2.2　微积分

2.2.1　微分

1. 切线

如图2-1所示，如果方程y=f(x)的图像是曲线C，求曲线C在点P(a, f(a))的切线。

考虑点P的邻近点Q(x, f(x)), x≠a，计算直线PQ的斜率：

通过让x趋近a，使得Q沿曲线C趋近P。如果mPQ接近一个数值m，则经过点P的切线t的斜率为m。

由此，曲线C：y=f(x)在点P(a, f(a))的切线是通过点P的斜率为m的直线t。

2. 导数

函数f(x)的导数记为f′(x)，定义为：

导数的运算法则

如果函数f(x)，(x)可导，则：

复合函数导数的链式法则

如果函数y=f(u)，u=g(x)都是可导函数，则：

高阶导数

如果函数f(x)的导数f′(x)仍然可以求导，则称这个导数是函数f(x)的二阶导数，记为：

推广到n阶导数，记法为：

偏导数

如果f(x, y)是一个二元函数，其偏导数为分别对两个变量求导数：

偏导数的几何解释

如图2-2所示，方程z=f(x, y)为曲面S，如果f(x, y)=c，表示点P(a, b, c)位于曲面S上。固定y=b，得到垂直平面y=b与曲面S的相交曲线C1，同样可以得到垂直平面x=a与曲面S的相交曲线C2。C1、C2都经过点P(a, b, c)。

曲线C1是函数g(x)=f(x, b)的图像，因此，它在P点的切线T1的斜率为g′(a)=fx(a, b)，曲线C2是函数G(y)=f(a, y)的图像，因此，它在P点的切线T2的斜率为G′(b)=fy(a, b)。

因此，偏导数可以几何解释为，在点P(a, b, c)处，fx(a, b)是曲线C1的切线T1的斜率，fy(a, b)是曲线C2的切线T2的斜率。

高阶偏导数

如果二元函数f(x, y)的偏导数fx(x, x)、fy(x, y)仍然可导，则它们的偏导数称为f(x, y)的二阶偏导数，记作：

注意，偏导数与求偏导数的先后次序无关，即有：

类似可以得到3阶、4阶，甚至n阶偏导数。

偏导数的链式法则

如果函数u=u(x, y), v=v(x, y)在点(x, y)处可偏导，复合函数f(u, v)在点(u, v)处可偏导，那么有：

方向导数与梯度

函数f(x, y)在点(x0, y0)，沿着单位向量的方向导数为：

如果f(x, y)是x, y的可导函数，那么，f(x, y)在单位向量方向上的方向导数为：

Duf(x, y)=fx(x, y)a+fy(x, y)b

如果f(x, y)是x, y的可导函数，f(x, y)的梯度是一个向量函数，定义为：

因此有：

3. 单变量函数的极值

函数有极值的必要条件：如果函数f(x)在x=c处有局部极大值或极小值，而且f′(c)存在，那么，必有

f′(c)=0

注意，f′(x)=0的点称为驻点，驻点不一定是极值点。

函数的单调性判别定理：

① 如果在一个区间内有：f′(x)>0，那么，函数f(x)在该区间内是上升函数；

② 如果在一个区间内有：f′(x)<0，那么，函数f(x)在该区间内是下降函数。

函数的凹凸性判别定理：

① 如果在一个区间内有：f′′(x)>0，那么，函数f(x)在该区间内的曲线是下凹的；

② 如果在一个区间内有：f′′(x)<0，那么，函数f(x)在该区间内的曲线是上凸的。

所谓曲线下凹，是指曲线上的每一条切线位于曲线下方，曲线上凸是指曲线上的每一条切线位于曲线上方。

函数极值判别定理：

如果f′′(x)在点c附近连续，那么：

① 如果f′(c)=0，f′′(c)>0，那么，函数f(x)在x=c处有局部极小值；

② 如果f′(c)=0，f′′(x)<0，那么，函数f(x)在x=c处有局部极大值。

4. 多变量函数的极值

函数有极值的必要条件：如果函数f(x, y)在点(a, b)处有局部极大值或极小值，而且f(x, y)的一阶偏导数存在，那么，必有

fx(a, b)=0, fy(a, b)=0

函数极值判别定理：

如果f′′(x)在点(a, b)的某个邻域连续，而且，fx(a, b)=0, fy(a, b)=0，令

D=D(a, b)=fxx(a, b)fyy(a, b)−[fxy(a, b)]2

① 如果D>0，fxx(a, b)>0，那么，f(a, b)是函数的局部极小值；

② 如果D>0，fxx(a, b)<0，那么，f(a, b)是函数的局部极大值；

③ 如果D<0，那么，f(a, b)不是极值，点(a, b)称为函数的鞍点。

2.2.2　积分

积分分为定积分和不定积分两种。函数f(x)的不定积分可以写为：

F(x)=∫f(x)dx

其中，F(x)称为f(x)的原函数或反导函数，dx表示积分变量为x。当f(x)是F(x)的导数时，F(x)是f(x)的不定积分。根据导数的性质，一个函数f(x)的不定积分是不唯一的，若F(x)是f(x)的不定积分，F(x)+C也是f(x)的不定积分，其中C为一个常数。

如图2-3所示，一元正实值函数的定积分可以理解为在坐标平面上，由函数曲线、定积分区间直线和坐标轴围成的曲边梯形的面积。

定积分比较严格的定义是由黎曼（Riemann）给出的：

如果函数f(x)定义在区间a≤x≤b内，将区间[a，b]划分为n个宽度为的子区间，设这些子区间的端点为x0(=a), x1, x2, …, xn(=b)，在这n个子区间中，每个子区间任意选取一个样本点，得到n个样本点：位于第i子区间中，那么函数f(x)从a到b的定积分是：

当n足够大时，上述极限值与样本点的选取无关。