![基于加权多维标度的无线信号定位理论与方法](https://wfqqreader-1252317822.image.myqcloud.com/cover/741/36511741/b_36511741.jpg)
6.3 基于加权多维标度的定位方法1
6.3.1 标量积矩阵的构造
这里的标量积矩阵与4.2.1节中的标量积矩阵相同,其表达式为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_55.jpg?sign=1734390100-1EBqKQrA9qx5MKUcNCD7ZruR2Ic6ap10-0-537e7e4b59c8f011a56a8b90c1f500b9)
(6.16)
式中,为坐标矩阵,它由传感器和辐射源的位置向量构成,如下式所示:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_57.jpg?sign=1734390100-Op07AAd7zFdIQMsnHRArAGJjfH57KmEu-0-8606ba3f02dc7907f84bb5a7c408a9ed)
(6.17)
式中,[3]。
根据4.2.1节中的讨论可知,矩阵可以表示为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_60.jpg?sign=1734390100-PzgdEFKWKwTurZYBRVlZKd9MS5QGXbfa-0-6287f7f174b630120cd349a6051cacae)
(6.18)
式中,。
6.3.2 一个重要的关系式
利用式(4.20)可以直接得到如下关系式:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_62.jpg?sign=1734390100-aL4ZO8eFvEYVKCm1lDyZvWWFbQ8kPBsp-0-2e1a414ec7f73f55ca91d54d5ec752bd)
(6.19)
式中
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_63.jpg?sign=1734390100-1ZYhm2jDhCrZrsKbnSDx8BusuvL1oEpM-0-efc2f27d2b46b702e9ccbf177a65048b)
(6.20)
式(6.19)建立了关于辐射源位置向量的伪线性等式,其中一共包含
个等式,而RSS观测量也为
个,因此观测信息并无损失。下面可以基于式(6.19)构建针对辐射源定位的估计准则。
6.3.3 定位原理与方法
1.一阶误差扰动分析
在实际定位过程中,标量积矩阵的真实值是未知的,因为其中的真实距离平方
应由其无偏估计值
来代替,这必然会引入误差。不妨将含有误差的标量积矩阵
记为
,于是根据式(6.16)可以将该矩阵表示为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_72.jpg?sign=1734390100-NzTR6zw6ITYymKUeHkBsjh2FPtICONQq-0-bcd07d1c49f15117f784c65f8ba31ad7)
(6.21)
由于,于是可以定义如下误差向量:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_74.jpg?sign=1734390100-7JLfz4ccnlJz5m4l1OhX1Vd16F7p2QJb-0-f04c97e6c766c0ceb8ebecafbe2a8a42)
(6.22)
式中,表示
中的误差矩阵,即有
,它可以表示为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_78.jpg?sign=1734390100-VncKZJhl7Xg9Zw7vl3cAF8k3vnDW6Qnr-0-c80b3062c872d62b4b8ce9a117ee9573)
(6.23)
将式(6.23)代入式(6.22)中可以将误差向量表示为关于误差
的线性函数,如下式所示:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_81.jpg?sign=1734390100-8rSBLlG8vaiVze7TVnrtUF6kx2c2Z4MC-0-9406b6fd2cfc40b85fce528e964a01bf)
(6.24)
式中
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_82.jpg?sign=1734390100-FnH6d4djqj8dABbGfSJOdD8YLkUjTcYh-0-e76ae77e0dd30d8b26332ddfa17da7d9)
(6.25)
式(6.24)的推导见附录C.1。由式(6.24)可知,误差向量的均值为零,协方差矩阵为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_84.jpg?sign=1734390100-v59w9ZgciWXcBMnuvtjhewKdXb2IBcd1-0-599c7dec8ee78560a3112acadbaf89a4)
(6.26)
2.定位优化模型及其求解方法
基于式(6.22)和式(6.26)可以构建估计辐射源位置向量的优化准则,如下式所示:
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_86.jpg?sign=1734390100-UbHV6XcmX1wOmYGHymKUsHWYwJPO49ae-0-7e1350c849c581d72bbebe369819dbde)
(6.27)
式中,可以看作加权矩阵,其作用在于抑制误差
的影响。不妨将矩阵
