第二章　制图基础知识

第一节　投影基础

一、投影基本知识

图样是用来反映空间形体结构的，如何将空间的形体如大坝、隧洞、桥梁、房屋等绘制在图纸上，需要了解投影的基本知识。

投影由投射线、形体、投影面三要素构成。

由光源向形体投射的光线为投影线，显现的影像平面为投影面。

按投射线的不同情况，投影可分为中心投影和平行投影两大类。所有投射线从一点引出的，称为中心投影。所有投射线互相平行的，则称为平行投影。平行投影根据投射线与投影面的垂直或斜交关系，又分为斜投影和正投影。大多数的工程图都采用正投影法来绘制。

正投影法是一种多面投影。利用平行正投影方法，把空间几何体投影到两个或两个以上互相垂直的投影面上，然后将这些带有几何体投影图的投影面按一定的规律展开在一个平面上，从而得到几何体的多面正投影图，由这些投影便能完全确定几何体的空间位置和形状。正投影法的优点是具有类似性、实形性、积聚性、度量性，作图简单方便，在工程上应用最广。在采用正投影画图时，为了反映物体的真实形状和大小及作图方便，应尽量将物体上的平面或直线对投影面处于平行或垂直的位置。

工程上常用的投影图有投射投影图、轴测投影图、正投影图、标高投影图。

二、点、线、面的投影

（一）点的投影

点的投影仍是点，点的三面投影如图1－2－1所示，在三投影面体系的空间内有一点A，自A点分别向三个投影面作垂线（即投影线），得三个垂足a、a′、a″。a、a′、a″分别表示A点在水平投影面（H面）、正投影面（V面）、侧投影面（W面）的投影。

1.点的投影规律

垂直规律：两投影的连线必垂直于相应的投影轴。例如：A点的V面投影和H面投影的连线垂直于OX轴，即⊥OX。

等距规律：点到某一投影面的距离，等于点在另外两投影面上的投影到相应投影轴的距离，即：

2.两点的相对位置

两点的相对位置根据相对于投影面的距离确定（图1－2－2）。距离W面远者在左，近者在右（根据V面、H面的投影分析）；距离V面远者在前，近者在后（根据H面、W面的投影分析）；距离H面远者在上，近者在下（根据V面、W面的投影分析）。

当两点的某个坐标相同时，该两点将处于同一投影线上，因而对某一投影面具有重合的投影，则这两个点的坐标称为对该投影面的重影点。

（二）线的投影

空间两点确定一条空间直线段，空间直线段的投影一般仍为直线。直线的投影，实质上是由直线上两点的同面投影连线来确定。

1.直线段对于一个投影面的投影特性

（1）收缩性：当直线段AB倾斜于投影面时，它在该投影面上的投影长度比空间AB线段缩短了，见图1－2－3（a）。

（2）真实性：当直线段AB平行于投影面时，它在该投影面上的投影与空间AB线段相等，见图1－2－3（b）。

（3）积聚性：当直线段AB垂直于投影面时，它在该投影面上的投影重合于一点，见图1－2－3（c）。

2.直线段在三面投影体系中的投影特性

空间线段因对三个投影面的相对位置不同，可分为投影面的平行线、投影面的垂直线和投影面的一般位置直线三种。

（1）投影面的平行线：平行于一个投影面，而对另两个投影面倾斜。在直线段所平行的投影面上的投影反映实长，且其投影与投轴的夹角反映直线与另两投影面的倾角；另两投影面平行于相应的投影轴（构成所平行的投影面的两根轴）。

（2）投影面的垂直线：垂直于一个投影面，即与另两个投影面都平行。在所垂直的投影面上的投影积聚为一点；在另外两个投影面上的投影，垂直于相应的投影轴，且反应直线段的实长。

（3）投影面的一般位置直线：它在投影面上的投影长度比空间线段的长度缩短了，具有收缩性。三个投影都是一般倾斜线段，且都小于线段的实长；三面投影都与投影轴倾斜，投影与投影轴的夹角，均不反应直线段对投影面的倾角。

