第二节　基本冲刷公式推导与试验资料验证[2]

§2.Derivation of basic scour formula and verification of experimental data

根据本章第一节解剖成纵剖面水流和平面扩散水流的分析，主要是在回旋水流与主流的分界面上紊动最剧烈，此为造成冲刷坑的原因。因此，我们就从这一分界面上的水流剪切应力观点出发来研究所形成的冲刷深度。

今以二元水流为基础，沿水平方向写水流的运动方程式推求冲刷深度关系式。如图3-9所示，取水流的微分段d x，则所作用的力有：

（1）水流分界面上的剪切应力；

（2）两截面上沿水平方向的压力。

如果考虑水流内部仍为静水压力分布时，写沿水平方向的水流动量方程式，即第二章式（2-5）：

M2-M1=F1-F2

则有

展开上式，略去二阶无穷小时，则得

式中　q——单宽流量；

v——断面上的平均流速；

τ——主流与漩涡分界面上的剪切应力；

h——漩涡分界面以上的水流深度；

H——水面的高度；

α——流速分布不均匀性的动量修正系数，见式（2-8）；

γ——水体的单位重，γ=ρg；

g——重力加速度。

因为v=q/h，代入上式整理得

在式（3-1）中，如果能知道沿着水流的α变化关系与沿水流分界面τ的变化关系，就可以解出水流分界面的方程式。但是那样是非常复杂的，而且还缺乏τ的实测资料，因此就作一些合理的近似假定来处理式（3-1）。

首先是水流分界面问题，根据上节所述，如图3-5所示，我们可以假定冲刷坑的最深点与水流分界面相合，也就是说在各冲刷阶段或各种土质冲刷平衡时，坑底直接受水流分界面的淘刷，而且允许我们假定这些最深点的轨迹为一直线，即

式中　h1——护坦末端的水深；k1——常数。

关于沿水流方向的α变化，从本章第一节所述，我们可以近似地假定为下面的线性变化：

式中　α1——护坦末端水流断面的流速分布不均匀性动量修正系数；

k2——常数。

将式（3-3）及式（3-2）代入式（3-1）的）项，并简化后，得

其次，关于水面高度的变化项，可引用水面微分方程式作近似推求：

式中　h'——由水面至河床底的深度；

C——谢才（Chezy）系数，代表河床面的粗糙度；

——河床底坡，一般以i表示。

现在把上式写成

现在暂且不问冲刷坑底坡i的形状或它是怎样一个函数，先将上式展开为项的泰勒级数，可得

由于上面的级数收敛很快，因此可只取前面的一项。

将式（3-4）及式（3-5）代入式（3-1），得

我们只求冲刷坑最深点时，依照前面的假定水流分界面顶点与坑底相合，即水面以下最大冲深T=h'=h，而且坑底坡i=0，坑底的水流剪切应力用τ0表示，在冲刷平衡时，它与河床土质的临界推移力相当，并因γ=ρg，则式（3-6）就可解出最大冲刷深度的关系式为

式（3-7）中，，为坑底的摩擦速度或剪切速度，可以用冲刷河床土质的允许不冲流速或起动流速来表示，或者直接用土质的临界推移力均可。因此由式（3-7）可知，影响局部冲刷深度的主要因素为单宽流量q和土质的允许不冲流速或临界推移力τ0；其次为护坦末端开始进入冲刷河床的流速分布（α1），水流分界面的路径（k1），沿水流的流速分布变化（k2），以及河床面的粗糙度C等。

关于表示水流分界面的常数k1和表示由护坦末端到冲刷坑底沿水流的流速分布变化的常数k2，可以根据模型试验决定，经过分析试验资料后，知道两系数均与开始进入冲刷河床的流态有密切关系。现在设y代表护坦末端垂直流速分布最大流速的位置高度，选用它与护坦末端处水深h1的相对比值y/h1表示垂直流速分布的流态。根据底流式、面流式以及较为均匀的3种流态的资料分析结果，得

关于式（3-7）中的项还可继续演化为河床土质粒径的关系，下面引用张有龄的实验公式[7]

