2　理论与工具

2.1　翼型设计理论

研究翼型设计的可靠方法是流体机械领域的重要课题之一。最早的翼型设计方法可以追溯到20世纪40年代，对于不可压缩流动，根据目标压力曲线进行翼型的逆向设计，出现了保角映射法（conformal mapping methods）［27］。相比于早期的根据经验公式设计的NACA系列翼型，保角映射法成功地设计出了一系列具有低阻力系数的翼型。在20世纪50年代，Stanitz［28］提出了逆向法，开始是解决不可压缩流动问题，后来拓展到可压缩流动问题。Stanitz将势函数（Φ）和流函数（ψ）作为自然坐标对控制方程进行变换。Stanitz的方法是在（Φ，ψ）坐标系下在对速度模量求对数的过程中产生二阶偏微分方程。Stanitz的逆向法比保角映射法更加灵活，因此被拓展到叶轮机械其他组件的设计中。本文运用的翼型设计理论由希腊可再生能源与储能研究中心的Chaviaropoulos［29］提出，简述如下。

2.1.1　基本假设

本文采用逆向法进行翼型设计有一个基本假设：来流是二维、定常、可压缩并无旋的理想气体。其基本方程如下

连续性方程

无旋性条件

密度方程（能量守恒与等熵条件）

式中：速度V被无穷远处来流速度V∞归一化；密度ρ被无穷远处来流的密度ρ∞归一化；M∞代表相应位置的马赫数。

2.1.2　势函数与流函数介绍

引入势函数Φ和流函数ψ的概念，将控制方程式（2-1）与式（2-2）恒等变换如下

式中：N是垂直于流面的单位矢量。

2.1.3　自然曲线坐标系（φ，ψ）

将势函数和流函数当做相互独立的变量和自然坐标。在（φ，ψ）坐标系下，逆变量的基是

由于▽φ·▽Ψ=0，（φ，ψ）坐标系是正交曲线坐标系。（φ，ψ）坐标系的度量标准和共轭度量标准由式（2-5）和下式标准张量关系式给出

式中：9nl代表度量张量；gml代表共轭度量张量；是Kronecker符号。

根据式（2-5），（Φ，Ψ）坐标系的度量张量和共轭度量张量还可以通过流量表示为

2.1.4　控制方程

自然坐标系（φ，ψ）建立在二维欧几里得空间（x，y）中。一个空间满足欧几里得空间的标准是其空间曲率为零，如平面空间就是欧几里得空间。

在二维空间中，曲率张量只有一个独立分量R 1212，与高斯曲率K成正比。如果曲率为零，有

上式还可以写成

式（2-10）和式（2-11）定义了　Christoffel符号。

由于描述二维欧几里得空间的坐标系是自然坐标系（φ，ψ），同时式（2-7）是通过流量的函数表示，式（2-8）以偏微分方程表示。将坐标系下标1，2分别替换为φ，ψ，将式（2-7）代入式（2-9）、式（2-10）、式（2-11）可得

下标φ，ψ代表相应的偏导数。非线性二阶偏微分方程（2-12）与密度方程（2-3）组成了流场区域的一组闭合方程组。将式（2-3）代入式（2-12），可得

注意到φ方向与流动方向吻合，速度方程的形式取决于当地马赫数的大小。在实际应用中，式（2-13）以下面形式列出

式（2-14）是在自然坐标系（φ，ψ）上运用连续性和无旋性条件并消除与流动方向有关的变量推导而来的，式（2-14）还满足自然坐标系下的兼容性条件。