第3章 数字式电能表关键技术

3.1 数字式电能表的关键要素分析

3.1.1 数字化量传体系中各影响量对整个计量体系准确性的影响

数字化计量系统基于IEC61850标准，从结构上可以分为电子式电流/电压互感器、合并单元、数字式电能表三个部分，规定各层之间和层内部采用高速通信。其系统结构如图3-1所示。

电流/电压互感器负责采集电力系统的一次电压和电流信息，并将其传送到过程层网络，以供计量、保护和测控设备使用；合并单元用于汇集一次侧的1、2路互感器采样信号，将采样值按照IEC61850-9协议打包，为二次侧保护设备提供同步数据；数字式电能表用于测量电压、电流、频率、功率、功率因数等电参量。

数字计量方式作为新型电能计量方式，是智能电网和智能变电站的发展需求。相比于传统计量方式，数字化计量系统基于IEC61850标准，在近高压侧实现了二次电流/电压的数字化再传送，原理和结构上的变化必然会引入新的误差因素。

数字化计量准确性的影响量主要包括数字通信误差、传输误码率、系统时钟误差、有限字长效应及高次谐波的失真等，本节主要介绍数字通信误差和系统时钟误差。

1.数字通信误差

在电子式互感器的系统中，电子式互感器完成了二次电流、电压的数字化，并通过IEC60044-8协议传送给合并单元，合并单元把三相的电流和电压值合并在一起，打包成一个IEC61850-9-1/2报文，然后传送给数字式电能表。在传统互感器的系统中，传统互感器输出的模拟二次电流、电压传送给合并单元，合并单元完成电流、电压的数字化和报文打包，最终也通过IEC61850-9-1/2协议传送给数字式电能表。可见，不管采用哪种形式的数字电能计量系统，合并单元和数字式电能表之间都通过IEC61580-9-1/2协议传送采样值。

在数字电能质量计量中，二次电流/电压值在前端完成采样并通过专门的通信协议传输至电能表，这是数字电能质量计量的主要特征之一。当采样值传输过程发生异常时，将对电能质量计量结果产生影响。IEC61850-9-1/2定义了两种特殊通信服务映射（SCSM），将ACSI采样值传输模型映射到具体的通信网络及协议。就网络传输而言，IEC61850-9-1和IEC61850-9-2的数据帧传输方式基本相同，为保证数据传输的实时、快速的性能要求，省略一般网络通信所采用的TCP/IP协议栈，直接由应用层（表示层）映射到数据链路层。IEC61850-9-1和IEC61850-9-2的通信栈对比如图3-2所示。

TCP/IP协议是保证大量数据可靠传输的首选协议。IEC61850-9-1/2的通信协议栈省略了TCP/IP层，避免了TCP/IP协议造成的延时，节省了硬件资源且不需要对网络底层设备的网络驱动进行较大开发，有利于降低成本和程序复杂度，但是保证不了数据帧传输的可靠性。IEC61850-9-1/2的通信协议栈没有捕捉通信异常的机制，检测不到数据帧的乱序、少传、多传、重传、丢失，更没法进行流量控制。如果采样值采取组网的模式传输，特别是在与GOOSE报文组网的情况下，IEC61850-9-1/2报文更有可能丢失。

在采样值传输协议中，为了保证采样值传输的实时性，减少时延，协议栈中省略了会话层、传输层和网络层，这就使得以往TCP/IP中的重传机制不再有效。而IEC61850中也没有另外定义采样值传输的重传机制。所以在采样值报文发生丢失或者校验失败时，合并单元就不会重新发送该采样值，一组采样值就会丢失。

另外，在通信网络中还可能出现报文抖动、报文阻塞、网络风暴等异常情况。当这些异常情况超出了电能表网络适配器的处理能力时，也会产生采样值数据帧的丢失。

如果采样值采用点对点的方式从合并单元传输到数字式电能表，正常情况下采样值丢失的可能性很小。但是在组网的情况下，多组采样值报文以及和GOOSE、MMS共用一个网络时，某些情况下可能造成采样值报文丢失。

数字式电能表可以通过检查IEC61850-9-2报文中采样值计数器smpCnt值是否连续来判断采样值报文是否丢失。

另外，通信网络异常还可能导致报文序列异常。报文序列异常情况包括超时、丢帧、错序、重复等。采样值报文如果超过发送的时间间隔，则采样值报文发送异常，此时需要将超过发送时间间隔的采样值报文进行记录。采样值报文丢帧时，釆样值报文的帧序号不连续，通过检查采样值报文的帧序号可以进行采样值报文的丢帧检查。采样值报文错序是指装置接收的采样值报文不是依顺序依次到达，某些釆样值报文先到，此时也是通过检查采样值报文的序号进行釆样值报文错序检査。

数字电能计量采用了基于IEC61850协议的通信技术，其中的IEC61850-9-1/2的通信协议栈省略了OSI模型中的会话层、传输层和网络层。这样导致在组网运行的条件下可能造成采样值报文的丢帧问题。本部分对几种常见的丢帧处理算法进行了仿真分析，包括对丢失点填零、用上一个点代替丢失点和对丢失点进行插值三种方法。仿真结果表明，前两种方法引入的误差较大，最后一种方法引入的误差较小。在采用较复杂算法时，误差可以忽略不计。其中，从性能和复杂度综合考虑，拉格朗日三次内插算法是推荐算法。

在采样值丢帧发生时，电能表会采用各种方法进行处理。由于得不到原始真值，各种处理方法都会带来计量值的误差。由于无功功率的计算方法很多，而且无功功率的准确度等级要求一般较低，这里只分析对电流、电压有效值以及有功功率的影响。为了便于分析，假设电流、电压有效值以及有功功率都采用以下的公式计算，平均的时间长度为一个周期，每个周期采样点数为80。同时，将研究一个周期内丢一个点以及连续丢多个点的情况。

