第1章 田忌赛马：你若是齐王会怎么办
故事回顾：如何用自己的长处攻击对方的短处
“田忌赛马”是很多中国人耳熟能详的故事。很多中国人一听说“博弈”可能首先想到的就是这个典故。这个故事出自《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》(1)，主要讲述了齐国大将田忌与齐威王进行赛马反败为胜的故事。这是中国历史上有名的用自己的长处去攻击对手的短处，从而在竞争中获胜的事例。
话说赛马是当时最受齐国贵族欢迎的娱乐项目。上至齐王，下到大臣，常以赛马取乐，并以重金赌输赢。赛马的规则是，大家的马先按奔跑的速度分为上、中、下三等，等级不同装饰不同，各家的马依等级比赛，比赛为三局两胜制。田忌将军多次与齐王和众公子赌输赢，输多赢少。田忌手下的孙膑仔细观察后发现，田忌的马和其他人的马脚力相差并不远，只是策略运用不当，以致失败。于是孙膑给田忌出了一个新主意。
在后来的比赛中，田忌按照孙膑的主意，用下等马冒充上等马，与齐王的上等马比赛，先输一局；然后用上等马赢齐王的中等马，再用中等马赢齐王的下等马，三局两胜，田忌赢了齐王。
看到这里，大家一定会觉得孙膑很机智，虽然田忌每一种等级的马都比不上齐王的马，但是通过改变出场顺序，赢得了整场比赛。
齐王应对：将对方的反应作为决策的依据之一
那么，现在问题来了：如果你是齐王，你会怎么办？
如果我是齐王，我会先处理好已经发生的这件事。
第一，如果赛马规则已经明确规定各家的马必须依照上、中、下的等级顺序参加比赛，那么在这次比赛中田忌没有遵守游戏规则，属于违规行为，比赛成绩应该作废，或认定田忌在比赛中有作弊行为，成绩作废的同时给予相应的处罚。
第二，如果赛马规则没有规定各家的马必须依照上、中、下的等级顺序参加比赛，之前大家只是习惯性地按照上、中、下的顺序出场，那么这次比赛成绩有效，田忌获得相应的奖励。
现在假设是第二种情况，每种等级的马的出场顺序并没有强制规定。田忌在孙膑的帮助下通过改变马的出场顺序赢得了比赛，那么，后续的问题又来了：如果你是齐王，下次继续和田忌比赛时，怎么办？是坚持之前的上、中、下的出场顺序，还是调整为和田忌一样的下、上、中的出场顺序呢？
当然，对于田忌来说，也会面临同样的问题。那就是，如果下次还和齐王赛马，怎么办？是继续按照孙膑之前的建议，用下、上、中的出场顺序和齐王去比，还是换一个其他的出场顺序？
经过刚才的思考，我们不难发现，对于齐王来说，他下一次赛马的最优出场顺序取决于田忌这边的出场顺序。对于田忌也一样，他下一次赛马的最优出场顺序取决于齐王那边的出场顺序。这就是博弈的核心：每个博弈的参与者必须考虑到对手的反应，并把这种反应作为决策的依据之一。
后续抉择：游戏必须满足参与约束
回到刚才的问题，你若是齐王，下次再和田忌赛马的时候怎么办？如果比赛的规则完全是由你来决定的，那么你可以明确规定，每次比赛必须按照上、中、下的出场顺序进行，违规者罚款千金并禁赛一年。你也可以规定，比赛的出场顺序由每个参赛者自己决定，但是齐王可以等田忌（或其他参赛者）的出场顺序定下来后再决定自己的出场顺序，而不是要求同时决定出场顺序。
在以上两种游戏规则中，如果齐王每个等级的马都优于田忌同等级的马，就可以确保齐王每次都能赢得比赛。那么，问题又来了：如果田忌预测到每次比赛一定会输，那他还有积极性参加吗？正如你会和一个专业的围棋选手比输赢吗？除非你想从对方那里学几招或是想体验一下输棋的感觉，并顺便发个朋友圈炫耀一下，显示你有挑战专业棋手的能力。
作为齐王，如果规定了上面两种游戏规则，虽然确保了自己每次比赛的胜利，但是田忌肯定不愿意接受这样的比赛，必然会放弃与齐王继续赛马的博弈。除非田忌参与赛马不是为了赢钱而是为了取悦齐王，那就另当别论了。
需要强调的是，任何一种游戏，要想让大家有参与的积极性，必须满足参与约束（participation constraint）。参与约束是指参与者从游戏中获得的期望收益要大于（或不小于）从其他活动中能获得的最大期望收益（该收益可称为“保留效用”）。只有这样，每个参与者才有参与游戏的积极性。一个不满足参与约束的游戏是不可持续的，最终也会被大家所抛弃。
如此看来，齐王的最佳选择是明确允许大家在赛马的时候可以自由选择不同等级马的出场顺序，然后凭借自己的综合实力去获胜，同时还能给那些实力不足的参与者以获胜的机会。
结果计算：好玩的游戏80%靠实力
本章中列出了一个完整的田忌赛马结果（见表1.1）。无论是齐王还是田忌，上、中、下三种马的不同出场顺序共有6种可能性。如果赛马的双方每次都是随机选择出场顺序的话，共有36种组合。在齐王每个等级的马都优于田忌同等级的马，且田忌高一等级的马要优于齐王低一等级的马的情况下，36种组合中有30种情况是齐王获胜，还有6种情况是田忌获胜。也就是说，齐王获胜的概率是5/6，而田忌获胜的概率是1/6。
表1.1 田忌赛马全部结果
