2.2 混凝土的强度
混凝土的强度是评价混凝土质量及各种影响因素的主要指标之一，它反映了混凝土结构抵抗各种作用力的能力。混凝土强度发生和发展的影响因素众多，如水灰比、水泥强度、粗骨料种类、养护温度和湿度以及混凝土自身温度等。
针对混凝土结构的温控防裂方向，混凝土强度及其发展规律越接近真实，仿真预测分析结果的可靠性就越好。目前，基于混凝土水化度和等效龄期成熟度的热力学模型的应用被广泛接受和采纳，尤其在温控防裂方面。但是针对该领域却很少考虑混凝土力学性能尤其是强度的尺寸效应问题，这导致有时仿真预测时尽管给定了较大的抗裂安全度，但仍然无可避免出现混凝土开裂的现象。
2.2.1 考虑混凝土活化能的等效龄期
研究表明，混凝土的活化能对混凝土强度等力学特性的影响较大，需要在计算中加以考虑［138］。为此，Jin Keum Kim在试验基础上建立了活化能函数［139］：
式中：Ea为混凝土活化能；Ea0为初始混凝土活化能；αE为待定参数。
Ea 0、αE分别满足：
式中：T为混凝土温度，℃。
根据Arrhenius函数和式（2.22），可得
式中：k（T）为水化反应速率；T为混凝土的绝对温度。
在t龄期，在温度分别为T和Tr时，水化反应速率之比k（T）/k（Tr）可以表示为
从而有
式中：te为考虑混凝土表面活化能随水化反应变化的等效龄期；t0为混凝土初凝时间，t0=0.66-0.011T≥0；Tr为参考温度，可取20℃；T为混凝土温度，℃。
2.2.2 基于等效龄期的混凝土强度模型
研究发现，与温度对水化度的影响不同，养护温度不但对混凝土早期强度发展有重要影响，而且养护温度越高，早期强度发展就越快，但后期强度就越低，反之亦然，如图2.10所示，养护温度越高，后期的强度就越低，这是以往的强度模型所不能反映的。
关于温度对混凝土最终抗压强度的影响程度，目前国外尚未形成统一认识。Chanvillard于1997年提出在恒温养护条件下混凝土28d强度与养护温度的关系为［140］
图2.10 不同温度下的水化度和混凝土抗压强度发展过程
式中：fc，28（T）为养护温度为T时混凝土28d龄期抗压强度；fc，28（20）为养护温度为20℃时混凝土28d龄期抗压强度。
由式（2.28）可以看出，混凝土养护温度每升高1℃，28d抗压强度比标准养护条件下降低1%，降低幅度还是比较大的。
基于此，并考虑混凝土表面活化的等效龄期的概念，笔者提出以下混凝土的抗压强度模型（指数双曲线式）：
式中：fc（T，te）为混凝土在养护温度为T时的抗压强度，MPa；fc，u（T）为混凝土在养护温度为T时的最终抗压强度，MPa；a（T）、b（T）为与养护温度T有关的常数；te为等效龄期，见式（2.27）。
根据式（2.29）给出不同养护温度下抗压强度的发展过程，如图2.11所示。图2.11中Tb为混凝土标准养护温度（℃）。
图2.11 不同养护温度下相同混凝土抗压强度发展过程
在工程应用时，混凝土温度处于不断变化中，早期温度升高，而后期温度缓慢下降，最终抗压强度受养护温度的影响可以忽略不计［141］。因此，在计算时，可以不考虑养护温度对最终抗压强度的影响。式（2.29）可以简化为
式中：fc，u为标准养护下，混凝土的最终抗压强度，MPa；a、b为试验常数；其他符号意义同式（2.29）。
2.2.3 混凝土强度的尺寸效应
试验表明，混凝土的力学性能（包括强度、弹性模量等）不只是材料本身的性质，还是依赖于结构几何尺寸和形式的参数，即混凝土的力学性能不是一个常数，而是随着材料几何尺寸的变化而变化，也就是所谓存在尺寸效应律。尺寸效应最早起源于15世纪，由Leonardo da Vinci首先提出，并最早由Gonnerman将其应用于混凝土材料的研究。以往，在混凝土温控设计时，强度的取值通常根据标准试件的试验结果，但一般混凝土的实际结构尺寸要远大于试验的试件，而测试机械或仪器的范围又仅适用小尺寸的混凝土结构，因此，在应用这种小尺寸的试验结果解决实际混凝土工程问题时，其应用价值和精度如何，则很难定论，即面临着尺寸效应问题。国外对混凝土强度尺寸效应的研究已经较为充分，现阐述如下。
Weibull于1939年根据最弱键概念分析和描述强度尺寸效应现象，提出了著名的Weibull分布，并建立了分析尺寸效应的统计理论。他认为尺寸效应主要是由于材料强度的随机分布引起的，由于混凝土强度的随机性，致使遇到某个低强度单元的概率随结构尺寸的增大而增大。Weibull统计理论在3个基本假定［142-143］的前提下，根据最弱连接原理，导出了结构的失效概率：
式中：Ve为有效体积；σ0为尺度参数；σ1为应力的门槛值，对于脆性材料，可取0，若σ<σ1，则Pf（σ）=0；m为Weibull模量或形状因子，与材料有关；σ为应力。
根据式（2.31）可以推导出两个不同试件尺寸效应的关系式为［144-145］
式中：σ1、σ2为大小试件的强度数学期望值；V1、V2为大小试件的体积；m意义同式（2.31），对于混凝土材料可取m=12。
