芥子须弥——圆周率π的秘密

——你可以保持沉默，而你想要说的一切，都已经作为呈堂证供，记录在π之中了。

几年前在德国马堡附近，参观了一个青少年科技活动馆。那里有台计算机正在运行着计算π，小数点以后一位一位地算下去，现在到底计算到第几位了，我也搞不清楚。而这台计算机同时提供的一个游戏，给我留下深刻的印象。就是只要输入生日，譬如我的生日是1957年6月25日，输入“250657, ”计算机就可以告诉我，我的生日出现在π的小数点后1 427 419位到142 725位之间，之前出现的是…19 243 987，之后出现的是018 412 953…。花费时间1.155秒（见图1）。我询问了科技馆的工作人员，他们说到现在还没有碰到过找不到自己生日的人。事实上，这台计算机已经验证了任何的6位数都可以在π中找到。

那么，有一个有趣的问题：是否π中包含了更多位数的整数？进一步地，是否π中包含了任何位数的任何整数呢？

我们知道，数是从自然数、整数、有理数、无理数、超越数发展而来的。有理数是一次整系数代数方程px＝q的根，这里p, q是整数。两次整系数代数方程的根就包含了一些无理数，譬如，由有理数与整数开根号，再通过加减乘（数学上称为代数）组成。三次整系数代数方程的根就包含了更多的内容，不仅包含两次根，它还包含了整数开三次根。这样我们就把无理数进行了分类，分成了一个包含一个的无理数集合的嵌套，因为二次方程的根同时也是三次方程的根。这些数称为代数数，因为它们都是某个代数方程的根。但π不是代数数，它不能写成代数方程的根，而是超越数。超越是指它已经不能写成任何的代数方程根的形式，所以更加复杂，或者说更加无理。数学证明代数数比有理数多，而超越数比代数数还要多得多，实数中几乎都是超越数。世界就是这样，总是魔鬼比天使多，无理的比有理的多，甚至是越无理越多。

图1

对于有理数与无理数还可以有另外的一个嵌套分类方法。（0, 1）之间的无理数是无限位的小数，有理数后面填上零也可以看成无限位的小数。在这个无限位小数中，包含0到9任何整数的是第一类，还包含10—99所有整两位数的是第二类。这样也形成了一个包含一个的无限位小数集合的嵌套。

显然，存在这样的无限位小数，它包含所有的不论多少位的整数，或者说现在这样分类的超越数。我们很容易地就构造出一个这样的无限位小数，只要数数，然后一个接着一个写在后面就可以了。这个数是0.123 456 789 101 112 131 415 161 718 192 021 22 232 425 262 728 293 031 3…，对于这个数，如果整数n是L位的，那么上面这个数前10的（L+1）次方位中，肯定包含了n甚至所有的位数不大于L的整数。显然，这样的构造是非常浪费的。个位数0到9,12,23,21等在后面又重复出现，前面的可以去掉。那么就有了一个新问题，怎么写出一个最短的小数，包含所有0到n的整数。（方法刚才已经给了，只要把前面已经出现的去掉，这可以看成数论中经常用到的筛法。这是最短的了吗？最短的这样的数，位数究竟是几？）

我们可以用概率论的方法证明，一个非常乱地（随机地）排列的无限位小数，一定以概率1包含了任何整数n。假设每添加一位小数都是从0到9平均地随机取的，这个整数n是L位的，记N为10的L次方，那么在写下（L+M-1）位小数后出现了M个L位整数，所以不出现某L位整数n的概率是（N-1）/N；再一起M次方，令M越来越大，趋于无穷大，得到下面的结论：不出现n的概率是零，从而每次都是随机添加的无限位小数，会以概率1在某处出现任何给定的整数。具有这样性质的无限位小数也具有某种超越性。在了解了超越数比代数数多得多的概念后，具备现在这种超越性的无限位小数可能也有许多，可能无限位小数中的绝大多数，与经典的超越数一样，是具备这种超越性的无限位小数。我们将在下一篇《芥子须弥——圆周率π的秘密的进一步讨论》中给出证明。

