由于适用范围广，灵敏度高，故 -R控制图是计量值最常用、最重要的控制图。

(1) 图:若x服从正态分布，则易证x也服从正态分布;若x非正态分布，则根据中心极限定理，可证 近似服从正态分布。关键正是这后一点才使得 图得以广为应用。

(2)R图:通过在计算机上的模拟试验证实，只要x不是非常不对称的，则R的分布无大的变化，故R图也适用范围广。

(1) 图:由于偶波的存在，一个样本组的各个x的数值通常不会都相等，有的偏大，有的偏小，这样把它们加起来求平均值，偶波就会抵消一部分，故标准差减小，从而控制图上控制限的间隔缩小。但对于异波而言，由于一般异波所产生的变异往往是同一个方向的，故求平均值的操作对其无影响，因此，当异常时，描点出界就更加容易了，即灵敏度高。

(2)R图:无此优点。

设过程正常，x～N(μ，σ ²)，则易证x～N(μ，σ ²/n)，n为样本大小。若μ，σ已知，则x图的控制线为

若μ，σ未知，则需对其进行估计，即

式中，符号“^”表示为估计值。

为了求出估计值，需要收集预备数据如表14-2所示。

从表14-2的数据可求得:

总平均值为

极差为

平均极差值为

由数理统计可以证明

式中，d ₂为一与样本大小n有关的常数，有表可查。将式(14-7)、(14-8)代入式(14-4)～(14-6)，得到μ、σ未知时 图的控制线为

式中 ，参见表14-3或表14-6。

从3σ方式，有

若μ _R、σ _R已知，则可用上式求得R图的控制线。若μ _R、σ _R未知，则需对其进行估计，即

由数理统计可以证明

将式(14-18)、(14-19)代入式(14-15)～(14-17)后，得到

式中，系数D ₃、D ₄分别为

D ₃、D ₄为与样本大小n有关的系数，参见表14-4或表14-6。

现将 图与R图控制线的公式并列在下面:

在上述 -R图中，我们应先作哪一个图?

(1)若先作 图，则由于R图还未判稳 的数据不可用，故不可行。

(2)若先作R图，则由于R图中只有 一个数据，可行。等R图判稳后，再作 图。故作 -R图应反其道而行之，先作R图，R图判稳后，再作 图。若R图未判稳，则永不能开始作 图。不但如此，所有正态分布的控制图都必须反其道而行之。即使在多元情形也如此。休图的国际标准ISO8258:1991也明确规定:在制作 -R图时应先制作R图。

步骤1:确定所控制的质量指标(控制对象，或称统计量)。

这里要注意下列各点:

(1)选择技术上是最重要的控制对象。

(2)若指标之间有因果关系，则宁可取作为因的指标为统计量。

(3)控制对象可以是多个，这时需要应用多元控制图与多元诊断。

(4)控制对象要明确，并为大家理解与同意。

(5)控制对象要能以数字来表示。

(6)控制对象要选择容易测定并对过程容易采取措施者。

(7)直接选择控制对象有困难时可采用代用特性进行测定。

步骤2:取预备数据。

(1)根据判稳准则2，至少取35组，最好再加上5组成为40组，以作必要时去掉一些异常数据之用。

(2)样本容量(或称样本大小)通常取为4或5。

(3)合理子组原则(principle of rational subgroups):组内差异只由偶因造成，组间差异主要由异因造成。根据合理子组原则的前一句，我们在取样本组时应在生产条件保持相同时来取或短间隔内取，以避免异因进入。根据合理子组原则的后一句，我们在过程不稳、变化激烈时应多抽取样本，而在过程平稳时，则应少抽取样本。注意，休哈特所提出的上述合理子组原则只适用于分组的控制图。

步骤3:计算 ，R _i。

步骤4:计算 。

步骤5:计算R图控制线 图控制线，并作图。

步骤6:将预备数据在R图中打点，判稳。

若稳，则进行步骤7;若不稳，则执行“20字方针”后转入步骤2，重新开始。

步骤7:将预备数据在 图中打点，判稳。

若稳，则进行步骤8;若不稳，则执行“20字方针”后转入步骤2，重新开始。

步骤8:计算过程能力指数并检验其是否满足技术要求

若过程能力指数满足技术要求，则转入步骤9。

若过程能力指数不满足技术要求，则需要调整过程直至过程能力指数满足技术要求为止。这时还需要对过程进行判稳。若稳，则转入步骤9，否则执行“20字方针”后转入步骤2，重新开始。

步骤9:延长 -R控制图的控制线，作控制用控制图，进行日常管理。

上述步骤1～步骤8为分析用控制图。

上述步骤9为控制用控制图。

［实例14.1］

［解］我们按照下列步骤建立 -R图:

步骤1:取预备数据，然后将数据合理分成25组，参见表14-5。

步骤2:计算各组样本的平均数 。例如，第一组样本的平均值为

其余参见表14-5中第(7)栏。

步骤3:计算各组样本的极差R _i。例如，第一组样本的极差为

其余参见表14-5中第(8)栏。

步骤4:计算样本总均值 与平均样本极差R。由于 =4081.8，∑R=357，参见表14-5末行，故

=163.272 =14.280

步骤5:计算R图与 图的参数。

先计算R图的参数。从本章表14-6可知，当样本大小n=5，D ₄=2.114，D ₃=0，代入R图的公式，得到

参见图14-1。可见现在R图判稳。故接着再建立 图。由于n=5，从表14-6知，A ₂= 0.577，再将 =163.272 =14.280代入 图的公式，得到

图

可见，第13组 值为155.00小于 ，故过程的均值失控。经调查其原因后，改进工作，并采取措施防止这种现象再次发生。然后去掉第13组数据，再重新计算R图与 图的参数。此时，

代入R图与 图的公式，得到

R图:

从表14-5可见，R图中第17组R= 30出界。于是再次执行“20字方针”后，舍去第17组数

据，重新计算如下:

R图:

从表14-5可见，R图可判稳。于是计算 图如下:

图:

将其余23组样本的极差值与均值分别打点于R图与 图上，参见图14-2，根据判稳准则，知此时过程的变异度与均值处于稳态。

步骤6:与规格进行比较。

已经给定质量规格为:S _L= 100，S _U= 200。现把全部预备数据作直方图并与规格进行比较，参见图14-3。

由图14-3可见全部数据的分布与规格值比较均有余量，但其平均值并未对准规格中心，因此，还需要加以调整以便提高过程能力指数，即减少不合格品率。经过调整后还需要重新计算相应的 -R图。

步骤7:延长上述 -R图的控制线，对工序进行日常控制。