2.1　水体振荡的数学模型

图2.1.1为横轴转子波能发电装置（以下简称装置）流道正视轮廓图，图中A为入口流道，B为横轴转子，C为出口流道，流道中水体在外部波浪激励下的动态变化过程可以用弹簧来类比。流道中的水体可以类比弹簧的质量，弹簧模型的恢复力为水体所受的重力。水体的动量为水体质量和水体速度的乘积。如图2.1.1所示，采用10个断面将水体划分为9个水体单元，第i个断面、第i+1断面和流道内壁所组成的单元水体为第i个单元体，单元体沿水流方向的距离定义为Δxi，第i个断面的水流速度定义为vi，第i个断面的过水面积为Ai，假设水体不可压缩，即密度不变，设第i个单元体水体的质量为mi，则

设第i个单元体的速度为

则第i个单元体的动量为

由不可压缩流体的连续性方程，可知

Aivi=Ai+1vi+1

可以得出

所以，式（2.1.2）变为

水面与平衡位置的距离为x，后出口面板的倾斜角度设为α（图2.1.1），装置垂直于纸面的宽度为B，则断面1的面积可近似取为

整个水体的动量由两部分组成，断面和水体的长度不随时间变化的部分

令，流道形状固定后，L是一个常数。因为，所以，L值比流道断面Ai=const的情况要大。

式（2.1.6）变为

式中，。将式（2.1.5）代入式（2.1.7），得

断面和水体的纵向长度随时间变化的部分为

整理，得

将式（2.1.5）代入式（2.1.9），得

式（2.1.8）和式（2.1.10）合并，得

令

式（2.1.11）可以写为

上式对时间求导，得

根据牛顿第二定律，不考虑水体的黏性损失，水体动量随时间的变化等于回复力，等于整个水体作用在平衡位置的重力差，即

动量方程为，即

上式是将流体当做理想流体的情况。

与机械振荡系统对比

其中，，S=g A2。

当x取某一个固定值时，不考虑非线性的影响，上式可以写为

水体振荡的自然主频率为

从上式可以看出，ω0的值与x和系数Ci有关，而从式（2.1.12）可以知道，系数Ci的式子中只有x和α两个量是可以变化的，而其他量都是不变的。所以，ω0是x和α的函数，即

我们设计波能捕获系统的目标是尽量增大流道内的水位振幅x，所以x是设计的目标值，是控制输出量。所以，在A2、L、B已经固定的情况下，只有α是可以改变的量，是输入设计变量。在后面的物理模型试验中通过改变α的值来改变装置的固有频率，进而验证下节提出的宽频带设计理论。