一个好玩的游戏，往往是80%左右靠实力，20%左右拼运气。80%靠实力才会激励人们去努力；20%拼运气，才能给弱者以希望和机会。中国人特别喜欢的麻将和斗地主就特别符合这一点。虽然打麻将的水平很重要，但是摸牌的运气也很重要，所以很多水平不高的人也愿意去碰一碰自己的运气。风靡全世界的足球比赛也符合这个特点。
问题引申：把思考引向深处
继续回到田忌赛马的典故，我们还可以把思考引向深处，现在请你思考以下两个问题。
第一个问题是：在可以随机选择出场顺序的情况下，如果把比赛规则从三局两胜制改为五局三胜制，齐王胜出的概率是上升了还是下降了？前提条件仍然是齐王每种等级的马都优于田忌同等级的马，且田忌高一等级的马要优于齐王低一等级的马。
第二个问题是：如果田忌从别处意外地获得了一匹超优质的马，能够比过齐王所有的马，但是他另外的两匹马还是比不过齐王同等级的马，那么在这种情况下，齐王每次比赛（三局两胜制）胜出的概率又会是多少？
案例拓展：诺曼底登陆只是一场佯攻？
让我们把目光从古代的中国转向第二次世界大战中著名的“诺曼底登陆”。
1943年5月，英美华盛顿会议，决定于1944年5月在欧洲大陆实施登陆，开辟第二战场。同盟国欧洲远征军最高参谋部开始制订登陆计划。首先确定登陆地点，根据历次登陆作战的经验教训，几经权衡，同盟国欧洲远征军最高参谋部最终选择了诺曼底作为登陆点。诺曼底虽然距离英国较远，但优点也不少，一是德军防御较弱，二是地形开阔，三是距法国北部最大港口瑟堡仅80千米。
对于盟军来说，既然选择了在诺曼底登陆，那么，如何避免被德军识破其意图就变得十分重要了。为此，盟军使用了各种欺骗战术。正如丘吉尔所言：“战争中的真理非常宝贵，需要用谎言来守卫。”盟军的欺骗战术主要包括：
1.组建“影子部队”欺骗德军，使德军竟把英军兵力高估70%，把美军兵力高估20%，对盟军兵力多估算了60个师，约100万人。
2.通过各种方式让德军认为，盟军进攻的目标除了诺曼底之外，也可能是斯堪的纳维亚半岛、巴尔干半岛、法国的加莱海峡或者其他任何一个地方，从而分散德军的兵力部署。
3.采取各种手段让德军统帅部相信，诺曼底登陆只是一场佯攻，其目的是诱使德军过早地投入后备部队，从而为后续更大规模的主攻创造条件，以此确保诺曼底登陆成功后，后续进攻的顺利推进。
总之，所有行动的目标只有一个，就是让德军在法国，尤其是在诺曼底地区的守军数量部署最少。从最后的结果来看，盟军实现了其战略目标。
我们不妨看一下德军在1944年6月的兵力部署情况：在苏联179个师又5个旅，在北欧的挪威、瑞典13个师，在意大利21个师，在南斯拉夫25个师，在希腊12个师，在匈牙利4个师。在大西洋沿岸的法国、比利时、荷兰共60个师，约占其总兵力的19%。这60个师中，部署在加莱的有23个师；在诺曼底仅有6个师又3个团，约占其总兵力的2%。
试想一下，如果德国把部署在加莱的部队数量和部署在诺曼底的部队数量换一下，盟军诺曼底登陆一定会付出更大的伤亡代价。
不过，我想提醒大家的是，诺曼底登陆的成功固然和盟军成功地欺骗了对手有关，但真正起决定性作用的还是双方的实力差距。海军方面，1945年，美国拥有10759艘各型舰艇，仅仅航母就有120多艘，舰吨位达1832万吨，所有其他国家的海军加起来都没有美国海军强大。空军方面，1945年，美国拥有一线作战飞机67700架，飞机生产能力更是无人能及。“二战”中，美国生产了29.84万架飞机，仅仅B-24型轰炸机就生产了19000多架，是当时唯一具有全球打击能力的国家。陆军方面，1945年，美国拥有12800辆坦克和自行火炮，汽车上百万辆，机械化水平居世界第一，比德国军队强得不是一点点。
因此，对于当时的盟军来说，重要的不是成功欺骗了德军，而是不能让对方明确猜中登陆的地点。只有这样才能理解为什么盟军会给德军既传递在加莱登陆的情报又传递在诺曼底登陆的情报。你不妨反过来想一下，如果德军搜集到的所有情报都是盟军要在加莱登陆，狡猾的德军到底会怎么想？千万别以为德军不懂“声东击西”的道理。
本章小结
1. 赛马之前先努力养好自己的马，比赛最终只能靠实力！
2. 打乱马匹的出场顺序，让对方没法预测你的行为。
3. 实力强时多比几次，实力弱时少比几次。
考考你
在齐王每个等级的马都优于田忌同等级的马，且田忌高一等级的马优于齐王低一等级的马的条件下，对齐王来说，为什么三局两胜比五局三胜更有利？
请具体计算出齐王五局三胜的概率是多少。
(1) 原文：齐使者如梁，孙膑以刑徒阴见，说齐使。齐使以为奇，窃载与之齐。齐将田忌善而客待之。忌数与齐诸公子驰逐重射。孙子见其马足不甚相远，马有上、中、下辈。于是孙子谓田忌曰：“君弟重射，臣能令君胜。”田忌信然之，与王及诸公子逐射千金。及临质，孙子曰：“今以君之下驷与彼上驷，取君上驷与彼中驷，取君之中驷与彼下驷。”既驰三辈毕，而田忌一不胜而再胜，卒得王千金。于是忌进孙子于威王。威王问兵法，遂以为师。