第二讲 弯曲的时空——广义相对论
绘画：张京
这一讲介绍爱因斯坦一生最得意的成就——广义相对论。
首先要说明，相对论这个名字不是爱因斯坦起的，而是洛伦兹起的。因为洛伦兹在爱因斯坦之前就提出了洛伦兹变换，但他完全是依据绝对空间得到的。爱因斯坦的理论出来以后，得到的惯性系之间的坐标变换公式与洛伦兹变换相同，但是物理解释却很不一样。洛伦兹为了在辩论的时候分清楚我的理论和你的理论，就给爱因斯坦的理论取了个名字叫“相对论”，爱因斯坦觉得这名字还可以用，就接受了。以后“相对论”这个名字就留下来了。但当时所说的相对论指的是狭义相对论，就是我上一讲讲的那一部分内容，是讨论高速运动的物体会有什么特点的理论。
1．狭义相对论的困难
牛顿的力学完成的时候，物理学界都感到一片明朗，好像什么问题都搞清楚了，所以英国的一位诗人——波普，写了一首诗赞扬牛顿，说：
自然界与自然界的规律隐藏在黑暗中，
上帝说：“让牛顿去吧！”
于是一切成为光明。
可是相对论出来以后，这些感到光明的人大部分都感到糊涂，弄不懂相对论，当时能够听懂相对论的人是凤毛麟角。一般人都弄不懂，有的人就有疑问。但是大的物理学家们，一般不敢说得很难听。因为相对论出来以后，就有几位著名的物理学家说它是对的，比如德国的普朗克、能斯特、劳埃，法国的居里夫人和郎之万，还有英国的爱丁顿，这些都不是吃干饭的，都是很棒的物理学家，他们都说相对论正确，而且予以很高的评价。所以那些自己觉得相对论不对的人，也不敢说得太难听，但是确实很怀疑。另一位诗人就把波普的诗给续了一段：
但不久，魔鬼说：“让爱因斯坦去吧。”
于是一切又回到黑暗中。
爱因斯坦的相对论到底有没有问题呢？当时的情况是这样，凡是觉得它有问题的人，说的那些问题其实都不是问题，都是自己没有弄懂相对论造成的。但是相对论真的有问题。爱因斯坦本人意识到了他的相对论有问题。
惯性系无法定义
那么爱因斯坦觉得他的相对论有什么问题呢？他的相对论建立在相对性原理和光速不变原理这两条原理的基础之上，它用到一个很基本的概念，就是惯性系。他知道自己的理论建立在惯性系的基础上，可是现在惯性系却无法定义了。
为什么无法定义呢？牛顿认为存在一个绝对空间，牛顿说凡是相对于绝对空间静止或者作匀速直线运动的参考系就是惯性系。现在没有绝对空间了，那么惯性系就不好定义了。最初的一些人，甚至后来的很多人都认为，似乎可以用牛顿第一定律来定义惯性系：如果一个不受力的质点，在参考系中保持静止或者匀速直线运动的话，这个参考系就是一个惯性系。也就是说用牛顿第一定律来定义惯性系。很多人认为可以，其实不行。
爱因斯坦很快就意识到了这个定义不行。为什么不行呢？如果人家问你：你怎么知道这个质点没有受力呢？你要给“没受力”下个定义啊！有人可能会说，没有与其他物体挨着就是没受力啊！那不一定，像电磁力可以作用在带电或磁的物体上，但却是看不见的。最好的一个定义是说，在惯性系当中，一个质点保持静止或者匀速直线运动状态，它就“不受力”。但是这种定义方式，定义“惯性系”要用到“不受力”这个概念，定义“不受力”又要用到“惯性系”这个概念，这是一个逻辑循环，所以这是不行的。爱因斯坦意识到惯性系的定义有了问题，这使相对论的基础变得可疑了，这个问题必须解决。
