第13章 数字教学中学生智力的开发
素质教育要求教师在开发学生智力、培养能力的过程中，既应做到教学活动的实效性强，保证教学质量；又应克服贪多求全的心理，真正做到精讲精练，彻底挣脱“题海”的束缚。
培养思维品质，提高数学能力
现代社会生产力的高速发展对人们指出了知识需随时更新与换代的要求。在数学教学活动中，若让学生得到的仅是一些公式或定理等结论或仅用于解数学题的解题术，学生很难适应社会的需要。更何况绝大部分学生离开学校走向社会后，所从事的工作都很少用上高中及以上的数学知识，久而久之，所学知识大部分都会忘记。
学生在学习过程中提高了思维能力，就会把所学数学知识和方法迁移到其相关专业领域中去，在工作中把这种数学能力转化成其相关的工作能力。并用思维这把“钥匙”去打开其未知的知识宝库，适应科技更新与换代的需要。因而开发智能资源，必须培养思维品质、提高思维能力。数学思维主要依靠理论抽象的逻辑思维，培养思维品质应在解决问题的思维过程中进行。
解决某个未知的数学问题，开始时常有一种“摸着石头过河”的感觉，这需要鼓励并引导学生在手脑并用的过程中大胆探索，这个探索过程正是思维能动性的表现。一个复杂的问题，意想不到的收获。
从广义上讲，一切解题的方法都是探索法。探索，应从审题开始，即在准确理解题意的基础上，由各个条件和结论分别展开最直接的联想，提取并产生大量信息。如题目与哪些知识有关，有哪些方法可供选择，甚至初步估计命题者的意图等。探索应充分运用已有的信息，将已有的信息重新编排和归类；探索还应从简单的或熟悉的开始，正如做某事，需找人帮忙，你会首先想到你的亲友或邻近的人，一个看似复杂或陌生的问题总有它简单或熟悉的“配件”，以简单的情形作突破口，大胆尝试，经过运算探索后，很可能会出现意想不到的收获。
探索是有目的的，有些问题本就有明确的结论，这种题，在分析问题和试探每一步路时，必须时刻关注结论，做到“有的放矢”。即使无明确结论的开放题，往往也可以先“粗略估计”或猜想出结论可能是什么。尤其对理论性很强的数学科学更有效。通过此探索过程逐步启发学生抽象、概括出解决这类问题的常见方法，待各种方法明朗化后，学生解决问题时靠“碰”、靠“撞”的偶然性还很强，还需把这种偶然的成功转化成必然的成功，故需再根据问题的不同需要分析各种方法的适用性和局限性，总结问题的“危险点”，使学生不受错误方法“先入为主”的影响，能从错误思路中退回来，从而培养思维的目的性和批判性。在此基础上，再结合数学分类讨论的思想，设计更深层的问题，使学生在分析与综合、类比与联想中，既能全面分析问题，又能分清主次，培养思维的深刻性和广阔性。
在解决问题的各层次中，学生必能发现一些巧解或出现某些意想不到的收获，教师应借此思维惯性，适度进行一题多解、多变、多用，从而在思维的发散与集中及问题的变化中培养了思维的灵活性，在熟练和积累中培养了思维的敏捷性。
精心构建教法，分步实现目标
学生学习数学，对概念、公式、定理的理解或证明等，通过教师讲评而听懂后，往往条件反射式地把“重心”转移到结论本身或利用结论解题上去，对数学方法也往往只注意什么题型用什么方法，而对此方法的依据不重视。学生最初虽听懂了，但并未彻底掌握，更因以后“重心”转移而遗忘。如正、余弦定理，绝大部分高中生已能较熟练地运用，但若问如何证明，高三大部分学生短时内都反应不过来，等等。这种“重结论、轻过程”的现象是中学生学习的共性，故教师应加强知识形成过程的教学。
大部分知识或方法，过程不清就无法解题或直接影响相关知识的学习。这种情况下，一开始就应淡化结论，把过程讲透，并在相关知识的教学中反复强调和运用此过程中的思想方法，并通过恰当设问，创设思维情境，进一步有意识地把学生的注意力自然地集中到过程上来。
有一部分知识，其形成过程中的思想方法在学习和运用的初级阶段作用偏小，但其结论很明，且运用结论在解题或学习相关知识中的作用较大，学生学习兴趣也较浓，形成过程不够清楚对近期学习影响不大。这种情况下，不妨先满足学生求新求快的心理，对教学确立一个近期目标和远期目标，先“走马观花”式地拖一段教学进度，学生对结论已熟练，需转入较深层的研究时，再回过头来，采取有意识设置“陷阱”让学生先错，以帮助学生发现问题，激发其研究动机，引导学生自觉由结论向过程转向，进一步解决问题。
如此分步确立教学目标，再逐步深透、逐层解决的方法，比一步到位或枯燥地强调注意过程的效果应好得多。总之，开发智能资源，既不是电视娱乐中的脑筋急转弯，也不能设想用几节单一的智能开发课来解决问题。而应是惯穿于整个教学活动与生活实践的过程之中。
建立数学思想，指导学习方法
开发数学智能，还在于建立数学思想。没有思想，则近乎于木偶。“重技巧、轻思想”是中学生学习的又一共性。学生中出现的一些解题技巧，或来自于课外读物，或来自于少部分优生的发现与创造。针对这种现象，教师在对学生赞赏之后，应紧接着分析其使用的条件，对其中常规、常用的应加以推广，但对部分过余特殊化的，则应向学生指出，这种巧解或“灵感”是知识和方法熟练到一定程度后的一种思维的“火花”闪现，具有很强的偶然性。我们不应刻意追求巧解，而应把重点放在“通性通法”上，并将这种熟练程度再上升到一种近乎于“自动化”的程度，就形成了一种高于技巧的技能。