一个有趣的问题或者猜想是：是否超越数都具备这个性质？或者说，哪些数具备这个性质？更加具体的问题是：圆周率π是否是具备这种性质的数？π这个数当然是超越数，每一位的添加看起来非常没有规律，或者说好像是随机添加上去的。利用上面关于概率的公式（上面假设0到9出现的概率相同，不相同时结论也是对的，证明思想也是相似的），如果我们已经将π写到了2 000位，那么某6位数不在其中的概率是0.999 999的1994次方。如果写到20 000位，那么某6位数不在π中的概率是0.999 999的19 994次方。所以人们有理由给出这样的猜想：π应该是具备这种超越性质的无理数。根据这个思想，我们好像已经用概率论证明了这个命题：任何一个整数，以概率1会出现在π中的某一段。

当然这个证明是数学不严密的，读者可以自己构造这样无限位小数，不是有理数，但不具备这个性质（答案在下一篇《芥子须弥——圆周率π的秘密的进一步讨论》中）。所以对于数学家来说，用数学严密地证明π是这样的超越数会是一个非常有趣的问题。

最近大家都在讨论大数据，好像没人会认为π这个数属于大数据范畴。因为π只是一个数，而且可以由圆的直径与周长的关系描述。但是上面的讨论告诉我们，π很可能是满足这种超越性质的超越数，那样真如佛祖在须弥山讲道时所说的，须弥山可以装进一粒芥子之内。我们知道现在几乎所有的东西都可以通过计算机数字化，不仅我们的生日，我们的银行卡密码，我们的照片，我们的讲话录音、录像，甚至这篇文章的文本文件（注意：还是在写这篇文章之前），可能早已经是记录在π中的一段了。“你现在不要说话，因为你想要所说的一切，都已经在π中的一段里出现过了。”不仅是内容，而且还包括语调语气。如果你用声音播放软件来播放π，就会在某时刻听到你将要说的话，看到你将要写出的文章，或者是明天要交给老师的作业、交给老板的求职信或计划书。

对于已经储存在计算机中的内容，世界上所有的数字存储介质中的内容，还只是有限位的，或者说只是一个整数。我们录下来的所说过的话，我们的数字照片、录像，我们写的文章，这个我们是指我们所有的人，甚至还包括古人。数字化后竟然还只是在有限位整数范畴。即使再过几年，不，几百万年，我们的后代子孙，全体人类所能够做的，并且记录到数字介质中的人类活动的所有内容，这些也还只是有限位整数，而且可能早已经被记录在π中的一段里。你难道不感到震惊吗？

这里还涉及一个更加重要的问题，那就是上帝的存在性与世界发展的决定性问题。

如果π确实包含任何的整数，那么上帝存在的可能性也就大大提高，他只要画一个圆，让世界按周长与直径的比这个剧本去像电影那样演就行了。或者说上帝拿一个硬币，在周边随便画几个点，放在一条直线上向前滚，这样就画出了一个条形码，然后用整数条形码识别器去识别，读出来后用Mpeg软件像放电影一样放映出来。那么一定会在某时某刻放映出来的就是现在正在上演的那部热门电影，或者是你明天的活动记录。当然这也导致了决定性论，即世界的发展在上帝画那个圆时就已经决定了，你只能听天由命。

上面提到，这样的数也可以通过随机取值得到，那么上帝的角色就不那么重要了。我们的世界只是随机产生的，现在只是一段在无限的随机序列中看上去比较有序的数段而已。颠倒梦想，究竟涅槃。上帝还是只要使用这个硬币，拿着它往上扔，然后把正反面记录下来，放到Mpeg软件中去放映。历史将要发生什么，那要看上帝下一个硬币扔出来的结果。这将导致不可知论，或者说世界是上帝在玩骰子而存在、发展的。

当然更有可能的是，下一个随机数是我们人类自己取的，是人类活动在影响、推动、改变着明日世界的发展。

问题：编一个程序，用公式π/4＝1-1/3+1/5-1/7+1/9……，一位一位地去计算π，注意计算机的存储，有限时间的计算都是有限位的。

复旦大学数学科学学院 吴宗敏

（本文摘自《数学文化》2015年第4期，此处文字略有改动。）