2.2 分数阶微积分的常用函数

1.Gamma函数

Gamma函数^[6，7]为

式中， z=x+jy，则有

式中，cos[ y log（t）]+jsin[ y log（t）]中的 t 均有界。当t→∞时，要保证式（2-11）收敛，可以对积分，如果得到x=Re（z）＞1，则Γ（z）在t=0时收敛。

通过扩展Gamma函数的定义，可知

还可以用极限表示Gamma函数，即

2.Mittag-Leffler（M-L）函数

单参数M-L^[7]函数为

双参数M-L函数为

3.Beta函数

Beta函数^[7]为

基于Beta函数，可以得到两个Gamma函数的关系式，第一个关系式为

当0＜Re（z）＜1且z≠0，±1，±2，…时，式（2-17）成立。

根据式（2-17），可以得到一个特殊值（属于Gamma函数）

第二个关系式（简称Lgendre表达式）为