式中，I、U、P为电流有效值、电压有效值和有功功率；i（k）、u（k）为电流、电压的采样值；N为一个周期的采样点数，这里取80。

（1）对丢失点填零 一种最简单的丢帧处理办法就是对丢失的点用零代替。该方法的好处是不增加任何的计算处理开销，坏处是必然带来计量值的误差。仿真结果表明，它带来的计量误差的大小与丢失点对应的电流、电压相位有关，同时与功率因数（Power Factor，PF）有关。由图3-3可以看出误差大小与丢失点对应相位以及功率因数的关系。表3-1列出了这种处理方法的误差的仿真计算结果的一些典型值。可以看出，对丢失点直接填零的方法带来的误差很大。

（2）用上一个点代替丢失点 另一种丢帧处理的简单方法是用上一个有效的采样值来替代丢失的采样值。该方法的好处也是不增加任何计算处理开销。由于上一个有效的采样值与真实值总会存在差异，所以它也会引入计量误差。表3-2列出了这种处理方法的误差的仿真计算结果的一些典型值。可见，这种方法带来的误差相比对丢失点填零的方法有很大改善，但误差值仍然较大。

（3）对丢失点进行插值 相对复杂的采样值丢帧处理方法是对丢失点进行插值，用数值分析的方法恢复出丢失点。这里讨论两种常用的插值方法：拉格朗日插值和三次样条插值。

拉格朗日插值法是以法国18世纪数学家约瑟夫·拉格朗日命名的一种多项式插值方法。其理论定义如下：

对于给定的n+1个点（x₀，y₀），（x₁，y₁），…，（x_n，y_n），对应于它们的次数不超过n的拉格朗日多项式L只有一个。如果计入次数更高的多项式，则有无穷个，因为所有与L相差λ（x-x₀）（x-x₁）…（x-x_n）的多项式都满足条件。

对某个多项式函数，已知有给定的k+1个取值点：（x₀，y₀），（x₁，y₁），…，（x_n，y_n），其中，x_j对应着自变量的位置，而y_j对应着函数在这个位置的取值。

假设任意两个不同的x_j都互不相同，那么应用拉格朗日插值公式所得到的拉格朗日插值多项式为

其中每个l_j（x）为拉格朗日基本多项式（或称插值基函数），其表达式为

拉格朗日基本多项式l_j（x）的特点是在x_j上取值为1，在其他的点x_i（i≠j）上取值为0。

拉格朗日插值是构造一个插值多项式，保证已知的点都在满足此多项式，然后用该多项式去计算未知的点。根据插值多项式的次数，拉格朗日插值又分为一次（又称为线性插值）、二次、三次拉格朗日插值等。拉格朗日插值又可以分为内插和前插。内插是指用丢失点的前后点去计算插值多项式，前插是指用丢失点之前的点去计算插值多项式系数。在使用拉格朗日内插算法的时候，要求对采样值整体进行延时，在出现丢帧后等到下一个有效采样点到达后再进行插值运算。

三次样条插值在每两个节点之间构造一个三次多项式，整个区间上的函数是二阶可导的。三次样条插值只能进行内插。一般认为，拉格朗日插值的阶次越高，插值光滑性越好，计算也越复杂。三次样条插值有很好的光滑性，但计算开销也最大。

图3-4是几种插值算法的结果对比图（拉格朗日插值均为内插）。图中以理想正弦波作为被采样信号，假设第22个采样点丢失，用各种插值算法恢复出丢失的采样点。可见，除了拉格朗日一次插值与理想采样点有明显差别以外，其他算法的插值点与理想采样点非常接近。

表3-3列出了在各种插值算法下计量值的误差情况。可以看出，拉格朗日插值算法的内插比前插误差小。在使用拉格朗日插值三次内插和三次样条插值时，误差能降低到一个很低的可以忽略的水平。如果不考虑连续4个点丢失的情况，拉格朗日一次内插也能达到很低的误差水平。

上述三种常见的采样值丢帧处理方法中，对丢失点填零和用上一个点代替丢失点的方法最为简单，但带来的误差也较大，已经超出了一般安装式电能表0.02S的准确度等级（允许误差0.2%）。对丢失点进行插值的处理方法计算量较大，但带来的误差很小。在采用较复杂的计算方法时，带来的误差可以降低到可以忽略的水平。拉格朗日三次内插法较三次样条插值计算量小，而且可以将误差降低到很小，是一个相对合理的选择。经过调研知，已经有厂家采用了拉格朗日四次插值算法来处理采样值丢帧。所以，目前的硬件能力是能支持拉格朗日四次插值算法的。

值得一提的是，上述仿真的结果都是基于一个周期内计算结果来计算误差，在实际的电能表试验中可以取多个周期来计算，这样误差可以进一步减小。同时，电能表检测是使用电能脉冲来检测电能误差的。电能脉冲是一段时间电能累计的结果，所以即使个别采样值丢帧带来了误差，但这个误差也会被平均化掉，能检测到的误差会很小。但上报的瞬时功率值和电流、电压有效值能体现出不同处理方法的差异。

2.系统时钟误差

电能计量的关键参数之一是时间。在智能变电站系统中，数字互感器、合并单元、数字式电能表中时间需要保持一致。电能表的内置晶振和电能计量系统中的对时系统都是影响系统时钟准确性的重要因素。

晶振是一种利用压电效应制成的谐振器件。在极窄的范围内，晶振可以等效为电感，同外部的电容一起组成并联或串联谐振回路，作为计时回路的基准。理想情况下，系统基准时间与标准时间的关系是一条斜率为1的直线。在精度范围内可能有微小的均匀分布随机误差，若由于晶振老化、损坏等问题，使系统标准时间曲线产生偏离，则将对系统同步精度和稳定性产生较大影响，产生误差源。