弄清教材程序，了解编者的意图或介绍数学各分支的作用，也有利于学生建立数学思想。如解析几何中“前言”这节课，可适当让学生了解一点数学发展史，明白笛卡尔创立解析几何是为了通过坐标系把代数与几何两大领域联系起来，并可借恩格斯对笛卡尔工作的评价帮助学生把运动和辩证法带入数学，进一步认识变量数学。这样既有利于学生掌握后面的解析法，也有利于学生重新理解前面的函数知识与方法，从而建立数形结合的思想及函数与方程的思想。
深钻教材及大纲，开发教材例、习题及数学语言的应用等潜在功能，适度改造与深化教材，变更必然题为探索题或开放题，可培养学生思维的发散与集中，并进行规纳猜想，培养学生的数学意识和直觉能力。这样通过“重内容、轻形式；重思想、轻技巧”的引导，使学生从具体方法依据中升华到数学思想上来。
要搞好教学这个双边活动，还需要指导学生学习方法，使学生变被动学习为主动学习，提高学习兴趣的持久性。“天才在于积累”。数学虽主要依靠间接思维，但首先必须储备、积累丰富的基础知识等前人的直接经验，故而也要记忆。数学概念或方法的名称往往与字面上的含义有关，但更重要的是理解其内含和外延，因而应根据学生的身心特征和遗忘规律，结合科学的记忆方法和数学学科的特点，指导学生通过过程与关系，重视理解记忆和有意识与无意识相交叉的记忆方法，以提高记忆能力。
指导学习方法同时还需培养学生良好的学习习惯和注意能力。针对数学科的特点，可通过以数学规范性的教育来实现。它包括思维过程及解题格式的规范，要做什么，应先有什么，因果关系、逻辑推理不能混乱。不少学生的解题过程总给人一种拼凑起来的感觉，正是缺乏这种规范性的原因。数学规范性还包括数学语言的规范。“数学语言是数学水平及素养的重要反映”，不会语言，等于是一个哑巴，思维也无从依靠。
配合教学管理，保证教学质量
“要成材，先成人。”教书要育人，管理出效益。老师参与或配合教学管理的过程中，在搞好教学常规，保证教学秩序的前提下，应结合其学科特点、社会需要、生活实践、学生个性特点及个人需要，对学生进行具有实质性内容的前途、理想教育，帮助学生明确学习目的，培养学习兴趣，从而健康、全面发展。否则，“为中华之崛起而读书”就成了一句空洞的口号。数学科是一门理论性很强的自然科学，其本身内容的丰富性、逻辑的严密性及思维的灵活性均可培养学生的学习兴趣。
数学思想与方法、数学与相关学科的联系、数学研究的对象及数学的作用、生活中的数学、数学高考题的研究和开发等等，都可作为激发学生学习动机的材料。日常生活中，教师与学生的闲谈也能富有教育意义，可针对不同学生的兴趣特点，通过管理、天文、军事、公安、体育、三峡工程等话题，从公元前五世纪古希腊毕达哥拉斯学派研究数学的美学情趣万物皆数，与第一次数学危机，到20世纪初数学家的惊叹：“惊人的巧合：万物皆数。”让学生从这个历史经历了的否定之否定的过程中感受到数学的伟大作用。
考试是教学管理的一种必要手段。事实上，素质教育与应试教育是一对既对立而又统一的矛盾，正是当前这一主要矛盾推动了现行教育的发展。只要我们的教学活动符合教育心理学的规律，符合学生的身心发育特征，符合教育三个面向及民族的需要，不是仅为了考试而教学，就不会走向应试教育这一弊端。
处理好教学与考试有两点值得注意：一点是不考的内容是否一定不教学。如高中数学教材中，数列部分出现了由线性递推公式推证通项公式的习题，超过了高考“考试说明”控制了的难度要求，而处理此问题所用的待定系数法及等比数列等知识又是必须要求的基本方法和基础知识，故可根据学生的实际水平，适当处理线性递推等教学内容，有利于提高学生的认识水平。因而不考的内容，只要有利于培养数学能力，而又不影响整个教学计划，也可安排教学。当然这要求把握好不同班级的学生水平，符合因材施教的原则，内容也不应过分膨胀，并应分清主次。
另一点是要考的内容又如何去安排教学。如近几年高考数学考试中出现的应用解答题，涉及到的淡水养鱼与市场价格，人口增长与土地流失，汽车运输费用与速度等，均是当前经济与资源等热点问题的解决。其目的是要求学生具有数学应用意识，考察学生把普通语言转化为数学语言的阅读理解能力，运用所学数学知识和方法分析问题和解决问题的能力。只要日常教学中注意了对相关能力的培养，解应用题必会水到渠成。因而要考的内容也应以知识、方法及能力为核心而教学，而不应是围着考题的形式而打转。
总之，教学改革既不是照他人的样而依样画葫芦，成了东施效颦；更不是墨守成规，只按惯例或教参课时安排教学。而应是在广泛吸取传统和他人教学营养的基础上，有目的、有计划地按教育的客观规律和科学的教学原则，选择或创造恰当的教学方法。这样，学生高素质必好成绩，高分也必高能。