由式（2.32）可以看出，只要知道Weibull模量，就可以根据小尺寸试件的强度数学期望值σ2求得大尺寸试件的强度数学期望值σ1。但是Weibull理论仅考虑材料体积的变化而未考虑形状的不同，且不考虑受力形式的差异，因此在应用于混凝土材料时，往往误差较大，需要进行修正。实际上，Weibull理论分析疲劳而变脆的金属结构时效果较好。针对准脆性材料，许多研究者都在此方面做出了很多有益的尝试，如Bazant尺寸效应律、Carpinteri尺寸效应律等。
Bazant理论认为尺寸效应是由宏观裂纹扩展时应变能耗散引起的。基于此，Bazant推导出了基于能量释放和基于渐进分析的尺寸效应律，并在上述两种尺寸效应律的基础上对非几何相似和无切口情况下的尺寸效应进行了研究［146-151］。由于本书研究需要，现对基于渐进分析的非几何相似尺寸效应进行介绍。
Bazant从分析结构的能量释放入手，认为当混凝土结构的宏观裂纹稳定扩展后，达到最大荷载时名义强度的尺寸效应通常可由能量释放的渐近分析导出［147-148］。最大荷载必须满足两个条件：一是在最大荷载下，裂纹发展；二是在荷载控制条件，最大荷载代表了稳定性的极限。根据这两个条件，Bazant导出大尺寸条件基于渐进分析的名义强度的泰勒级数展开公式［150］：
式中：B为无量纲常数；
为准脆性材料的抗拉强度；D0、k2、k3、K为与展开点位置有关的常数。
同理，可以导出小尺寸结构的名义强度的渐进展开式［150］：
式中，σP、b2、b3、K为与结构形状有关的常数。
上述大尺寸和小尺寸情况下的渐近展开为纯粹的理论推导。显然，对于尺寸趋于无穷大或无穷小的尺寸效应是没有实际意义的。图2.12为大尺寸和小尺寸情况下尺寸效应的渐近展开 （虚线）以及与这些渐近展开相匹配的尺寸效应律 （实线）。
图2.12 Bazant尺寸效应关系曲线
在上述的渐近级数展开式中，由式（2.33）和式（2.34）的前两项可以导出下面统一的表达式［151］：
式中：B为无量纲的常数；ft为准脆性材料的抗拉强度；β为脆性数，当β→0时，材料完全非脆性，当β→∞时，材料完全脆性。
研究表明，Bazant尺寸效应律不仅反映了尺寸效应，而且反映了结构几何（形状）效应。也就是说，Bazant尺寸效应律可以应用于非几何相似的结构试件中［152］。
在D=D0时，即β=1时，令混凝土的名义强度σNu=σ0，抗拉强度ft=ft0，则有
由式（2.35）和式（2.36）可得
式中：σ0、ft0为几何尺寸D=D0时，混凝土的抗压强度和抗拉强度，MPa；其他符号意义同前。
若不考虑混凝土材料抗拉强度的尺寸效应，则式（2.37）可简化为
式中：各符号意义同前。
2.2.4 考虑尺寸效应的混凝土强度模型
为了获得考虑尺寸效应的混凝土强度模型，现给出两个假定：①在不同尺寸下，相同混凝土强度的发展规律不变；②不同龄期的相同混凝土的强度尺寸效应律一致。
在室内试验条件下，混凝土的抗压强度发展过程见式（2.30）。则由式（2.32）可建议基于Weibull尺寸效应统计理论的混凝土强度模型：
式中：fc（te）为实际结构中混凝土抗压强度，MPa；fc0（te）为室内试验混凝土抗压强度，MPa；fcu0为室内试验的最终抗压强度，MPa；V0、V为室内试验和实际结构混凝土的体积，m3；m为形状因子；其他符号意义同前。
式（2.39）为考虑了混凝土时间效应和空间效应的抗压强度模型，由该式可以看出，混凝土实际结构体积越大，其抗压强度就越低，如当混凝土实际尺寸V是室内试验尺寸V0的20倍时，其抗压强度仅是室内试验结果的0.78。
式（2.39）建立在Weibull的尺寸效应统计理论的基础上，其理论和应用均存在较大的局限性，首先，它仅考虑体积变化而未考虑形状的不同，认为只要体积相同强度就一致，这与实际不符［153］，而一般情况下，室内试验混凝土形状和实际结构形状往往是不一致的，因此由式（2.39）给定的混凝土强度模型存在较大的误差。另外，由于形状因子m的确定需要通过强度的试验数据来测算，但事实上，在强度测试中存在各种互相牵连的影响因素（包括尺寸效应），这使得m值的确定较为困难。
同理，由式（2.30）和式（2.38）可得考虑尺寸效应和形状效应的混凝土强度模型：
式中：D0、D为室内试验和实际结构混凝土的几何尺寸，m；其他符号意义同式（2.39）。
由式（2.40）可知，当混凝土实际尺寸D是室内试验尺寸D0的2.71倍时，其抗压强度仅是室内试验结果的0.73，这个结果与式（2.39）相近。与式（2.39）相比，式（2.40）更为简单，需要通过实验确定的参数较少，且对非几何相似的情况同样适用。
但是，若考虑混凝土抗拉强度的尺寸效应，则式（2.40）就变得更为复杂。首先，拉伸试验要求荷载准确对中，在测试段上应力要求均匀分布，且试件需在指定的范围内破坏。但是，由于混凝土材料的不均匀性，试验时试件很难严格对中，而且施加荷载易引起局部应力集中，从而造成试件在夹具附近或变截面处过早地破坏，导致直接拉伸混凝土试件受拉截面上应力分布不均匀而严重影响测试结果的准确性和可信度，因而混凝土的拉伸试验较为困难［153］。另外，目前研究抗拉强度的尺寸效应，也主要从理论上针对几何相似进行了分析［154-156］。