爱因斯坦反复思考惯性系如何定义，百思不得其解。有的人可能一辈子就琢磨这个定义了。但爱因斯坦的思路确实跟别人不一样。他开始想别的办法了。爱因斯坦想：惯性系既然不好定义，我就干脆不要惯性系了。我把相对性原理推广，推广到任意参考系。不是说物理规律在所有的惯性系当中都一样，而是说物理规律在所有的参考系中都一样。不要惯性系，定义惯性系的困难自然就不存在了。他这个想法很好。但是，不要惯性系，马上就有一个问题。惯性力怎么办？所有的非惯性系都存在惯性力，比如说一个转动的参考系，它有惯性离心力，有科里奥利力。一个加速系中的所有物体，都会受到反方向的惯性力。这些惯性力怎么处理？爱因斯坦觉得这仍然是个问题。
万有引力定律放不进相对论的框架
爱因斯坦注意到，自己的“相对论”还存在另外一个问题，就是万有引力定律写不进相对论的框架。当时只知道两种力，电磁力和万有引力，电磁学是跟相对论一致的，但万有引力却放不进相对论的框架，爱因斯坦觉得很遗憾。所以他也一直考虑这个问题，想把万有引力定律加进相对论的框架。努力了一段时间，但始终加不进去。
不过，爱因斯坦很快就注意到，万有引力和惯性力有相同的地方。什么地方呢？就是都与质量成正比。别的力不一定和质量成正比，只有万有引力和惯性力这两种力是跟质量成正比的。他觉得这两种力好像有点什么关系。他觉得自己所认为的相对论的两个困难，一个与惯性系有关，一个与万有引力有关。这两个困难莫非本质上是同一困难？于是他开始把这两个困难联系起来考虑。
当时已有人对惯性力的起源作过一些猜想。大家都知道，除去惯性力以外所有的力都起源于相互作用，都有对应的反作用力。但是惯性力不起源于相互作用，它不满足牛顿第三定律，不存在对应的反作用力。
有绝对空间吗？
为什么会有惯性力呢？牛顿认为存在一个“绝对空间”，当一个物体相对于绝对空间加速的时候，就会受到惯性力，如果它不相对于绝对空间加速就不会受到惯性力。牛顿是在存在绝对空间的前提下来解释惯性力的。后来奥地利有一位物理学家马赫，这人是个三流的物理学家，他的贡献主要是“马赫数”，空气动力学中的“马赫数”，当然这也是贡献，能把名字留下来就算不简单。马赫虽然对物理学的具体贡献不是太大，但他对爱因斯坦有重大影响。你别看他是三流的物理学家，他敢说祖师爷不对。他批判牛顿，认为牛顿说的绝对空间根本就不存在，所有的运动都是相对的。爱因斯坦在大学刚毕业时看过马赫的书，“呀，马赫讲得太对了，所有的运动都是相对的，根本就不存在绝对空间。”所以爱因斯坦不愿意放弃相对性原理。马赫的这一思想引导他建立了狭义相对论。
牛顿的水桶实验
牛顿当时为了论证绝对空间的存在，也为了论证惯性力起源于相对于绝对空间的加速，曾经提出过一个思想实验，叫水桶实验。如图2-1所示，他设想有一个桶，里面装有水。桶静止，水也静止的时候，水面是平的（见图2-1（a））；然后让水桶以角速度ω转起来，刚开始的时候由于桶壁的摩擦力小，水没有带动起来，桶转水不转，水面还是平的（图2-1（b））；然后水慢慢被带动起来了，跟桶一块转，这时候水面就成凹的了，这是第三种情况（图2-1（c））；第四种情况，桶突然停止，水还在转，这时候水面仍然保持凹形（图2-1（d））。为什么呢？牛顿说三、四这两种情况水受到了惯性离心力，而一、二这两种情况水没有受到惯性离心力。
图2-1 水桶实验
一、三这两种情况水相对于桶都是静止的，但情况一水没有受到惯性离心力，情况三受到了惯性离心力。二、四这两种情况水相对于桶都是转动的，但情况二水未受到惯性离心力，情况四却受到了惯性离心力。看来受不受到惯性力跟水相对于桶的转动无关。