设电网额定频率为f₀，系统时钟偏差频率波动为Δf₀。周期信号f（x）的平均值由下式计算：

在同步采样情况下，积分计算的时间是信号周期的整数倍，计算结果没有误差。而非同步采样情况下，积分计算的时间不是信号周期的整数倍，则

Δ为积分时间偏差，。

设电压为，电流为，则由非同步采样引起的有功功率相对误差为

可见，相对误差会随初始相位x₀做周期为π的余弦变化，如图3-5所示。

由于Δ很小，经推导，得ε_r随初始相位变化的最大值为

可见，最大相对误差与频率偏差成正比，与功率因数成反比。图3-6所示为频率波动与相对误差的关系。

类似地，可推出电流与电压有效值相对误差和随初始相位变化的最大值分别为

可见，频率偏差越大，最大相对误差也就越大。

当系统时钟晶振的准确程度不等于电能基频的整数倍时，还可能造成采样的非整周期截断，从而引起FFT频谱泄漏误差。

对于一个周期为T₀的信号，在[0，T]内等间距采样，设采样时间为

式中，f₀为信号基频，m为整周期数。若|n|→∞则为整周期采样，f（t）的n倍频分量对应第n×m条谱线（n为正整数），不存在泄漏误差；若n为有限值时则为非整周期采样，存在泄漏误差，此时第m条谱线f_m与f（t）的基频分量f₀最接近。

给定波形信号：

式中，f₀=50Hz为电网基频信号。

根据采样定理，设置采样信号的频率8倍于基频，即每秒采样400个数据。国标波动等级规定如下：

频率等级A级≤±0.05Hz、B级≤±0.5Hz、C级≤±1Hz，分别测试电网信号在50.05Hz、50.50Hz和51.00Hz下，分别采样2个信号周期，与50.00Hz标准基频比较，评估由于量化误差引起的测试误差。图3-7所示为某时间段信号的时域波形。

图3-8～图3-11所示分别为各频率信号的FFT变换结果。

可见，频率波动产生泄漏误差，分别讨论电网基频波动对检测基频和检测基频幅值的影响，规律如图3-12和图3-13所示。

可见，在非整周期采样情况下，泄漏误差的影响是随电网频率波动周期性变化的。

3.电能表的误差补偿

当电能表由电流互感器、电压互感器或者A-D采样引入一个相位误差ξ时，此时计算电能值变成

电能表误差用δ表示，则

式中，ϕ为电压、电流相位；ξ为附加相位差。

一般情况下，既有相位误差又有幅值误差，这时

相对误差：

式中，U′和I′分别表示实际电压、电流幅值；U和I分别表示理论点电压、电流幅值。

此处令，则有

任何一只电子式电能表经PT、CT变换，再经A-D的前置运算放大，A-D采样所得到的电压、电流之间都存在一个相位误差ξ和一个UI乘积的幅值误差r。对误差进行补偿有硬件补偿和软件补偿两种方式，硬件补偿方式主要是在电能计量模块的输入端对被测电压取样的分压器设有可以调整的电阻，用于在出厂前调整电能表的准确度和线性。这些电阻在出厂时一经调好，用户在校验时就不用打开内部电路进行调整。

软件补偿方式就是找到一个ξ、r的函数f（ξ，r），使得按式（3-16）算出的电能值乘以f（ξ，r）近似等于真实的电能值，即W≈W′·f（ξ，r），流程示意图如图3-14所示。

比较软件补偿和硬件补偿，可以知道软件补偿有以下几个好处：

1）软件补偿法减少了补偿电路，对PT、CT和运算放大器一致性要求降低。

2）软件可以多点补偿，能使补偿后的误差曲线趋向平直。

3）由于补偿软件可以用计算机自动调整，把烦琐的调表工作变成计算机控制自动进行，提高了精度，节约了校表时间。

3.1.2 数字化量传体系在时域上的变化对整个计量体系的影响

在数字化量传体系中，数据会从连续的时间域变换到离散的时间域。这一过程需要通过采样、量化、截断等方式，将原输入模拟信号转换为时间离散、数值离散的有限长数字信号来实现。在实际的数字化量传体系中，由于存在着无法精准的整周期采样、设备存储器位数有限、数据需要进行截断处理等原因会产生相应的误差。本节研究了从连续的时间域变换到离散的时间域所产生的误差，主要从以下三个方面着手进行讨论：

1）离散化过程中产生的截断误差的形成机理以及估计方法。

2）量化误差形成机理分析及估计。

3）非整周期采样过程信号产生的频谱泄漏与栅栏效应的解决方法。

1.截断误差

（1）截断误差的定义 香农采样定理表明，如果一个信号f（t）在频率范围[-σ，σ]内带限，即F（ω）=0（|ω|≥σ），那么该信号可以被采样频率为2σ的一系列的采样数据进行重构。重构所用的内插公式为

其中

然而实际应用中只能使用某一时间段内的采样序列进行内插重构。若使用时间段t∈[-N/2σ，N/2σ]中的2N+1个数据进行重构，则此时的内插公式为

则可以定义截断误差为

上式中的截断误差也可以写成曲线积分的形式：

其中曲线C包含z=t_-N，t_-N+1，…，t_N的所有采样点。

（2）截断误差的点态估计 截断误差的大小与输入信号有关。考虑到电力系统中的电压、电流信号近似为正弦信号，我们假设输入信号为f（t）=Msin（2πft），则截断误差可以表示为