分块为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_90.jpg?sign=1734390100-WUCIWxEVYGmrOIT1pJMHmjjUFQrCEAUN-0-4d37dba4e80fb415598ed010db060605)
(6.28)
于是可以将式(6.27)重新表示为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_91.jpg?sign=1734390100-GqrGOJGQwedPzINSsJffLb3jV4396PSG-0-e3f23594c461debe3aeaf663c5fb1461)
(6.29)
根据命题2.13可知,式(6.29)的最优解为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_92.jpg?sign=1734390100-mfy9za9QdM9HGTSnlQyrnQSs5lDEPrHj-0-acfceb524a131fbc45ecc142bcc9c6d6)
(6.30)
【注记6.2】由式(6.26)可知,加权矩阵与辐射源位置向量
有关。因此,严格来说,式(6.27)中的目标函数并不是关于向量
的二次函数,针对该问题,可以采用注记4.1中描述的方法进行处理。理论分析表明,在一阶误差分析理论框架下,加权矩阵
中的扰动误差并不会实质影响估计值
的统计性能。
图6.1给出了本章第1种加权多维标度定位方法的流程图。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_98.jpg?sign=1734390100-qFZUBTNjNOFdQFxPV7zyRVeSVhO0xWjN-0-109aab351b4a3ff0a0218cf30b65f2b0)
图6.1 本章第1种加权多维标度定位方法的流程图
6.3.4 理论性能分析
下面将利用4.2.4节中的结论直接给出估计值的均方误差矩阵,并将其与克拉美罗界进行比较,从而证明其渐近最优性。
首先将最优解的估计误差记为
,仿照4.2.4节中的理论性能分析可知,最优解
是关于向量
的渐近无偏估计值,并且其均方误差矩阵为
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_104.jpg?sign=1734390100-gHairSAEuNFBUS4VgGL8eKxHr2pE19iN-0-4ae7754dea49bde74042eb86a8173eda)
(6.31)
下面证明估计值具有渐近最优性,也就是证明其估计均方误差矩阵可以渐近逼近相应的克拉美罗界,具体可见如下命题。
【命题6.3】如果满足,则有
[4]。
【证明】首先根据命题3.1可知
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_109.jpg?sign=1734390100-xp0mBHUYtXJfCFqjdMwZXukXP8myVnAT-0-96cbad0e9c54f9cdc70a6e25b152ff49)
(6.32)
式中
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_110.jpg?sign=1734390100-ohoyl88i32AjSNPWptlIJVaDB7N6MpTP-0-035c4e1eea4eca9ac28d174fa62d9d28)
(6.33)
将式(6.33)代入式(6.32)中可得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_111.jpg?sign=1734390100-QWeMPvOA2x2XMbsPUn2eIh3OmuRw24mQ-0-33f7bf249c8d2201d895f1aee99619a3)
(6.34)
另一方面,当时,满足
,将该近似等式代入式(6.26)中可得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_114.jpg?sign=1734390100-1OE9hlqDnxn9aDC4WpWwkmmsabA5jduv-0-4bbc6d9b40b2d4862697675cff41107e)
(6.35)
再将式(6.35)代入式(6.31)中可得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_115.jpg?sign=1734390100-zsgkdBuLorRuRUaxOBDsNDDgQAGl0II6-0-c5b43000f0446ff5d15fa1b9d2699d25)
(6.36)
考虑等式,将该等式两边对向量
求导可得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_118.jpg?sign=1734390100-T5aODCx7Ofmzdz16YW7pBT1PgjKfNGMU-0-d4c4922536da0b38edf15eff3b4eb84f)
(6.37)
式中
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_119.jpg?sign=1734390100-oUZ3QfhyfOM4T54d1DQsTe3F3axodLIs-0-38617655ffcc087a4b4a775df82420f5)
(6.38)
结合式(6.37)和式(6.38)可得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_120.jpg?sign=1734390100-QKazSRbspWyV3P0c5XdNUJnAbUpLxXB0-0-19de2cc2623962de04009b08f1de7f4d)
(6.39)
最后将式(6.39)代入式(6.36)中可得
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_121.jpg?sign=1734390100-GxAznjHLEhSyKelIZmoXqNiMb3F0O6mI-0-2f4bc3ae09d86a5e5801f25e70db75b8)