牛顿说，这个实验表明，受不受到惯性力跟水相对于桶的转动无关。那么跟什么有关呢？牛顿说，水桶实验表明存在一个绝对空间，只有相对于绝对空间的加速才是真加速，相对于绝对空间的转动才是真转动，才会受到惯性离心力。当时的物理学家都知道牛顿的水桶实验。牛顿用水桶实验论证了绝对空间的存在，同时也说明了转动是一种绝对运动。
马赫对牛顿的反驳
马赫出来说：“牛顿不对。”他就要面对这个实验。马赫反驳牛顿，说根本没有绝对空间，所有的运动都是相对的，那惯性力怎么起源的呢？马赫说水受不受到惯性力，跟水相对于桶的转动关系不大，他没说完全没有关系，但是说关系不大。他认为，惯性力是宇宙中所有作相对加速的物质施加的作用。比如说水如果相对于宇宙中所有物质转动的话，就相当于水不动，宇宙中所有物质反着转，那么这些反向旋转的物质都对水施加一种作用，水就会受到惯性离心力。桶有没有影响？有，但桶的质量跟整个宇宙的质量相比是可以忽略的，所以桶对水的影响可以忽略。因此他认为，惯性力起源于相对于宇宙中所有物质的加速或者转动，起源于作相对加速运动的物质施加的作用。爱因斯坦看过马赫的书后，觉得马赫讲得真是太对了。按照马赫的这个思想，惯性力也起源于相互作用，这种相互作用跟万有引力有某种类似，都与物质的成分和结构无关，只与它们的质量有关。马赫的思想加深了爱因斯坦的猜测：万有引力和惯性力之间可能有内在关系。
2．等效原理
引力质量与惯性质量相等
这时候爱因斯坦进一步思考了一个问题，就是质量定义的问题。牛顿的《自然哲学之数学原理》是一部很完备的书，里面没有大的漏洞，逻辑关系非常严密。牛顿谈到了质量的定义，说“质量就是物质的量，质量等于体积和密度的乘积”,“质量正比于重量”，这些是他的原话。所以，“质量是物质的量”其实指的是物质的万有引力效应。牛顿在那本书的另外一个地方谈到质量是跟物体的惯性成正比的，那是跟牛顿第二定律有关的。牛顿意识到了用惯性效应来定义的质量和用引力效应来定义的质量可能不是一个东西。也就是说，质量有两种，一种是惯性质量mI，另一种是引力质量mg。这个g代表引力，牛顿的万有引力。
根据牛顿的判断，他觉得这两种质量不是一个东西。但实验表明呢，这两种质量可能是相等的。为什么呢？大家来看自由落体定律。自由落体运动，按照牛顿的理论，是在万有引力作用下的加速运动。万有引力可以用引力场强g乘上引力质量来得到：
牛顿第二定律是
这两个等起来，就是
自由落体定律告诉我们，不管任何物体，随便什么物体，加速度a都是等于g的，所有的物体不管质量，不管化学成分，它们的加速度都是一样的。如果a与g恒相等，那么mI 与mg 就相等。所以自由落体定律告诉我们，引力质量和惯性质量是相等的。
但是这个实验太粗糙了，于是牛顿又想用单摆实验来检验它。大家通常看到的单摆公式都是
实际上你们注意，在用微分方程推导的时候，质量m出现在方程的两边，一边代表引力质量，另一边代表惯性质量。只不过我们在学习的时候，在讲理论力学的时候，不区分这两种质量，于是就给消掉了。其实这两个质量定义不一样。牛顿注意到了这一点。如果你把这两个m保留的话，单摆周期公式就成为这样的
如果这两个质量对于不同的物体有差异，mI/mg 对各种物体不是同一个常数的话，单摆运动的周期，对不同物体就会有所不同。但牛顿没有观测到这种不同。他在千分之一的精度范围内证明了引力质量等于惯性质量。
