2.3　数值模拟方法和分类

在运用CFD方法对一些实际问题进行模拟时，常常需要设置工作环境、边界条件和选择算法等，特别是算法的选择对模拟的效率及其正确性有很大影响，需要特别重视。要正确设置数值模拟的条件，有必要了解数值模拟的过程。

随着计算机技术和计算方法的发展，许多复杂的工程问题都可以采用区域离散化的数值计算并借助计算机得到满足工程要求的数值解。数值模拟技术是现代工程学形成和发展的重要动力之一。

区域离散化是用一组有限个离散的点来代替原来连续的空间。实施过程是把所计算的区域划分成许多互不重叠的子区域，确定每个子区域的节点位置和该节点所代表的控制体积。节点是需要求解未知物理量的几何位置、控制体积、应用控制方程或守恒定律的最小几何单位。

一般把节点看成控制体积的代表。控制体积和子区域并不总是重合的。在区域离散化过程开始时，由一系列与坐标轴相应的直线或曲线簇所划分出来的小区域成为子区域。网格是离散的基础，网格节点是离散化物理量的存储位置。

常用的离散化方法有有限差分法、有限单元法和有限体积法。

1．有限差分法

有限差分法是数值解法中最经典的方法。它是将求解区域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程（控制方程）的导数用差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。

这种方法产生和发展得比较早，也比较成熟，较多用于求解双曲线和抛物线型问题。用它求解边界条件较为复杂，尤其是求解椭圆型问题时，不如有限元法或有限体积法方便。

构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有四种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分，其中前两种形式为一阶计算精度，后两种形式为二阶计算精度。通过对时间和空间几种不同差分形式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。

2．有限单元法

有限单元法是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数，然后根据极值原理（变分或加权余量法）将问题的控制方程转化为所有单元上的有限元方程，把总体的极值作为各单元极值之和，即将局部单元总体合成，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。

有限单元求解的速度比有限差分法和有限体积法慢，在商用CFD软件中应用并不广泛。目前常用的商用CFD软件中，只有FIDAP采用的是有限单元法。

提示

有限单元法对椭圆型问题有更好的适应性。

3．有限体积法

有限体积法又称为控制体积法，是将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积，将待解的微分方程对每个控制体积积分，从而得到一组离散方程。

其中的未知数是网格节点上的因变量。子域法加离散是有限体积法的基本思想。有限体积法的基本思路易于理解，并能得出直接的物理解释。

离散方程的物理意义是因变量在有限大小的控制体积中的守恒原理，如同微分方程表示因变量在无限小的控制体积中的守恒原理一样。

有限体积法得出的离散方程要求因变量的积分守恒对任意一组控制集体都得到满足，对整个计算区域自然也得到满足，这是有限体积法的优点。

有一些离散方法，如有限差分法，仅当网格极其细密时，离散方程才满足积分守恒；而有限体积法即使在粗网格情况下，也显示出准确的积分守恒。

就离散方法而言，有限体积法可看作有限单元法和有限差分法的中间产物，三者各有所长。有限差分法较直观，理论成熟，精度可选，但对于不规则区域的处理较为烦琐，虽然网格生成可以使有限差分法应用于不规则区域，但对于区域的连续性等要求较严。使用有限差分法的好处在于易于编程，易于并行。

有限单元法适用于处理复杂区域，精度可选。缺点是花费内存和计算量巨大，并行时不如有限差分法和有限体积法直观。

有限体积法适用于流体计算，可以应用于不规则网格，适用于并行。但精度基本上只能是二阶的。

有限单元法在应力应变、高频电磁场方面的特殊优点正在被逐步重视。

由于Fluent是基于有限体积法的，所以下面将以有限体积法为例介绍数值模拟的基础知识。