曲线C分为四个部分，如图3-15所示。

曲线C上的积分只需考虑C₁以及C₂两部分的积分和。记f=rσ，则

设原函数为50Hz标准正弦波。对该信号进行每周期16个点的采样，即采样频率设为800Hz。利用香农采样重构公式选取L=2N+1个点进行信号重构，重构公式如下：

当L=17时，即利用17个点（整采样一个周期）进行重构。故在采样时间范围内将恢复的波形与原波形作差值，即得到截断误差的实际值。与此同时，利用式（3-25）中的估计公式，可以得出截断误差的估计值。将两者进行比较，结果如图3-16所示。同理，当L=21时，将截断误差的估计值与实际值进行比较，结果如图3-17所示。

比较图3-16与图3-17可以发现，截断误差的实际值在采样点处的大小为0，而在两个采样点之间的截断误差值则先增大后减小，在两个采样点中间处达到最大值。在整个采样时间内，在采样边缘处的误差大于中间位置的误差。

随着L的增加，中点部分数据的截断误差值的趋势是振荡衰减的。同时，在整周期采样条件下（L=17，33，…），中点部分数据的截断误差值等于其区间最小值。而在非整周期采样下的中点部分数据的截断误差值要大于其区间最小值，非整周期采样条件越糟糕，其偏离度越大。截断误差在区间两端点处的值是其区间最大值，且并不随L的变化而明显变化，同时两端的误差要明显高于中点位置的误差。

（3）截断误差的一致估计 由于截断误差两端的误差要明显高于中间位置的误差。所以在实际应用中，实际都是采用中间位置的值使用，所以现在采用中间段的值进行一致估计。由式（3-24），在中间位置时N₁=N₂=L/2，此时式（3-24）变为

在式（3-26）中，，这是由于我们所要处理的信号是不具有衰减性的正弦信号，所以一致估计的收敛性相对于其他信号来说，其收敛性比较差。

（4）截断误差的积分估计 观察式（3-21）可以发现，构成一组标准的正交基。所以根据帕斯瓦尔定理，可以得到

令，这样可以反映截断误差的某种平均性。同样根据帕斯瓦尔定理，可以进一步写为

利用帕斯瓦尔定理可得到

2.量化误差

在数字化量传体系中，不论是用硬件还是软件来处理数字信号，都只能采用有限位数来表示信号、系统参数、运算中间量和运算结果等。这样就使得实际值与理想值之间存在误差，这种由于有限字长而产生的误差叫作量化误差。

（1）二进制数码表示 模拟量采样量化为数字量时，以二进制编码的形式存储在寄存器当中。常用的表示方法有定点制和浮点制两种，编码有原码、补码、反码三种。在对数据进行截尾或舍入的量化处理时，储存数据的类型会对量化造成影响。

假设一个二进制数的字长为b+1位，最高位为符号位，它最小可以表示的数为2^-b，也称为其量化阶，记为q。表3-4给出了b+1位的定点数的误差范围。

浮点数的量化只在尾数上进行，由于浮点数还有阶码，通常用相对误差衡量产生的量化误差。表3-5给出了浮点数的误差范围。

由表3-4和表3-5可知，量化误差的范围与其量化阶q有关，量化阶越小误差的范围越小，可以通过增加字长的方式来减小量化阶，从而减小量化误差。

下面考虑在整个系统中的状况，数字系统有限字长效应引起的量化误差主要表现在下面三个方面：A-D转换中的量化效应、系数的量化效应、运算的有限字长效应。

（2）A-D转换的量化误差 在输入信号较复杂的情况下，可以利用统计模型分析A-D转换器的量化误差。这个模型把A-D转换器看作一个具有加性内部噪声e（n）的线性系统，可以用下式表示：

一般作如下的假设：e（n）是一个白噪声过程，与x（n）无关；e（n）是平稳随机过程的一个实现；误差均匀分布。

通常输入足够复杂，有限量化位数不低于8位，量化间隔足够小时可以做上述简化。由于原码和反码的截尾误差与信号的极性相反，故不满足上述条件。图3-18给出了舍入和补码截尾量化误差的概率密度。

在舍入情况下，量化误差的均值与方差为

补码的截尾误差的均值和方差为

信噪比用分贝表示有

由式（3-35）可知，字长每增加1位，SNR约增加6dB。我们可以粗略地得出一个结论，字长越长，量化噪声越小。我们在输入信号时，常对信号进行缩放，使得信号在A-D转换的量化范围内。设缩放因子为A，A＞0。缩放后输入信号Ax[n]的方差为，代入式（3-35）有

A＞1可以提高信噪比，但也增加了输入信号超过量化范围的可能。A＜1可以压缩信号的幅度，使得信号不超过量化范围，但相应地也降低了信噪比。

在A-D转换的量化过程中，可以通过增加字长来减小量化误差，但实际上字长并不是可以无限增加的，在智能变电站IEC61850协议中对数据进行了16bit的规约化。相较于截尾误差的单极性分布，舍入误差是对称分布的，误差拥有更小的均值，影响较小，因而应用较多。在对输入信号进行缩放时，会改变信噪比，因此可以在不超过量化范围的基础上追求更好的信噪比。

（3）系数的量化误差 在数字滤波器中，通过软件或者硬件实现的数字滤波器实际传递函数与理想值H（z）并不相同。因此系数的量化误差直接导致了极点和零点的偏移，这就使得实际的频率响应和理想频率响应H（e^jω）并不符合，严重时有可能发生极点移动到单位圆外导致滤波器不稳定的情况。

