060 1637年 笛卡儿的《几何学》

笛卡儿（René Descartes,1596—1650）

《亘古常在者》（The Ancient of Days）是布莱克（William Blake）的水彩蚀刻作品。中世纪的欧洲学者往往会把几何与神圣的自然律联想在一起，几世纪之后，原本依靠标尺作图的几何学也变得更抽象、更具解析性。

勾股定理与三角形（约公元前600 年），月形求积（约公元前440 年），欧几里得的《几何原本》（公元前 300 年），帕普斯六边形定理（约340年），射影几何（1639年）及分形（1975年）

法国哲学家暨数学家笛卡儿在1637年出版《几何学》（La Géométrie）一书，论证如何用代数来解析呈现几何形状图形。这本书因而催生出解析几何—以坐标系统表示空间位置，其中数学家可以运用代数加以分析的数学领域。《几何学》也讨论如何用实数系呈现平面几何上的点并解决相关的数学问题，以及利用方程式分类与表现各种曲线。

值得注意的是，《几何学》里面并未真正采用直角坐标系（也称为笛卡儿坐标系）或其他的坐标系统。这本书的重点在于代数与几何形式之间的相互表征；笛卡儿深信代数证明的步骤，应该都可以找出相对应的几何表征。

盖伯格（Jan Gullberg）对于这本书的看法如下：“对现代数学领域的学生而言，《几何学》是距今历史最悠久，却又不会让学生们在阅读时深陷数不清过时符号的数学文本……《几何学》和牛顿那套《自然哲学的数学原理》（Principia）都被列为17世纪最具科学影响力的重要文献之一。”另外，根据波耶（Carl Boyer）的看法，试图用代数运算将几何学从图形结构中“解放出来”，同时也透过几何表征赋予代数运算另一层次的含义。

更广义地说，笛卡儿发表《几何学》的目的，是为了完成将代数与几何整合成单一主题的创举，就好像葛宾娜（Judith Grabiner）所说：“正如同西方哲学史被视为持续不断替柏拉图论点添加批注的过程一样，过去 350 年来的数学家也都一直在为笛卡儿的《几何学》添加批注……以及解题的笛卡儿方法之胜利。”

以波耶对于笛卡儿的观察作为结论：“就数学才能而言，笛卡儿可能是所处年代最出类拔萃的一位，但是在他内心深处却从未以数学家自居。”相较于笛卡儿在科学、哲学以及宗教等其他领域的成就，几何学只不过是他多姿多彩人生中的其中一面罢了。■