2.3 基本物理模型

TCAD 仿真结果的准确性与选取的物理模型密切相关，这些物理模型可分为五类：迁移率模型、载流子复合模型、载流子统计模型、碰撞电离模型和隧道模型。在不同的仿真中需要使用不同的模型组合。这里仅介绍几种后续章节中会用到的物理模型，详细的物理模型可参考TCAD手册。

2.3.1 基本的半导体方程

器件仿真器Atlas通过求解半导体方程来模拟器件特性，基本的半导体方程^[5-6]包括泊松方程（Poisson's Equation）、连续性方程（Continuity Equation）和输运方程（Transport Equation）。

1.泊松方程

泊松方程给出了静电势与空间电荷密度之间的关系，如下式所示：

式中，ψ是静电势，ε是相对介电常数，ρ 是电荷密度，q 是电子电量，p、n、N_D⁺、N_A^-分别是空穴、电子、电离施主杂质和电离受主杂质的浓度。

2.连续性方程

电子和空穴的连续性方程为

式中， J_n、J_p分别是电子和空穴电流密度，G_n、G_p分别是电子和空穴的产生速率， R_n、R_p分别是电子和空穴的复合速率，由式（2.2）可得到电子和空穴的浓度。

3.输运方程

通过输运方程可以得到电子和空穴的电流密度：

式中，u_n、u_p分别是电子和空穴的迁移率，φ_n、φ_p分别是电子和空穴的准费米能级，表示为

式中，T_L是晶格温度，n_ie是有效本征浓度。

此外，有时还需要考虑温度或能量对载流子密度的影响，即能量平衡输运模型。电流密度和能量通量表示为

式中，T_n、T_p分别是电子、空穴的温度，S_n、S_p分别是电子、空穴的能量通量，。

2.3.2 载流子统计模型

为了更好地描述重掺杂（掺杂浓度大于 10¹⁸cm^-3）情况下载流子的分布，仿真中要用到 Fermi-Dirac 统计模型。另外，要使用禁带变窄（BGN）模型来描述SiC材料禁带宽度在重掺杂情况下变窄的现象^[7]：

式中，ΔE_g是禁带宽度的变化量，N是掺杂浓度，其他参数见表2.3。

禁带能量与温度的依赖关系表示为

式中，EG300、EGALPHA和EGBETA参数的默认值分别是1.08eV、4.73×10^-4 eV/K和636K。

2.3.3 载流子复合模型

载流子的产生与复合是半导体材料恢复平衡的过程。对于宽禁带半导体而言，比如 SiC，禁带区存在缺陷（或陷阱）时会发生声子的跃迁，该过程本质上分为两步：第一步是导带的电子跃迁到禁带中心能级（即 Schockley 和 Read 模型^[8]），第二步是电子跃迁到价带（即 Hall 模型^[9]）。这个复合过程就是 Shockley-Read-Hall（SRH）复合模型，其复合率为

式中，TAUP0、TAUN0 分别是空穴、电子的寿命，n 和 p 分别是电子、空穴的浓度，n_ie是本征载流子浓度，ETRAP 是陷阱能级与本征费米能级之间的能级差， T_L是温度，k是玻尔兹曼常数。

俄歇（Auger）复合是当载流子从高能级跃迁到低能级时发生的载流子复合现象，多余的能量会使得另一个载流子向更高的能级跃迁，当它重新跃迁到低能级时，剩下的能量会以声子的形式释放。俄歇复合率^[10]为

式中，AUGN、AUGP参数根据不同的材料特性在仿真中进行赋值。

2.3.4 迁移率模型

迁移率模型的选取对器件特性的研究具有重要影响。其中 CVT 模型基于Matthiessen 定律^[11]，将横向电场、掺杂浓度和温度三个因素的影响结合到一起。求解迁移率（u_T）的表达式为

式中，u_ac是受声子散射影响的表面迁移率，u_b是与表面粗糙度有关的迁移率， u_sr是体迁移率。u_ac的表达式为

可见，u_ac受温度 T_L（单位为 K）、垂直电场（E_⊥）及总掺杂浓度 N 的影响，其余参数均为系数。

体迁移率 u_sr是导致沟道迁移率退化的主要因素，其值与垂直电场 E_⊥关系密切，表达式为

与表面粗糙度有关的迁移率 u_b的情况需要分两种情况进行分析。在低场条件下，该迁移率主要受晶格和杂质散射的影响，故与表面粗糙度有关的迁移率选择Analytic模型^[12]，其表达式为

式中，MU1^n，p是高掺杂时的迁移率，MU2^n，p是低掺杂时的迁移率，δ^n，p是迁移率随浓度变化的参数，α^n，p、β^n，p、γ^n，p是迁移率随温度变化的参数，NCRIT^n，p是相对基准浓度。若不考虑温度的变化，则T_L=300K。

在高场条件下，光学声子散射增强，载流子的漂移速度达到饱和，故在仿真中引入Fldmob模型使迁移率在高场与低场之间平滑地过渡，其表达式^[12]为

式中，u₀是低场迁移率，E_//是平行电场强度，V_SAT是载流子的饱和漂移速度。

2.3.5 碰撞电离模型

当在空间电荷区施加足够大的反向偏置电压时，载流子将在高电场的作用下加速而获得足够的能量，在运动过程中发生碰撞电离，产生更多的电子-空穴对。为了获得足够的能量，必须满足以下两个基本条件：一是需要足够高的电场；二是需要足够大的距离使载流子加速至一定的速度。如果满足这两个条件，产生足够多的电子-空穴对，那么最终会导致雪崩击穿。碰撞电离过程表示为

式中，G 是载流子的产生速率，α_n、α_p分别是电子、空穴的碰撞电离系数，即单位长度上产生电子-空穴对的数量。J_n、J_p分别是电子和空穴电流密度。

在Selb碰撞电离模型中^[13]，电子和空穴的碰撞电离系数为

式中，E 是电场强度，AN、BN、BETAN 是与电子碰撞电离系数相关的参数，AP、BP、BETAP是与空穴碰撞电离系数相关的参数。

2.3.6 单粒子效应模型

ATLAS 中提供器件的 SEE 仿真功能，由语句 Singleeventupset 对入射粒子模型进行定义。在仿真中不直接模拟粒子入射器件的过程，而模拟粒子入射后电子-空穴对的产生情况。电子-空穴对的产生速率使用一个空间和时间函数来表示^[6]：

式中，G（r， t）是电子-空穴对的产生速率，r 是某点到粒子束中心的距离，R 是自定义的粒子束半径，T₀是电荷生成脉冲的峰值时间，T_C是电荷生成脉冲的时间长度。在辐射研究中通常使用线性电荷沉积（Linear Charge Deposition，LCD）来描述电离粒子，其单位是pC/μm，在Atlas中用参数PCUNITS定义。

2.3.7 量子效应模型

量子效应模型有多种类型，主要应用于HEMT沟道限制仿真、薄栅MOS电容和晶体管及小尺寸器件的仿真等。这里主要介绍两种后续使用的模型：密度梯度模型和 BQP（Bohm Quantum Potential）模型。在密度梯度模型中，电子、空穴的电流密度表示为^[6]

式中，Λ是量子修正电势，可通过下式计算得到：

式中，γ是拟合参数，m是载流子有效质量，n是电子或空穴的浓度。

与密度梯度模型相比，BQP 模型具有两个优势：一是具有更好的收敛性；二是在电流忽略不计的情况下，可以根据薛定谔-泊松方程结果对其进行校准。量子电势表示为^[6]

式中，γ和α是两个调整参数， M^-1是有效质量张量，n是电子或空穴密度。