系数量化效应对数字滤波器的影响常用极零点相对原始位置的偏移来衡量。我们可以通过如下推导，得到极零点的偏移量。

假设B（z）是一个具有单根的N次多项式：，其中b_N=1，B（z）的根为。

Δθ_k和Δr_k分别表示由于系数量化效应，第k个根在模和角度上的变化。

经过运算可得

其中

灵敏度向量和与ΔB无关，只依赖于B（z）。因此只要计算出这个向量，对任一组ΔB，极零点的偏移值都可以用式（3-37）和式（3-38）快速算出。ΔB中的元素是直接型实现中的乘法器的系数变化。

系数的量化误差可能会造成零极点的偏移，零极点的偏移量不仅与具体系数的量化误差有关，还与理想的传递函数有关。在用滤波器实现具体的传输函数时，直接型受量化误差的影响比级联型大。实际上一般来说，一个较高阶的传递函数不用单个直接型结构实现，通常采用一二阶系统的级联实现，以降低系数量化误差的影响。

（4）运算中的量化效应 在数字信号处理的过程中，可能出现尾数超过寄存器长度的情况，这时就要对尾数进行处理，会产生运算量化误差。

由于采样起点是随机的，我们可以把这种运算量化误差同样当作是随机的，需要进行统计分析。为了简化分析，做如下假设：噪声源是和信号源不相关的、服从均匀分布的白噪声，且网络中各个噪声源之间互不相关。

下面以的实际传递函数为例考虑通过直接型、级联型和并联型实现时运算量化误差的影响，具体见表3-6。

同一传递函数通过不同方式实现时，输出噪声也是不同的。对比本例的几种情况可知，直接型误差最大，级联型次之，并联型最小。通过统计模型可以看出，直接型中有两个噪声源通过整个系统，两个反馈回路嵌套在一起使得噪声积累严重，在越高阶的系统中这种积累更加严重；级联型结构只有一个噪声源会通过整个系统，积累作用较小；并联型实现中噪声通过两个一阶系统分别输出，没有噪声通过整个系统，噪声最小。

运算过程中乘法的量化误差不仅与量化的位数有关，还与传递函数以及传递函数的实现形式有关。在高阶系统中为了减小运算中的量化误差，不应使用直接型实现，而应该尽量通过并联和级联的方式来实现系统的传递函数。

3.非同步采样误差

在数字计量体系结构中，数字式电能表都是接收来自合并单元的采样值，采样值的时钟信号都是来自对MU接收的标准时钟信号的倍频。也就是说，ADC的采样频率是固定的，按照相关标准被设定为工频的固定倍数。按照IEC61850-9-2规定，采样率为4000S/s或者12800S/s（对应一个基波周期80个和256个采样点）。这样，在电网频率发生波动时，采样频率不会随着波动，就会使一个基波周期对应非整数个采样点，即产生非同步采样问题。由于采样率固定无法改变，非同步采样的误差只能通过电能表内部的算法来补偿。

（1）非同步采样误差分析 在数字式电能表中，对电能的计算是一个累积过程，因而非同步采样对其影响不大。而电流/电压有效值、有功无功功率是周期信号的平均值，会受到非同步采样的影响。

对于周期性连续信号，平均值为

式中，f（x）是周期为2π的周期信号；是信号的平均值。

在对离散采样值进行计算时，是用离散数值积分代替连续积分的。同步采样时，采样频率是被采样信号频率的整数倍，因此积分时间也为信号周期的整数倍。当发生非同步采样时，积分时间发生微小改变，不再是信号周期的整数倍，此时实际计算公式为

式中，Δ是由于非同步采样引起的积分时间偏差。在数字电能质量具体测量中，设电网额定频率为f₀，采样频率为N·f₀，计算时对N个采样值求平均，则积分周期为1/f₀，对应式（3-40）中的2π。电网频率波动为Δf，则实际的信号周期为1/（f₀+Δf），对应式（3-40）中的2π+Δ。则Δ、f₀、Δf有以下关系

设电压为，电流为，则实际计算误差为

计算可得

由以上推导可知，积分计算的初始相位x₀会引起相对误差呈余弦函数变化，变化周期为π。由于x₀取值随机，因此可得ε_r随初始相位变化的最大值，同时考虑到Δ很小，可得

可见，最大相对误差大致与频率偏差成正比，与功率因数成反比。

类似地，可推出非同步采样引起的电流/电压有效值的相对误差为

随初始相位变化的最大值为

（2）非同步采样异常处理 为抑制非同步采样引起的误差，人们提出了多种算法，其中最常用的是准同步算法。准同步算法的基本思路是通过迭代运算，逼近周期信号的平均值。其运用的迭代公式为

式中，f（x_i）是原始的采样值；N是额定频率下一个周期对应的采样值的个数；ρ_i是跟数字积分相关的权重系数；F^k是迭代计算的结果。可以证明，在频率偏差很小的情况下，有

在设定一个周期内的采样点数为80，信号标准频率为50Hz，信号频率发生变化的情况下，不使用补偿方法和采用准同步采样方法产生的最大相对测量误差见表3-7。可见，随着频率偏差的增大，计算误差也越来越大，相对于不采用补偿方法，采用准同步采样算法可显著降低误差。

准同步算法对于一般的频率偏差（±1%）具有相当好的补偿效果。对于频率偏差较大的场合，可以考虑对准同步算法进行一下优化。

对以上算法进行优化，可考虑实现同步算法的参数随信号的情况实时变化，以达到更高的误差补偿效果。

3.1.3 数字化量传体系中的算法

1.频率测量算法

频率测量算法主要分为时域分析算法和频域分析算法。

时域分析算法有过零点检测法、函数逼近法等。过零点检测法是通过波形相继过零点来计算信号的频率。这种方法计算过程简单明了，运算速度快，但是存在的缺点是抗噪、抗干扰能力不强。函数逼近法的核心在于对物理系统分析，提取系统的模型，建立方程组，联合多个方程组计算未知数，运算量较大但精度比较高。

