第29章 “哥德巴赫猜想”

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中，提出了这样一个猜想：“任何大于5的奇数都是三个素数之和。”同年6月30日，欧拉在回信中确定了哥德巴赫猜想的正确性，并进而提出了“任何大于2的偶数都是两个素数之和”的猜想，但当时他们却无法证明它。

这两个问题引起了数学界的极大兴趣，这就是著名的“哥德巴赫猜想”。从此，展开了哥德巴赫猜想艰难的证明历程。

由于哥德巴赫猜想长期得不到证明，在1912年的第五届国际数学家大会上，又提出了一个较弱的猜想：存在着正数C，使每个大于或等于2的整数都可以表示为不超过C个素数之和。

1930年，前苏联25岁的数学家西涅日尔曼证明了这一猜想，并且估算出C不超过S，S≤800000，S就是西涅日尔曼常数。这是哥德巴赫猜想研究中的一次大突破。

1937年，前苏联著名数学家伊·维诺格拉多夫用“圆法”和他自己创造的“三角和法”证明了：充分大的奇数，都可以表示为三个奇素数之和。这是迄今为止在解决哥德巴赫猜想上最大的突破，被称为“三素数定理”。

在哥德巴赫猜想的证明过程中，还提出过这么一个命题：每一个充分大的偶数，都可以表示为素因子不超过m个与素因子不超过n个的两个数之和。这个命题简记为“m+n”。例如要证明“2+3”就是要证明任何充分大的偶数，都能表示为一个不超过两个素数的乘积与一个不超过3个素数的乘22积之和。显然“1+1”正是哥德巴赫猜想的基础命题，“三素数定理”只是它的一个重要推论。

1920年，挪威数学家布朗改进“筛法”，证明了“9+9”，德国数学家拉代马哈于1924年证明了“7+7”，英国数学家埃斯特曼于1932年证明了“6+6”，前苏联数学家布赫夕塔布于1938年和1940年分别证明了“5+5”和“4+4”。

1956年，我国数学家王元证明了“3+4”，前苏联数学家阿·维诺格拉多夫证明了“3+3”。

1957年，王元又证明了“2+3”。

最早在相加的两个数中有“1”的是1848年匈牙利数学家瑞尼证明的“1+C”，其中C是一个很大的常数。1962年，我国数学家潘承洞证明了“1+5”，同年，前苏联数学家巴尔巴恩也证明了“1+5”。1963年，王元、潘承洞、巴尔巴恩都分别证明了“1+4”。1964年，阿·维诺格拉多夫、布赫夕塔布以及意大利数学家朋比尼又证明了“1+3”。

1966年，我国数学家陈景润对“筛法”作了新的重要改进后，证明了“1”，由于未发表详细的证明在国际上影响不大。1973年，陈景润发表了他修订过的论文，证明了任何一个充分大的偶数，都可以表示成为两个数之和，其中一个是素数，另一个或者是素数，或者是两个素数的乘积。这篇论文立即在全世界的数学界引起了强烈的反响，陈景润的证明结果被称为“陈氏定理”，是迄今为止哥德巴赫猜想证明的世界最高记录。不少数学家还致力于简化这个定理的证明，最简化的证明是我国数学家王元、丁夏畦和潘承洞共同作出的。

哥德巴赫猜想是数论中的一个重要猜想，从提出到现在已经有250多年，虽然还没有得到最终证明，还没有成为定理，但经过近70年来各国数学家的不懈努力，已经取得了巨大的进展，正在向“1+1”进军。