式中　n——糙率系数（曼宁公式中的n）；

d——河床面泥沙的平均粒径，mm。

为了使将来公式中的单位一致，把式（3-10）的粒径d改用单位m，并且为使式中的尺度和谐，我们引入g，则式（3-10）可写成

再由谢才系数C与曼宁公式中n的关系，得

上式与岗查罗夫（Гончаров，1954）在试验室中所求得的结果C=21.6（h/d）1/6相近，因此得

将式（3-8）、式（3-9）及式（3-12）的结果代入式（3-7），经过简化，合并为一个系数ψ时，可得

由式（3-13）可知，局部冲刷深度除与单宽流量和土质的允许不冲流速或临界推移力（由于可以用底砂的特性表示）有密切关系外，尚与护坦末端开始进入冲刷河床的流速分布不均匀系数和流态，以及冲刷河床的相对糙率有关。换句话说，局部冲刷深度的影响因素，一个是水力条件，另一个是河床的土质条件，也就是冲刷因素和抗冲因素。

因为式（3-13）中的相对糙率项，对于土质河床情形数值极小，可以略去不计，则式（3-13）就简化为

因为式（3-14）中的，为冲刷坑底平衡时的水流剪切速度或摩擦速度，相当于底流速v有一定的比例关系。因此我们可以把式（3-14）中的定性换为底砂开始被冲动的平均流速或起动流速vc，则式（3-14）可写为

虽然在式（3-14）和式（3-15）中分别引用了一般的剪切速度和起动流速，但是在定量方面，冲刷坑上的水流剪切速度将会远大于一般的平均流动时的剪切速度。反过来说，冲刷坑上泥沙所能抵抗的平均流速将远小于一般平均流动的河床上所能抵抗的流速。

式（3-15）就是局部冲刷深度的关系式，为一物理量尺度和谐的等式，根号内均为无尺度的系数或比值。如果已知冲刷坑深度和水流的最大局部单宽流量及垂直流速分布时，将土质的允许不冲流速或临界拖引力代入式（3-15），就可求得关系式中的系数。

关于底砂的起动流速公式，仍属经验性的或半经验性半理论的，因此，依据的实验资料不同，得出的各种公式的形式也不同，这里不多介绍，可以参考文献[8]。考虑到一般紊流流态的垂直流速分布接近对数曲线的规律，我们采用下面形式的起动流速公式：

式中　s——河床砂粒的比重，s=γs/γ=ρs/ρ；

ψ3——系数，在粗砂时，只要形状一定，则为常数。

式（3-16）基本上相当于岗查罗夫或列维（И.И.Леви）的公式，只是把其中相对糙率或相对水深的对数函数改为近似的指数函数，以便于运算。所用的指数关系与沙莫夫（Г.И.Шамов）公式相同。

对于极细砂，根据列维和克罗诺兹的试验研究以及本所的研究，均证明尚受黏滞性的影响而为雷诺数的函数。不过由于冲刷坑上水流脉动很大，有别于一般的平均流动，可以略去不计。因此将式（3-16）代入式（3-15），改用一个系数时，就得出砂质河床局部冲刷的基本公式为

式中　ψ——冲刷系数，可以根据水工模型试验冲刷资料来决定。

此上引导的基本公式的特点为式中分子项消能扩散的水流因素，即横向扩散取用出消力池或固定护坦末端进入冲刷河床水流的最大单宽流量与竖向流速分布的面流式或底流式水流的流态。见表3-1与表3-2。

对于闸坝下游局部冲刷，我们引用了40个模型的219组冲刷资料，将冲刷坑实测深度T与计算深度函数式绘成图3-10，根据最小二乘方原理求得公式中的冲刷系数ψ=0.66，因此从水面算起的局部冲刷深度公式为

式（3-18）的平均误差，经计算求得为±14%。随后又进行过几十个水闸运用情况的现场调查，证明公式比较合理适用，在水闸设计规范与《水工设计手册》（第2版）第7卷《泄水与过坝建筑物》中均已采用。应用公式计算时，只要取用单位一致即可。

分析图3-10中的试验资料，在直线下面的点子多是很细砂粒（d≤0.2mm），说明粉细砂不易冲刷，公式中的平均冲刷系数ψ=0.66稍偏大。这与起动流速的试验相一致，参考文献[43]。粒径小到粉细砂就会发生黏性作用，抗冲力增大。