爱因斯坦那个时代有个匈牙利物理学家Eötvös，中国人翻成厄阜，他用扭摆实验在10－8的精度之内没有查到引力质量和惯性质量的差异。相对论发表以后，Dicke做到10－11，俄罗斯的布拉金斯基做到10－12，都严格地证明了引力质量和惯性质量相等。在爱因斯坦那个时代，精度最高的是Eötvös那个实验。爱因斯坦研究引力理论时知道这个实验。
等效原理：万有引力与惯性力等效
那时候爱因斯坦成天反复思考着引力与惯性力的问题。他当时还在专利局工作。有一天，他坐在办公桌旁，一边看蓝天白云，一边思考。他突然想：假如有一个人从楼上掉下来会是什么感觉呢？他想这个人可能是失重的感觉，没有重量。爱因斯坦后来说，这是我思想上的一次大的突破，这件事情引导我走向了广义相对论。
很快，爱因斯坦就提出了等效原理。这个原理是什么意思呢？就是万有引力和惯性力是等效的，是没法区分的。他说，如果有一个升降机（图2-2），外边是封闭的，里面的人看不见外面。升降机停在地球的表面上，里面的人具有重量。如果这个人拿着一个苹果，一松手这个苹果就落地。同样的，假如他处在远离所有星球的宇宙空间当中，是在一个火箭里面，虽然他没有受到重力，但是火箭在以加速度a加速，他也会同样感觉有重量，而且苹果会落地。也就是说，如果这个升降机是封闭的。他没法区分自己究竟是在一个有引力的星球表面上静止不动呢，还是在一个远离星球的地方作加速运动。再有一种情况，假如电梯的绳子断了，自由落体，在地球重力场当中自由下落，电梯里的人就会有失重的感觉。假如他在远离所有星球的地方作惯性运动的话，他是不是也会感受到失重？现在我们知道星际航行员就是这样的，他会感受到失重。他没法区分自己究竟是在引力场中自由下落呢，还是在不存在引力的空间中作惯性运动。因此引力场和惯性场是等效的，是不能区分的，这叫等效原理。
图2-2 爱因斯坦升降机
不过，引力场和惯性场的等效只在时空点的一点的邻域成立。只有在升降机无穷小的时候，引力场和惯性场才是不能区分的。假如升降机有一定大小，例如我们通常的电梯都有一定的大小，如果你在电梯地板的每一点都摆一个重力仪的话，你就会感觉到力线有一个向地心的汇聚效应。而你要在星际航行的火箭上摆上重力仪的话，力线就是平行的，所以在空间不是无穷小的情况下，还是能区分引力场和惯性力场的，不能区分的就是一点的邻域。这是学习等效原理最应该注意的一点。等效原理还分弱等效原理、强等效原理，由于时间关系我们就不说了。
思想的飞跃：引力可能是几何效应
爱因斯坦到这个时候，物理上的思考已经开始有了眉目。他觉得：第一，为了克服惯性系的困难，可以把相对性原理推广为广义相对性原理，就是说不用惯性系了，认为在所有的参考系中物理规律都一样。不过这时候会出现惯性力的困难。此时，他认识到了惯性力的困难跟万有引力的困难可能是同一个困难。而且这个时候他思想产生了一次重大的飞跃，就是认为万有引力可能不是真正的力，而是一种几何效应。他为什么会这么想？你们看，自由落体定律，任何物体不管质量、化学成分和物质结构，下落规律都一样。如果只看自由落体定律，还看不清楚的话，你还可以考虑斜抛物体。在真空当中以某一个角度斜抛一个物体，不管是个金球、铁球还是个木头球，如果抛射角度保持不变，球脱离弹射器时的初速也保持不变，那么它们描出的轨迹就全一样。跟它们的成分、质量、物理性质和化学性质都毫无关系。这跟所有的物理定律都不一样，一般物理定律和化学定律都是跟物质的成分、结构、质量等有关的。但自由落体和斜抛物体是完全在单纯的万有引力作用下按照牛顿定律的运动，这类运动的规律跟物质的成分和质量都没有关系。这时爱因斯坦突然想到这类运动会不会是一种几何效应，因为几何效应肯定与物体的质量、成分无关。这是非常非常大胆的、思想上的飞跃。