3.直线上点的投影特性

直线上点的投影必定在该直线的同面投影上，见图1－2－4，K点的投影k、k′、k″分别在ab、a′b′、a″b″上。

同一直线上两线段长度之比等于其投影长度之比，即

4.两直线的相对位置

（1）两直线平行：平行两直线的所有同面投影面都互相平行。

（2）两直线相交：若空间两直线相交，则它们的所有同面投影都相交，且各同面投影的交点之间的关系符合点的规律。

（3）交叉两直线：交叉两直线的同面投影可能相交，但各投影的交点不符合点的投影规律。

直角投影定理：空间两条互相垂直相交的直线，如果其中一条为某一投影面的平行线，则它们在该投影面上的投影仍互相垂直。垂直交叉的两直线仍具有上述特性。

（三）面的投影

平面在投影图上表示的方法有，不在一条直线上的三点、一条直线和线外一点、两平行直线和两相交直线等。

1.平面在三面投影体系中的特性

平面形的投影一般仍为平面形，特殊情况下为一条直线。

平面形投影的作图方法是将图形轮廓线上的一系列点（多边形则是其顶点）向投影面投影，即得平面形投影。平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得到的投影。三角形是最简单的平面形，见图1－2－5，将△ABC三顶点向三投影面进行投影的直观图和三面投影图。其各投影即为三角形之各顶点的同面投影的连线。其他多边形的做法与此类似。由此可见，平面形的投影，实质上仍是以点的投影为基础而得到的投影。

2.平面在三面投影体系中的位置

（1）一般位置平面。一般位置的平面，与三个投影面都倾斜。由于它对三个投影面都倾斜，不反映实形，相对实形均有所缩小。

（2）投影面平行面。平行于一个投影面的平面，同时垂直于其他两个投影面的平面，称为投影面平行面。如平面用平面形表示，则在其所平行的投影面上的投影，反映平面形的实形；在另外两个投影面上的投影为直线段（有积聚性）且平行于相应的投影轴。

（3）投影面垂直面。仅垂直于一个投影面，而与另外两个投影面倾斜的平面，称为投影面垂直面。在其所垂直的投影面上的投影为倾斜直线段，该倾斜直线段与投影轴的夹角，反映该平面对相应投影面的倾角；在另外两个投影面上的投影仍为平面形，但不是实形。

3.平面上的点和直线

从初等几何可知，点和直线在平面上的必要和充分条件是：

如果点位于平面上的任一直线上，则此点在该平面上。

如果一直线通过平面上两已知点或通过平面上一已知点平行于平面上一已知直线，则此直线在该平面上。

（1）在平面上取直线的方法。取平面上两已知点，然后连成直线；过平面上一已知点引直线与平面上一已知直线平行。

（2）在平面上取点的方法。在平面已知线上取点，然后在平面上取一直线，再在此直线上取点，这种方法称为辅助线法。

三、立体投影

（一）平面体的投影

平面立体各表面都是平面，画平面立体的投影，就是画出平面立体的各个表面的投影。

棱柱和棱锥是常见的平面体。它们是由棱面及底面围成的，相邻两棱面的交线称为棱线，底面和棱面的交线是底面的边。

1.棱柱

棱柱的棱线互相平行，底面为多边形，底面形状是棱柱的特征面。画棱柱的投影图，应先画反映其特征的投影，再画其他两个投影。

直立正六棱柱投影见图1－2－6，其上下底面平行于H面，为正六边形，水平投影反映其实形，正面、侧面投影均积聚成水平线段；六个棱面均垂直于H面，水平投影积聚成六边形的六条边；前后两棱面平行于V面，正面投影反映实形，侧面投影积聚成铅垂面线段；其他四个棱面均为铅垂面，它们的正面、侧面投影都是类似图形。

正棱柱投影特点：在垂直于棱线的投影面上的投影为多边形，反应特征面的实形；其他两投影外轮廓均呈矩形，且棱线的投影互相平行。

2.棱锥

棱锥的所有棱线都汇集于锥顶，棱面都是三角形。画棱锥的投影时，一般先画出底面及锥顶的投影，再画棱线的投影。

三棱锥投影见图1－2－7，底面平行于H面，为等边三角形，三个棱面均倾斜于H面，是三个同样大小的三角形，棱线SB为侧平线，底边AC为侧垂线。三棱锥的正、侧面投影外轮廓都是三角形。

