2 经典损伤理论的局限性

2.1 连续损伤力学与等效应变假设

宏观连续损伤力学以连续介质力学和不可逆热力学为基础，把物体内存在的微缺陷理解为连续的变量场（即损伤场），把损伤过程视为满足热力学定理的能量耗散过程。1958年，Kachanov在研究金属蠕变过程中首次提出用连续度的概念来描述材料的逐渐衰变，使得材料中复杂的、离散的劣化过程可以用一个连续变量来描述，成为损伤研究出现的里程碑；此后其学生Robotnov于1963年引入了重要的概念——损伤因子和有效应力。法国著名学者Lemaitre提出了“等效应变”假设，使得损伤力学更加贴近实用。他们的研究工作共同奠定了现代损伤力学宏观唯象学方法的基础，并分别对应于两种损伤变量的定义形式。

（1）基于缺陷面积定义的损伤变量：

式中：为实际承载的有效面积，即扣除了由于微缺陷而不能承载的部分面积后得到的净面积；A为名义面积（初始面积）。

损伤过程中，随着微孔洞、微裂纹等微缺陷的萌生和扩展，有效面积减小，损伤变量D增大。损伤变量D的变化范围为：0≤D≤1。

设σ为对应于名义面积的名义应力（Cauchy应力）；为对应于有效承载面积的有效应力，损伤变量可表示为

现在损伤力学中通常使用的损伤变量均采用上述概念，表示由于损伤而丧失承载能力的面积与初始无损时原面积之比。

（2）基于弹性模量定义的损伤变量。上面提到的基于缺陷面积的损伤变量定义方法物理意义十分明确，但对应的缺陷面积不能通过试验直接获得。为此，Lemaitre提出了“等效应变”假设，表述为：损伤材料（D≠0）在有效应力作用下产生的应变ε与同种材料无损（D=0）时产生的应变等效。根据这一原理，受损材料的任何应变本构关系可以从无损理想弹性材料的本构方程来导出，只要用损伤后的有效应力来取代无损材料本构关系中的名义应力σ，如图2.1所示。

图2.1 等效应变假设

对于一维问题，该原理用公式可表示为

式中：E为无损材料弹性模量；为损伤后的弹性模量。

由式（2.2）和式（2.3）可得损伤变量的另一种形式：

由此可知 “等效应变”假设认为，材料细观损伤演化所引起的宏观损伤效应中，“材料有效面积的减小”和“弹性模量的减小”是等效的。式（2.4）即为损伤理论中“弹性模量法”的定义和度量损伤的基本依据，以损伤前后材料弹性模量的变化来定义或量度损伤。

式（2.5）为基于“等效应变”假设得到的一维损伤本构方程的标准形式。

在连续损伤力学理论体系中，除“等效应变”假设外，还包括等效应力假设、等效能量假设等，通过这些假设建立起无损材料和损伤材料的关系。但是不可否认，基于“等效应变”假设而建立起来的以“弹性模量”作为损伤变量定义依据的连续损伤模型构成了目前应用最为广泛、最为系统的宏观损伤理论体系；“等效应变”假设可以认为是现代连续损伤力学的理论基础。