1.1 有限元法概述

有限元法是一种近似的数值分析方法（除了杆件体系结构静力学分析），它借助矩阵等数学工具进行计算，尽管计算量很大，但是整体分析是一致的。有限元法有很强的规律性和统一模式，因此特别适合使用计算机程序进行处理。

1.1.1 有限元法的分析过程

土木工程、岩土工程等学科中的弹塑性、黏弹性、黏塑性力学，水利工程、码头工程等学科中的流体力学和流体-固体耦合作用，交通工程、桥梁与隧道工程中的层状介质路面力学、大型桥梁结构分析，这些都是力学学科的重要分支，这些研究最终都归结为求解数学、物理方程边值或初值问题。

遗憾的是，这些学科的传统研究成果只能解决较简单的问题，由于数学上的困难，大量实际科学、工程计算问题无法得到解决。

有限元法从正式提出至今，经历了半个多世纪的发展，从理论上讲，简单的一维杆件体系结构，承受复杂载荷和不规则边界情况的二维平面问题、轴对称问题、三维空间块体问题等的静力、动力和稳定性分析，以及判断材料是否具有非线性力学行为和有限变形的分析，如温度场、电磁场，流体、结构与相互作用等复杂工程问题的分析，使用有限元法都可以得到满意解决，而且其基本思路和分析过程是大致相同的。

1．结构离散化

使用有限元法分析工程问题的第一步是将结构进行离散化，其过程是将要分析的结构对象（也可称为求解域）用一些假想的线或面进行切割，使其成为具有指定切割开关的有限单元体（element），注意单元体和材料力学中的微元体是不同的，它的尺度是有限值而不是微量。这些单元体被认为仅仅在单元中的一些指定点相互连接，这些单元中指定的点称为单元的节点（node）。这一步实质上是用单元的集合体代替原来要分析的结构。

为了便于理论推导和用计算程序进行分析，通常结构离散化的具体步骤如下：建立单元和整体坐标系，给单元和节点进行合理编号，为后续进行有限元分析准备必需的数据化信息。目前市面上有各种类型的有限元分析软件，一般都具有友好的用户图形界面和直观输入、输出计算信息的强大功能，使用这些软件也越来越方便。使用这些大型软件的第一步——建模，实际上就是建立离散化模型和准备所需的数据。

2．确定单元位移模式

在结构离散化后，接下来的工作就是对结构离散化所得的任意一个典型单元进行单元特性分析。为此，必须对该单元中任意一点的位移分布做出假设，即在单元内用只具有有限自由度的简单位移代替真实位移。

将单元中任意一点的位移近似地表示成该单元节点位移的函数，该位移称为单元的位移模式（displacement mode）或位移函数（displacement function）。位移模式的假设是否合理，会直接影响有限元分析的计算精度、效率和可靠性。

有限元法发展初期常用的方法是以多项式为位移模式，这主要是因为用多项式的微积分进行处理比较简单。而且根据泰勒级数展开的意义，任何光滑函数都可以用无限项的泰勒级数多项式展开，当单元极限趋于微量时，多项式的位移模式趋于真实位移。

位移模式的合理选择，是有限元法最重要的内容之一。如果要创建一种新型的单元，那么确定位移模式是其核心内容。

3．单元特性分析

在确定了单元的位移模式后，就可以对单元进行如下三方面的处理。

● 利用应变和位移之间的关系——几何方程（geometrical equation），将单元中任意一点的应变用待定的单元节点位移表示。

● 利用应力和应变之间的关系——物理方程（physical equation），推导出用单元节点位移表示单元中任意一点应力的矩阵方程。

● 利用虚位移原理或最小势能原理（对其他类型的有限元应用相应的变分原理），推导出将单元节点位移和单元节点力、单元等效节点载荷联系起来的联系矩阵，该矩阵称为单元刚度矩阵（elementstiffnessmatrix）。

在上述三方面的工作中，编写计算程序从计算机求解的角度来说，核心工作是建立单元刚度矩阵和单元等效节点载荷矩阵。

4．按离散情况集成所有单元的特性，建立表示整个结构节点平衡的方程组

在得到单元特性分析的结果后，用虚位移原理或最小势能原理对各单元仅在节点相互连接的单元集合体进行推导，可以建立表示整个结构（确切地说是单元集合体）节点平衡的方程组，即整体刚度方程（global stiffness equation）。

本步骤计算的细节取决于所求解的问题和所编制的计算程序的处理方法，一些问题存在坐标（局部与整体）转换问题（coordinate transformation problem），一些问题存在位移边界条件（displacement boundary condition）的引入问题，等等，这里不再赘述。

5．解方程组和输出计算结果

本书讨论的是弹性计算问题，整体刚度方程一般是一个高阶的线性代数方程组。由于整体刚度矩阵具有带状（banded）、稀疏（sparse）和对称（symmerrical）等特性，因此在有限元发展过程中，人们通过研究，建立了许多不同的存储方式和计算方法，用于扩大计算机的存储空间和提高计算效率。利用相应的计算方法，即可求出结构的全部节点位移。在求出结构的全部节点位移后，利用分析过程中已建立的关系，即可进一步计算单元中的应力或内力，并且以表或图形的方式输出计算结果。

1.1.2 有限元法分析阶段划分

有限元法分析过程可以分为以下3个阶段。

● 建模阶段：建模阶段的任务是根据实际结构形状和实际工况条件，建立有限元分析的计算模型——有限元模型，从而为有限元数值计算提供必要的输入数据。

有限元建模的中心任务是结构离散，即划分网格，但还要处理许多与之相关的工作，如处理结构形式、创建几何模型、定义单元特性、检查单元质量、定义编号、定义模型边界条件等。

● 计算阶段：计算阶段的任务是完成与有限元法有关的数值计算。由于这个阶段的计算量非常大，因此这部分工作由有限元分析软件自动完成。

● 后处理阶段：后处理阶段的任务是对计算输出的结果进行必要的处理，并且按一定的方式显示或打印出来，从而对结构性能的好坏或设计的合理性进行评估，并且进行相应的改进或优化，这是进行结构有限元分析的目的。

注意，在上述3个阶段中，创建有限元模型是整个有限元分析流程的关键。

首先，有限元模型为计算提供所有原始数据，这些数据的精度会影响计算结果的精度。

其次，有限元模型的形式对计算过程产生很大的影响，合理的有限元模型既能保证计算结果的精度，又不会导致计算量太大和对计算机存储容量的要求太高。

再次，由于结构形状和工况条件的复杂性，要创建一个符合实际的有限元模型并非易事，需要考虑的综合因素很多，对分析人员的要求较高。

最后，建模花费的时间，在整个分析过程中占有相当大的比重，约占整个分析时间的70%，因此，将主要精力放在模型的创建上及提高建模速度是缩短分析周期的关键。