4.1.1 线性代数综述

为什么要在介绍NumPy库之前介绍线性代数呢？主要原因是NumPy库拥有一个新的数据结构：Series。而它正好可以用来表示矩阵。NumPy作为一个新兴的Python的第三方库，拥有大量关于矩阵以及线性代数的运算的方法和类。这里先通过平面解析几何引入相关概念。

平面解析几何是以代数为工具来研究平面几何的。在一般情况下，通过建立平面直角坐标系将平面上的几何对象代数化。例如，用一个二元有序数组（x，y）表示平面某一点P的坐标，记为P（a，b），a和b就是代数对象，于是平面上的点和有序数组就建立了一一对应的关系，这称为“几何对象代数化”。连接平面上的两个点，可以得到一个二元一次方程。而两条直线的交点坐标，可以看作两个二元一次方程构成的方程组的一对解。所以，当且仅当两条直线平行时，对应的线性方程组无解；当且仅当两条直线重合时，对应的线性方程组有无穷多解。

二元一次方程组求解至少需要两个方程；而n元一次方程组求解则至少需要n个方程联立。线性代数将这些二元一次方程组化为矩阵的形式进行计算，以简化“消元法”求解n元一次方程组的复杂计算过程，将复杂的消元计算转为矩阵计算，现在的复杂度就只有O（1）了。

在空间解析几何中，通过建立空间直角坐标系，将空间的点与三元数组建立一一对应的关系，将空间中的平面与三元一次方程建立一一对应的关系。空间中平面的位置关系，可以通过研究三元一次方程组解的情况来确定。二元一次方程在平面内是一条直线，而三元一次方程在空间中是平面。总而言之，一次方程就是“线性方程”，而“线性方程组”是线性代数的一个重要的研究内容。

从平面到三维空间乃至n维空间，是存在线性的，称这样的空间是“线性空间”。实际上，二维空间（即“平面”）还有三维空间都是n维空间（即“线性空间”）的特例。

所以在平面上，只需要两个不共线的向量e₁、e₂，依向量分解定理，任意一个向量a均可以唯一分解为e₁、e₂的线性组合，即存在唯一一组数（x，y）使得a=x·e₁+y·e₂，（x，y）就称为向量a在仿射坐标系[O；e₁，e₂]下的坐标。需要注意的是，在仿射坐标系[O；e₁，e₂]中，基向量e₁、e₂既不需要相互垂直，也不需要是单位向量，只需不共线即可。同理，在三维空间中，仿射坐标系[O；e₁，e₂，e₃]的基向量e₁、e₂、e₃只需不共面即可。那在n维向量空间的仿射坐标系下呢？同理，要求它们“线性无关”。

同时，一次项可以通过“配方”（平移）来消除，在n维向量空间中，主要研究一元二次齐次多项式，这被称为“二次型理论”，当然n元二次也算作“二次型理论”的范畴。例如，给定一个二元二次方程，可以通过坐标变换（即旋转和平移）将其转化为标准方程来判断它的形状。二次曲线会涉及长度和夹角等性质，推广到二次型时，需引入内积的概念，由此又会引出相应的度量概念，如向量的模、正交等。在二次型理论中，还会研究如何通过线性变换将二次型变换为标准的二次型（只含平方项，不含交叉项的二次型），这种操作称为“线性变换”。

线性代数的主要研究内容有以下4点。

（1）线性方程组。

（2）向量的线性相关和线性无关。

（3）二次型理论。

（4）线性空间与其相关的线性变换。

不仅是“矩阵”，“行列式”也是线性代数、二次型的重要研究工具。