系统的比热存在明显的临界点奇异性。在高温近似下，二维和三维玻色系统均遵从能量均分定理，单粒子比热分别趋于它们各自的经典值和。

2.1.3　结论

本节采用SCA给出了任意维简谐势阱中的理想玻色气体的热力学量解析表达式，同时采用数值方法研究了二维和三维玻色气体的热力学性质，所得数值与解析结果较吻合。计算表明，BEC相变温度随粒子数增大而增大，二维系统在简谐势阱的约束下实现了凝聚。二维系统的总能和比热随温度呈现连续性变化（曲线比较平滑），三维系统的总能和比热在BEC相变温度处存在不连续跃变（临界点奇异性），两系统的比热在高温极限下均趋于各自的经典值，这与杜隆-珀替定律相符合。