（二）曲面体的投影

由曲面或曲面和平面围成的实体称为曲面立体。回转体是曲面立体中最常见的一种。常见的回转体有圆锥体、圆柱体、圆球体、圆环体等，见图1－2－8。

1.圆柱体的三面投影

圆柱体的投影实际是组成圆柱体的圆柱面和上下底面的投影。圆柱体的三面投影特点是：一个圆对应两个全等的矩形，见图1－2－9。

图1－2－8　几种常见的回转体图

2.圆锥体的三面投影

圆锥体是由圆锥面和底面组成。为了便于画图，可将轴线处于与投影面垂直的位置。圆锥三面投影的特点为：一圆对应两全等的等腰三角形，见图1－2－10。

在圆锥表面取点的方法有素线法和纬圆法。

（1）素线法。连接k点和锥顶，即为圆锥表面上的一条素线，它交底圆于a′点，见图1－2－11（a）。求a′点的水平投影a，见图1－2－11（b）。连接圆心和a，即为素线的水平投影，见图1－2－11（c）。根据长对正，求得a′点的水平投影a，见图1－2－11（d）。再根据高平齐和宽相等，求得侧面投影k″，见图1－2－11（e）。

（2）纬圆法。过m作一同心圆，见图1－2－12（b）。由m点作垂直于轴线的平面与圆锥的交线。过该圆的最左的象限点作其切线，延伸与主视图的轮廓线相交，见图1－2－12（b）。过轮廓线的交点作轴线的垂线，过m点作与轴线垂直平面的正面投影。见图1－2－12（c）。根据投影关系，求得m点的正面投影m′，见图1－2－12（d）。在俯视图中量取m点到前后对称面的Y坐标差，见图1－2－12（e）。根据投影联系高平齐和宽相等，得出m点的侧面投影m″，见图1－2－12（f）。

3.圆球体的三面投影

圆球是由球面围成的实体，球的三面投影都是半径相同的圆组成，见图1－2－13，但其三面投影空间含义不同。正面投影的圆是前后两半转向轮廓线的投影、侧面投影的圆是左右两半转向轮廓线的投影、水平投影的圆为上下两半转向轮廓线的投影，球的任意一直径都是球面的回转轴线。

圆球的三面投影的特点是，三视图都是直径相同的圆。

圆球表面取点方法：过A点作平行于投影面的平面，正平面、侧平面或水平面都可以，它们与球的交线为圆，且在该投影面中反映圆的真实形状。现作水平面，与轮廓线交于k′，该水平面与球的交线圆在水平投影面中反映实形，见图1－2－14（b）。

球K点的水平投影k，见图1－2－14（c）。

过k做一俯视图的同心圆，A点的水平投影即在该圆上，见图1－2－14（d）。

量取A点到前后对称面之间的Y坐标差，见图1－2－14（e）。

根据投影关系求得A点的侧面投影a″，见图1－2－14（f）。

四、轴测投影

轴测投影采用单面投影图，是平行投影之一，它是把物体按平行投影法投射至单一投影面上所得到的投影图，俗称立体图。轴测投影的特点是在投影图上可以同时反映出几何体长、宽、高三个方向上的形状，富有立体感，直观性较好。

（一）轴间角和轴向伸缩系数

轴间角和轴向伸缩系数是画轴测图的两个主要参数。

（1）轴间角。两根轴测轴之间的夹角，如∠X1O1 Y1、∠Y1O1 Z1、∠X1O1 Z1。

（2）轴向伸缩系数。轴测图中，轴测轴上的单位长度与相应坐标轴上的单位长度之比称为轴向伸缩系数，用符号p1、q1、r1分别表示X轴、Y轴、Z轴的轴向伸缩系数。简化的轴向伸缩系数分别用p、q、r表示。