频域分析算法包含傅里叶变换法（DFT/FFT）、小波变换法、谱估计法等。傅里叶变换的实质是利用傅里叶变换将信号从时域变换到频域进行分析，是目前使用最广泛的一种算法。小波变换可以同时定位时域和频域，通过小波变换可以确定信号在任一时间区的频率特征。谱估计法是对于一个有限长平稳序列，估计其在整个频率域内的功率分布。

（1）基于函数逼近的频率算法 令基波的理想频率为f₀=50Hz，实际频率应为：f=f₀+Δf，则输入信号可以表示为

式中，U_m为输入电压最大值；α₀为输入电压初始相位。

由于频率波动一般不大，所以我们用理想角频率来近似实际角频率，则近似的傅里叶变换为

进一步展开，可以分别计算得正弦项和余弦项：

同理，第二个周期也可采用近似傅里叶变换：

联立上述方程可以得到频率测量的基本公式：

由于式（3-55）并不需要计算相邻2个周期的相位以得到准确的相位差值，故无须根据频率偏差值对算法进行迭代修正，即可求得系统的真实频率f，显然优于根据相角变化值求频率的方法。

（2）基于DFT校正的频率测量算法 在不考虑谐波分量的情况下，以单频信号为例：

设f₁在两根相邻FFT谱线之间，设f₁距第k根谱线的频率kΔf最近，即

其中，Δf=f_s/N为频率分辨率，f_s为采样频率，N为x（n）的长度，λ₁为信号基波频率校正量。取时间窗T_w=mT_e，其中m为正整数；T_e为工频周期（0.02s），此时DFT分析的频率分辨率Δf=1/mT_e=f_e/m。若在T_w内采样点数为N，则采样周期T_s=mT_e/N。以这一采样周期对信号采样N+1点，取前N点构成时域序列x₁（n），取后N点构成时域序列x₂（n）。序列x₂（n）比x₁（n）滞后1点，即在时域上滞后Δt=lT_s。若用DFT对序列x₁（n）和x₂（n）做谱分析，得到离散谱分别为X₁（k）和X₂（k），那么，序列x₂（n）对应的连续时间信号的初相角ϕ₂与序列x₁（n）对应的连续时间信号的初相角ϕ₁分别与X₂（k）和X₁（k）有以下关系：

则相位差为

进而可以得到校正量

其中，，f₁=（k+λ₁）Δf。即可求得电气基波信号的频率f₁。

算法的性能与时间窗T_w的长度密切相关。时间窗短，反应速度快，计算量小，但频率分辨率Δf大，不同频率间信号干扰大，计算精度相对较低；时间窗长，虽然精度比较高，但也导致了计算实时性较差。T_w应根据工程实际适当选择，并配合与之相适应的窗函数。

用MATLAB对以上算法进行验证，令

设T_w=T，即时间窗为一个工频周期，由采样定理，令采样频率f_s为500Hz，当信号频率ω从49～51变化时，测得的频率误差曲线如图3-19所示，可以看出，所测真实频率值存在一定误差，在频率为50Hz时误差为0，而其他频率点由于采样不同步造成了频谱泄漏，随着频率与工频的偏差增加，该误差越大。

加窗是改善DFT分析的一种重要手段，选择合适的窗能够有效抑制频谱泄漏，提高精度。使用Hanning（汉宁）窗以及Blackman窗进行加窗之后，频率测量误差如图3-20所示。

由图3-20可知，加Hanning窗之后误差减小到了0.03%以下，Blackman窗进一步提升测量精度，达到了10^-6数量级，与图3-19相比，说明加窗函数有效抑制了旁瓣干扰，有效降低了测量误差。

2.谐波测量算法

电力谐波的检测是分离畸变电压、电流信号中不同频率成分的过程。随着电子技术和数字信号处理技术的发展，产生了频域、时域、时频分析等多种谐波检测方法，根据测量原理的不同，主要有以下几类：①基于模拟滤波器的谐波检测方法；②基于瞬时无功功率理论的谐波检测方法；③基于小波变换的谐波检测方法；④基于神经网络的谐波检测方法；⑤基于支持向量机的谐波检测方法；⑥基于现代谱估计的谐波检测方法；⑦基于傅里叶变换的谐波检测方法。

上述方法各有优缺点，电力谐波检测的影响因素复杂，而小波变换、神经网络、支持向量机、现代谱分析等方法目前无法在嵌入式系统中大规模实现，均不能满足实时电力谐波检测的要求。因此，基于傅里叶变换的谐波分析方法仍然是电力谐波实时、准确检测的有效实现途径。

然而基于傅里叶变换的谐波测量方法在非整周采样时，受频谱泄漏和栅栏效应的影响，将引入非整周期采样误差。此时输入信号所有频率分量均不落在FFT计算点上，且各频率分量测量结果为被测频率分量与其他频率分量旁瓣之和。若不计谐波的影响，输入信号为单频正弦信号时，设输入信号的数字角频率为ω₀，使用数字角频率为ω的FFT计算点X（K）近似计算原信号幅值，则相对误差E为

在上式模值中第一项来自于输入信号正频率分量，其引入的误差来自栅栏效应；第二项来自输入信号负频率分量旁瓣。当整周期采样时第一项为1，第二项为0，E为0，没有误差。当ω偏离ω₀较小时，误差受旁瓣影响比较明显；当ω偏离ω₀较大时，误差主要由栅栏效应引起。

