2.1 数值计算方程

数值计算方程包括流体流动控制方程、湍流模型以及壁面函数三个部分。

2.1.1 流体流动控制方程

流体的流动都要遵循三大方程，即质量守恒方程、动量守恒方程和能量守恒方程，三大方程是数值计算的理论基础。合理地使用这些方程将能够精确地获得阀门内部流体的速度分布特征、涡流变化特征以及压力演变规律。

1．质量守恒方程

质量守恒方程又称连续性方程，表述为单位时间流通微元体质量的增加量等于流入该微元体的净质量，其微分表达式为：

式中 ν——流体速度矢量；

S_m——质量附加项。

2．动量方程

动量方程又称Navier-Stokes（N-S）方程，表示流体动量变化与外力之间的关系，其微分表达式为：

式中 p——静止压力；

τ_ij ——雷诺应力张量，它是两个脉动速度矢量ν′并矢的时均值，即′；

μ——流体的运动黏度；

F_i ——外力。

3．能量方程

能量方程是指在考虑密度和温度等变化时，反映机械能和内能变化规律的流体基本方程，其微分表达式为：

式中 k_eff——流体的有效导热系数，其值为流体导热系数和流体湍流导热系数之和；

S_h——附加的体积热源；

w——显焓。

式（2-3）等式右边前三项分别表示热传导、组分扩散及黏性耗散。

2.1.2 湍流模型

由于在N-S方程式（2-2）中存在雷诺应力张量，导致了方程组不封闭，从而无法求解流场结构。为此，研究人员以雷诺平均运动方程为基础，依靠理论推导和经验知识对雷诺应力做出各种假设，从而建立起的描写湍流平均量的封闭方程组，即湍流模型。

随着计算流体力学的发展，湍流模型研究也有了很大的进展，涌现出了大量各种形式的湍流模型，主要有：单方程（Spalart-Allmaras）模型、标准k-ε模型、重正化群（RNG）k-ε模型、可实现的（Realizable）k-ε模型、标准k-ω模型、剪切压力传输（SST）k-ω模型、k-k_l-ω转捩模型、SST转捩模型以及雷诺应力（RSM）模型等。然而，每个模型都具有一些特定的优势与局限性，没有一个湍流模型适合所有的流动问题，使用合适的湍流模型是保证阀门内部湍流流动精确计算的重要前提。下面对本书主要用到的一些湍流模型进行描述。

1．标准k-ε模型

标准k-ε模型是一个半经验模型^[103]，在工程中被广泛应用。其中，湍动能k反映了特征速度，其方程由理论公式推导而来；湍动能耗散率ε反映特征长度，其方程由经验和类比等方法模化得到。

（1）湍流动能方程（k方程）

（2）耗散率方程（ε方程）

式中 μ_t——湍流黏度，计算表达式为：

G_k——平均速度梯度引起的湍动能产生项，计算表达式为：

C_1ε、C_2ε、C_3ε——系数，C_1ε=1.44，C_2ε=1.92，C_3ε=0.09，C_μ=0.09；

σ_k——与湍动能k对应的Prandtl数，σ_k=1；

σ_ε——与耗散率ε对应的Prandtl数，σ_ε=1.3；

S_k、S_ε——用户定义的源项，可根据不同情况定义；

G_b——由浮力引起的湍动能k的产生项；

Y_M——可压湍流中的脉动扩张项。

2．RNGk-ε模型

RNGk-ε模型为标准k-ε模型的改进模型^[104]，该模型的改进主要包含以下几个方面：①提供了一个考虑低雷诺数流动黏性的解析公式；②考虑到了湍流漩涡和旋转的影响，对湍流黏度进行了修正；③提供了湍流Prandtl数解析公式。因此，该模型在复杂剪切流动、旋转流动及分离流动等方面比标准k-ε模型具有更高的计算精度。

修正后的湍流黏度为：

式中 Ω——漩涡特征数；

a_s——不同流动状态下的漩涡常数。

3．Realizable k-ε模型

Realizable k-ε模型同样是在标准k-ε模型上面进行改进获得^[105]，其改进的内容主要为：①提供了湍流黏度计算系数C_μ的解析公式；②对湍流耗散率方程进行了修正。因此，该模型的特色是对平板和圆柱射流的扩散速率预测更精确，同时在旋转流动、流动分离和二次流等复杂流动方向的计算也较为出色。

修正后的湍流黏度系数表达式为：

修正后的湍流耗散率方程为：

式中，

4．剪切压力传输（SST）k-ω模型

SSTk-ω模型是一个在近壁面区域求解k-ω模型、在远离壁面区求解k-ε模型、中间通过一个混合函数进行过渡的湍流计算模型^[106]。为了结合k-ω模型和k-ε模型，模型统一写成k-ω形式，即：

式中 G_k——湍动能产生项，计算公式为：

μ_t——湍流黏度，计算公式为：

G_ω——耗散率产生项，计算公式为：

σ_k和σ_ω——湍流普朗特数，计算公式为：

F₁——混合函数，计算公式为：

β^*——方程系数，计算公式为：

式中的其他常数值见表2-1。

5．雷诺应力湍流模型（RSM）

雷诺应力模型是求解雷诺应力张量的各个分量的输运方程^[107，108]。该模型具有以下特点：①模型中选用精度更高的二次压力应变项格式作为压力应变项；②模型采用湍流各向异性假设，而不是湍流各向同性假设。这样可以使雷诺时均Navier-Stokes方程有封闭解，对于流线扭曲、漩涡、旋转以及应变率的骤变等方面的求解比单方程模型和双方程模型更严格，能更准确地预测复杂流动；③模型放弃了涡黏性假设，直接求解雷诺应力输运方程得到各应力的分量，并且考虑了雷诺应力的对流与扩散作用。动量方程中雷诺应力项的计算表达式为：

式中——湍流扩散项，计算公式为：

——分子扩散项，计算公式为：

P_ij——应力产生项，计算公式为：

G_ij——浮力产生项，计算公式为：

Φ_ij——压力应变项，计算公式为：

ε_ij——耗散项，计算公式为：

F_ij——系统旋转产生项，计算公式为：

S_u——自定义源项。

2.1.3 壁面函数

当流体靠近壁面区域时，在壁面附近会形成速度梯度十分明显的流动薄层，即边界层。在该薄层内，流体的流动将受到黏性的影响，存在黏性底层、过渡层、对数层等多种流动区域。目前研究人员主要采用了两种方法对该区域的流场进行计算：一种是通过对湍流模型进行修正，使其适用于近壁黏性影响区域，k-ω模型都是采用该方法计算；另一种是采用壁面函数，k-ε湍流模型一般都是采用该方法计算。

目前普遍采用的壁面函数方法由Launder和Spalding于1974年提出并发展而来^[109]。在该方法中，采用了两个无量纲参数u⁺和y⁺，分别表示近壁面流体速度及距离壁面的位置，即：

式中——流体时均速度；

u_τ——壁面摩擦速度，u_τ=（τ_w/ρ）^1/2；

τ_w——壁面切应力；

Δy——流体与壁面的实际距离。

当y⁺＜5时，流动处于黏性底层，此时流体速度与离开壁面的距离呈线性关系；50＜y⁺＜30时，流动处于过渡层，此时流体运动受湍流和黏性的共同作用；当60＜y⁺＜300时，流动处于对数律层，此时流体的速度分布服从对数分布规律。