常用轴测图的轴间角、轴向伸缩系数及简化轴向伸缩系数见表1－2－1。

（二）轴测投影的分类

1.按投影方向的不同分类

（1）正轴测投影：投影方向S垂直于轴测投影面。

（2）斜轴测投影：投影方向S倾斜于轴测投影面。

2.按轴向伸缩系数的不同分类

（1）等轴测投影：三个轴向伸缩系数p＝q＝r。

（2）二等轴测投影：任意两个轴向伸缩系数相等，如：p＝q＝2r或p＝r＝2q或q＝r＝2p。

（三）轴测投影的特性

由于轴测图是平行投影，因此，平行投影的各种特性也同样适用于轴测投影。轴测图同样具有前述平行投影的各种特性。

（1）平行性：空间平行的直线，其轴测投影仍彼此平行。亦即形体上与坐标轴平行的线（又称轴向线）在轴测投影中仍与相应的轴测轴保持平行。

（2）定比性：空间平行的直线，其变形系数相等。亦即在轴测投影中，形体上平行于坐标轴的线段（轴向线）其变化率等于相应坐标轴的变化率。

（3）空间直角坐标系投影成轴测图以后，直角在轴测图中一般已不再是90°，但是沿轴测轴确定长、宽、高三个坐标方向的性质不变，仍可沿轴确定长、宽、高方向。

但应注意，结构上不平行于坐标轴的线段（非轴向线段），它们投影的变化与平行于坐标轴的线段不同，因此，不能将非轴向线段的长度直接投影到轴测图上。画非轴向线段的轴测投影时，需要用坐标法定出其两端点在轴测坐标系中的位置，然后再连成线段的轴测投影图。

（四）常用轴测投影

（1）正等轴测法，简称正等测，见图1－2－15。

（2）正二等轴测法，简称正二测，见图1－2－16。

（3）正面斜轴测法，包括斜等轴测、斜二轴测，见图1－2－17。

（4）水平斜轴测法，常用为水平斜等测，见图1－2－18。

五、标高投影

标高投影是一种单面正投影，具体来讲，是用水平投影加注其高度数值表示物体，再标明尺寸，这样只用一个水平投影就可以完全确定物体的空间形状和位置。在水利工程图上一般采用与测量相一致的标准海平面作为基准面，这时高度数值称为高程（又称标高）。

（一）直线的标高投影在高程投影中，直线的位置通过直线上的两个点或直线上一点及该直线的方向确定。坡度i：直线上任意两点的高度差与其水平距离之比称为该直线的坡度：

上式表明，直线上两点间的水平距离为一个单位时，两点间的高度差数值即为坡度。

（二）平面的标高投影

（1）等高线。平面与基准面的交线为平面内高程为零的等高线，在实际应用中常取整数标高的等高线，它们的高差一般也取整数。

平面上等高线的性质有：平面上的等高线是一组相互平行的直线，当相邻等高线的高差相等时，其水平距离也相等。

（2）坡度线。平面内对基准面的最大斜度线称为坡度线，其方向与平面内的等高线垂直，它们的水平投影必互相垂直。坡度线对基准面的倾角也就是该平面对基准面的倾角，因此，坡度线的坡度就代表该平面的坡度。

（3）平面与平面的交线。在标高投影中，两平面上相同高程的等高线交点的连线，就是两平面的交线。在工程中，把相邻两坡面的交线称为坡面交线，填方形成的坡面与地面的交线称为坡脚线，挖方形成的坡面与地面的交线称为开挖线。

（三）曲面的标高投影

在标高投影中，表示曲面常用的方法是假想用一系列高差相等的水平面截切曲面，画出这些截交线（即等高线）的水平投影，并标明各等高线的高程。工程上常见的曲面有锥面、地形面等。

（1）正圆锥面的标高投影。如图1－2－19所示，如果正圆锥面的轴线垂直于水平面，假想用一组水平面截切正圆锥面，其截交线的水平投影是同心圆，这些圆就是正圆锥面上的等高线。等高线的高差相等，其水平距离也相等。在这些圆上分别加注它们的高程，该图即为正圆锥面的标高投影。高程数字的字头规定朝向高处。由图1－2－19可见，锥面正立时，等高线越靠近圆心，其高程数字越大；锥面倒立时等高线越靠近圆心，其高程数字越小。

（2）地形线标高投影。详见第四章第六节标高图。

六、透视投影

透视投影是用中心投影法将形体投射到投影面上，从而获得的一种较为接近视觉效果的单面投影图。它具有消失感、距离感、相同大小的形体呈现出有规律的变化等一系列的透视特性，能逼真地反映形体的空间形象。