电力系统中的非整周期采样主要是由电网频率在50Hz左右微弱波动引起的。通常计量仪器中的FFT算法默认电网信号基频为工频并以此设置相关参数。当电网频率偏移工频时，使用常规FFT算法将出现非整周期采样误差。设电压信号为正弦信号，且初相位为0。设采样点数为32点，采样频率为1600Hz，则当频率在49Hz到51Hz偏移时，其相对误差如图3-21所示。图3-21中，图a为栅栏效应引入的相对误差；图b为归一化后的旁瓣幅值；图c中的曲线为根据式（3-63）计算所得的理论误差曲线，所描的点为在不同频率时使用FFT算法计算的实际误差。通过图3-21可以看出：

a）使用FFT算法的实际误差与理论误差曲线重合，由此可证明式（3-63）的正确性。

b）由于电网频率偏移较少，最终的误差主要由频谱泄漏造成的旁瓣谱间干扰引入。

c）由于电网频率偏移较少，故非整周期采样误差对于基波测量的影响较小。但当存在谐波信号时，因为谐波信号本身幅值相对基波较小，故受基波旁瓣影响较大；且当电网频率偏移fHz时，K次谐波频率偏移KfHz，故受栅栏效应影响较大。因此高次谐波的测量受非整周期采样误差的影响较大。

加窗插值算法是常用的非整周期采样误差消除方法。该算法通过加窗来抑制由旁瓣造成的谱间干扰；通过插值算法来计算被测信号在FFT计算点X（K）、X（K+1）之间的频率分量，从而解决栅栏效应。余弦窗是常用的窗函数，其表达式如下式所示：

其中，k为项数，当k=1时，即为矩形窗；当k=2，a_i=0.5时，为Han-ning窗；当k=3，a₀=0.42，a₁=0.5，a₂=0.08时，为Blackman窗。通常余弦窗项数越多旁瓣抑制能力越强，主瓣越宽。

假设输入信号的某个频率分量的频谱在FFT计算点X（L）、X（L+1）之间。设f=（L+r）F，其中F是FFT算法频率间隔，L为正整数，0≤r＜1。通过计算窗函数的频率响应表达式可以得到如下方程：

其中，|X（L）|、|X（L+1）|可以通过DFT计算得到，f₁（r）、f₂（r）为关于r的函数。故可以先解出r，再将r代入式（3-65）解出|A|，从而得到该频率分量的频率与幅值。为了增强窗函数的旁瓣抑制能力从而提高计算精度，人们有时运用高项数的余弦窗。此时式（3-66）是高阶方程，难以获得解析解。故文献中多通过多项式拟合的方法进行数值计算。

通常插值算法所用余弦窗项数越多则精度越高。然而项数增加的同时，采样周期数也将增加，致使计算量增大，并影响实时性。此外对于整个计量系统，算法的精度应与电子式互感器等其他环节的精度相匹配，无限提高算法精度并没有太大的实际工程意义。

现使用MATLAB对比不同加窗插值算法的精度。设输入信号频率为50.5Hz，其各次谐波幅值、相位见表3-8。采样频率为1600Hz，采样点数为256点，使用普通FFT算法及各种插值算法计算输入信号幅值、相位。计算结果的相对误差见表3-9和表3-10，可见加窗插值算法可以有效抑制非整周采样误差，且窗项数越高，抑制效果越好。基于五项余弦窗的插值算法有较高精度，其计算相对误差在10^-8左右。

幅值及相位相对误差图如图3-22所示。

3.有功功率测量算法

有功功率（功率）P是衡量用户、企业对于电能量消耗的一个重要指标。有功功率是保持用电设备正常运行所需要的电功率，即将电能转换为其他形式能量的电功率。有功功率的测量可以从时域角度来计算，也可以从频域角度来计算：

多数谐波电能表均是采用Budeanu功率定义，其测量算法一般分为三类：

第一类是基于频域分析。先计算电压和电流中基波及各次倍频谐波的幅值和相位，然后计算出各频率分量单独产生的有功功率、无功功率，最后利用叠加定理得到负载总的有功功率、无功功率。

第二类是基于时域积分算法。有功功率通过对电压与电流的瞬时值乘积序列在整周期内求积分获得。

对于某复合电压信号：

其经过用户负载后的响应电流I_x（t）以间隔的采样频率离散采样所得数据为：u_x（t）i_x（t），由有功功率定义有：

根据式（3-69）可以看出，从任意的某一时刻开始，对于采样到的一个基波周期T内的N个离散点值数据进行计算可以得到有功功率。但如果由于基频变化导致离散采样不能够准确捕捉到完整周期的信号（即一周期内采样的首尾点能重合）时，这种非整数周期采样将导致有功功率计量误差。

第三类是利用小波变换的时域-频域分析技术测量功率。由于小波变换可以作为时域-频域分析的一种技术，通过小波变换后的信号具有时域和频域信息，且对时域分析具有高效、准确的优点，所以小波变换被用于电网有功功率和无功功率的测量。

4.无功功率测量算法

（1）Budeanu无功功率的定义 无功功率的定义方法很多，一般采用的是Budeanu的定义法。Budeanu无功功率定义被IEEE 1459-2000标准采用，其无功功率定义为