(6.40)
证毕。
6.3.5 仿真实验
假设利用9个传感器获得的RSS信息对辐射源进行定位,传感器二维位置坐标如表6.1所示,阴影衰落服从均值为零、协方差矩阵为
的高斯分布。
表6.1 传感器二维位置坐标 (单位:m)
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_124.jpg?sign=1734390100-X6zr8ndVUwrV6R59rHg3KXpdFe0kw21R-0-81edf9135408a824e3476e0b0167792c)
首先将辐射源位置向量设为(m),将标准差设为
,将路径损耗因子
设为
,图6.2给出了定位结果散布图与定位误差椭圆曲线;图6.3给出了定位结果散布图与误差概率圆环曲线。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_129.jpg?sign=1734390100-O1VydxfP76WUzoB66bfjjzkg1gRpp17S-0-ef62db6f3c44be9e98e09f66b21f28db)
图6.2 定位结果散布图与定位误差椭圆曲线
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_130.jpg?sign=1734390100-Eg3CztPSQpcmKBhYZzZzD64ga1i4m6Mv-0-093d311da64ce5ab97dd4caa2309f4ed)
图6.3 定位结果散布图与误差概率圆环曲线
然后将辐射源坐标设为两种情形:第1种是近场源,其位置向量为(m);第2种是远场源,其位置向量为
(m),将路径损耗因子
设为
。改变标准差
的数值,图6.4给出了辐射源位置估计均方根误差随着标准差
的变化曲线;图6.5给出了辐射源定位成功概率随着标准差
的变化曲线(图中的理论值是根据式(3.29)和式(3.36)计算得出的,其中
m)。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_139.jpg?sign=1734390100-TViI8kCTnsABCufFjkQdAEqcwzqghBzW-0-56c3cb69411a72f69bf855202bf3242c)
图6.4 辐射源位置估计均方根误差随着标准差σt的变化曲线
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_140.jpg?sign=1734390100-J50yvMguMTmi40xzTaq76eShfguxmtM1-0-3643203402a9b85a55644286614d530f)
图6.5 辐射源定位成功概率随着标准差σt的变化曲线
接着将标准差设为两种情形:第1种是
;第2种是
,将路径损耗因子
设为
,将辐射源位置向量设为
(m)[5]。改变参数
的数值,图6.6给出了辐射源位置估计均方根误差随着参数
的变化曲线;图6.7给出了辐射源定位成功概率随着参数
的变化曲线(图中的理论值是根据式(3.29)和式(3.36)计算得出的,其中
m)。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_152.jpg?sign=1734390100-6lUOhN56NMOT09WidprMFbwxVTo4RVkm-0-59a11d74cb4b085de989c2edfc4b9f60)
图6.6 辐射源位置估计均方根误差随着参数k的变化曲线
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_153.jpg?sign=1734390100-Recx1Ec1ZJdSjlV6h24MIkNphkVDThli-0-a3936a189de99c3e0ec18e1b64d852ac)
图6.7 辐射源定位成功概率随着参数k的变化曲线
最后将标准差设为两种情形:第1种是
;第2种是
,将辐射源位置向量设为
(m)。改变路径损耗因子
的数值,图6.8给出了辐射源位置估计均方根误差随着路径损耗因子
的变化曲线;图6.9给出了辐射源定位成功概率随着路径损耗因子
的变化曲线(图中的理论值是根据式(3.29)和式(3.36)计算得出的,其中
m)。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_162.jpg?sign=1734390100-UzmPiI3F8KKzIe6yMQG0qtMazkIJLncv-0-59106391a993176d9474d39412db0b42)
图6.8 辐射源位置估计均方根误差随着路径损耗因子α的变化曲线
从图6.4~图6.9中可以看出:(1)基于加权多维标度的定位方法1的辐射源位置估计均方根误差可以达到克拉美罗界(见图6.4、图6.6及图6.8),这验证了6.3.4节理论性能分析的有效性;(2)随着辐射源与传感器距离的增加,其定位精度会逐渐降低(见图6.6和图6.7),其对近场源的定位精度要高于对远场源的定位精度(见图6.4和图6.5);(3)随着路径损耗因子的增加,辐射源定位精度会逐渐提高(见图6.8和图6.9);(4)两类定位成功概率的理论值和仿真值相互吻合,并且在相同条件下第2类定位成功概率高于第1类定位成功概率(见图6.5、图6.7及图6.9),这验证了3.2节理论性能分析的有效性。
![img](https://epubservercos.yuewen.com/B0258D/19391577301344706/epubprivate/OEBPS/Images/txt008_164.jpg?sign=1734390100-PXexNYK7oNbHqRSpTRVcuceW1ThcHEFi-0-2a8e486a012112dd744be694d1c87d92)
图6.9 辐射源定位成功概率随着路径损耗因子α的变化曲线