048 1509年 黄金比

帕西奥利（Fra Luca Bartolomeo de Pacioli, 1445—1517）

这是一张用艺术手法呈现黄金比例的图；请注意，分属最大两个黄金矩形的对角线交点，就是所有小黄金矩形逐渐收敛的位置。

阿基米德螺线（公元前 225 年），费马螺线（1636 年），对数螺线（1638 年）及用正方形拼出的矩形（1925 年）

身为达芬奇（Leonardo da Vince）密友的意大利数学家帕西奥利，在1509 年出版《神圣比例》（Divina Proportione）一书，专门探讨如今广为人知的一个数学观念—“黄金比”。黄金比通常用符号 ϕ 加以表示，可以在数学领域和大自然中以相当惊人的频率不断出现。想要了解这个比最简单的方法，就是把一条线段分成两截，使得整条线段相对于分割后较长线段的比，恰好等于分割后较长线段相对于较短线段的比，或者用以下的数学式表示之：（a+b）/b=b/a=1.61803…。

如果一个矩形两边的边长比符合黄金比的话，就称为“黄金矩形”。黄金矩形可以在分割出一个正方形后，使其余下部分维持是一个黄金矩形，所以较小的这个黄金矩形当然可以再分割出另一个正方形及更小的黄金矩形，这样的过程可以无穷尽持续下去，不断产生越来越小的黄金矩形。

如果我们从原先最大黄金矩形的右上角往左下角画一条对角线，并且在第二大黄金矩形（也就是第二个黄金矩形）的右下角往左上角画出另一条对角线的话，则这两条对角线的交点就是所有越来越小的黄金矩形最终收敛的位置；除此之外，依照相同原则所画出的所有对角线，彼此间也都会维持着黄金比例。我们有时会把所有黄金矩形所收敛的位置称为“上帝之眼”。

黄金矩形是唯一一个可以在分割出正方形后，让余下部分和原先矩形具有相似特性的矩形。如果画一条串连所有黄金矩形顶点的曲线，可以约略画出一条“围绕”上帝之眼的对数螺线。对数螺线随处可见—海螺、动物的卷角、内耳中的耳蜗—所有大自然需要规律并且充分利用空间的地方，都有对数螺线的踪迹，因为这是一种能用最少材质构成坚固结构的造型，而且当螺线外扩时，只会改变大小却不会改变它的形状。■