式中，u（t-T/4）表示u（t）各次谐波电压分别平移1/4周期后的电压；U_k、I_k为第k次谐波电压、电流；ϕ_k为第k次谐波电压、电流的相位差。

（2）常见的几种离散化无功功率测量算法

1）移相算法。根据移相法的实现方法不同，可以分为电子移相法（模拟移相法）和数字移相法，常用的是数字移相法。

①电子移相法。电子移相法有-90°和±45°两种移相法，所谓的-90°移相法是将输入电压通过移相器后再与输入电流同时进行采样，然后进行数字乘法得到：

式中，为移相后的采样值，该方法在理想移相器下具有与有功功率和视在功率相同的精度，要提高测量精度，关键在于提高移相器的准确性和稳定性。

为避免移相器的不稳定性带来的误差，采用±45°移相法，其本质是使输入电压进行-45°移相，输入电流进行+45°移相后，再对电压、电流采样，无功功率为

式中，为输入电压经过-45°移相后的等间隔采样值；为输入电流经过+45°移相后的等间隔采样值。

②数字移相法。是将电流的第k次采样值与滞后90°电压的采样值相乘：

该方法要求一个周期内的采样点N的取值必须是4的整数倍，对硬件的要求高，当电路中谐波成分较大时，对测量结果的精度难以保证。

2）均方根算法。该算法考虑了谐波分量，延续了功率三角法计算无功功率的概念，电压有效值、电流有效值、有功功率、无功功率、视在功率的计算公式分别如下：

对于均方根算法，似乎只要知道了U、I以及功率因子，就会较容易地求出无功功率，然而在实际的应用中却不是这样。由于在测量中要想准确地获得这些参数较难，主要是因为电压和电流存在谐波成分，而且测量电路本身也是用数字逼近法，会给测量结果造成较大的误差。

①傅里叶算法。先对电压、电流信号分别进行FFT计算，计算得到各次谐波电压、谐波电流的幅值、相角，再使用Budeanu定义计算无功功率：

②Hilbert算法。离散时间信号的Hilbert变换定义为

由上可知，对采集的离散电压信号u（n），若采用离散Hilbert变换，可得u′（n），即为电压移相-90°后的序列，所以无功功率为

输入信号的离散Hilbert变换可通过Hilbert数字滤波器实现。基于IIR型Hilbert数字滤波器的无功功率测量系统和基于FIR型Hilbert数字滤波器的无功功率测量系统分别如图3-23、图3-24所示。

基于IIR型Hilbert数字滤波器的无功功率测量系统首先将电压、电流信号按相同的采样率进行A-D转换，得到离散的数字电压信号u（n）和数字电流信号i（n）；再将这一对数字信号分别经过数字滤波器F₁和F₂进行移相处理，得到所关心的频率范围内电压、电流的基波以及各次谐波分量之间相位移相差均为90°的复合数字信号u′（n）和i′（n）；然后将这两个信号相乘，得到瞬时无功功率q（n）；最后对q（n）进行低通滤波，就得到所求取得的总无功功率Q。

IIR型滤波器的设计可根据半波带滤波器设计。F₁、F₂模块是因果的、稳定的，其复频域脉冲传递函数分别为

设N=18，所关心的频率范围为40～960Hz，F_s=2000Hz，在相移误差不大于0.0006rad的条件下，则F₁、F₂的脉冲传递函数分别为

F₁与F₂的幅频特性和相频特性如图3-25所示。

由图3-25可以看出，在所关心的频率范围内，整个移相系统满足

即通带增益特性接近于1；相频特性近似为90°。所以在关心的频率范围内，设计的IIR型数字滤波器具有需要的滤波性。

基于FIR型Hilbert数字滤波器的无功功率测量系统先将电压、电流信号按相同的采样率进行A-D转换，得到离散的数字电压信号u（n）和数字电流信号i（n）；再将u（n）通过Hilbert数字滤波器进行移相处理，得到在所关心的频率范围内的电压的基波及各次谐波分量之间相位移相差均为-90°的复合数字信号u′（n），然后将u′（n）和i（n）相乘，得到瞬时无功功率q（n）。其中FIR滤波器F₁可通过等波纹切比雪夫法设计，其幅频特性和相频特性如图3-26所示。

由等纹切比雪夫法采用最大误差最小化的准则来逼近理想的Hilbert数字滤波器，在设计指标相同时，使滤波器阶数最低；阶数相同时，使通带最平坦，阻带最小衰减最大，通带和阻带均为等纹切形式，既能获得严格线性相位，又有很好的衰减特性。

（3）不同算法的仿真分析及误差比较 对上述提出的几种无功功率测量算法进行仿真，分别在标准正弦和非正弦信号两种模型上引进数据测试。

1）标准正弦信号模型。选取正弦波电压有效值U_k=1.0V，电流有效值I_k=1.0A，电压、电流相位差ϕ_k=70°，见表3-11。

正弦信号模型仿真运行结果见表3-12。

如图3-27所示，由仿真结果可以看出，对于正弦信号下无功功率的测量，傅里叶分析测量算法的误差最大，均方根算法与数字移相测量算法误差次之。

2）非正弦信号模型。选取非正弦信号电压、电流谐波模型为基波、19次及以下谐波的电压、电流有效值及各次谐波电压、电流相位角见表3-13。

非正弦信号模型仿真运行结果见表3-14。

如图3-28所示，由仿真结果可以看出，对于非正弦信号下无功功率的测量，傅里叶分析测量算法、均方根算法和数字移相测量算法误差都很大。相对而言，Hilbert变换测量算法误差较小，精度较高。

目前所使用的大多数仪器、仪表是针对工频正弦波所设计的，但由于电力系统在其所运行的环境中的电流、电压并不都是单纯的工频正弦波，大量的谐波存在对电力系统造成很大的影响。

通过仿真比较以上五种无功功率算法可知，基于Hilbert数字移相滤波的无功功率测量方法具有比较高的测量准确度。该方法不仅能测量正弦电路中的无功功率，而且在给定的非正弦电路无功功率定义，即总无功功率等于基波和各次谐波无功功率之和的定义下，也适用于测量含有谐波的非正弦电路中的无功功率。由于该方法是在对电压、电流信号采样后，通过直接进行移相滤波和简单的数值计算测量无功功率，避免了现有方法中通过测量电压、电流有效值和有功功率计算无功功率所带来的误差。其优越的频率响应特性，即使对于相当高次的谐波无功功率的测量，也可以获得很高的测量准确度，适合在高精度无功功率测量仪表的设计中使用。