所有的创新性的发现都不是靠着逻辑推理推出来的。逻辑推理推出的只会是已有结论的另一种表现形式，或者一些特殊情况下的例子。所有真正的科学发现都是猜出来的，然后用实验去验证。
3．神奇的黎曼几何
爱因斯坦猜测万有引力可能是时空弯曲的表现，那么这时候他就要用到弯曲时空当中的几何学了。于是爱因斯坦找他的同学格罗斯曼帮忙。格罗斯曼留在苏黎世工业大学以后，主要搞数学，当时已是数学物理系主任。他查了一些资料后告诉爱因斯坦，现在有些意大利人正在研究黎曼几何，可能这个东西对你有用。后来，格罗斯曼也参加了爱因斯坦的研究，所以爱因斯坦探索广义相对论的早期论文有些是跟格罗斯曼合作的。
那时候已经有了黎曼几何，其实黎曼几何对爱因斯坦不是完全生疏的。爱因斯坦在专利局工作期间，与几个年轻人自发组织了一个读书俱乐部，他们取了个名字叫“奥林匹亚科学院”，就那么三四个人，有学物理的，有学工程的，还有学哲学的。大家在一起读一些科学、哲学或其他数学方面的书，边读边议论。他们经常在爱因斯坦的家里面读书。爱因斯坦的夫人米列娃常常坐在那儿，但是她一般不发言，只是静静地听他们在那里讨论。他们当时看过马赫的《力学史评》，还看过庞加莱的《科学与假设》，庞加莱在这本书里用科普的方式提到了一点黎曼几何。
“平行公理”导致的疑难
为了让大家更清楚地了解弯曲时空中的几何学，我们简单说几句黎曼几何的创建。我们先说欧几里得几何。公元前300多年，埃及被希腊人占领，当时埃及的国王是希腊人，姓托勒密，不是搞地心说的那个托勒密，只是同一个姓。托勒密一世和二世国王非常喜欢科学和建设，他们建了一个亚历山大科学院，就在埃及北部的海港城市亚历山大。还设立了科学基金资助科学家们进行研究。欧几里得就在那个地方工作，欧几里得把古埃及人研究大地测量、研究尼罗河泛滥后平分土地、修建金字塔等积累的几何知识总结成一本书，就是介绍欧几里得几何的名著《几何原本》。欧几里得之前的人的贡献已经不清楚了。他那个时候集其大成。
欧几里得几何里面有很多公设，就是公理。从这些公理可以推出所有的定理和推论。其中有个第五公设，就是平行公理。我们大家都知道，就是过直线外一点能引一条并且只能引一条直线跟原直线平行。很多人觉得这个公理有点长，是不是可以从其他的公理推出来。于是就有许多数学家在那儿推导，推了一千多年、两千年的样子，所有的人都推不出来。或者有时候高兴一下，说：“哎呦，推出来了，你只要假设三角形三内角之和是180°就可以推出来。”但是，这是一个同等的假设，你假设三角形三内角和为180°，跟你假设平行公理是一个事情，反正你得假设一个，所以一直证不出来。很多人为此耗费了自己的毕生精力。
鲍耶与高斯的探索
最早对平行公理的研究做出突破性贡献的人之一，是匈牙利年轻数学家鲍耶。鲍耶当时在一个数学系学习，他父亲是高斯的同学。鲍耶在证明平行公理的时候使用了反证法，他想，假如过直线外的一点可以引两条以上的直线跟它平行，那会怎么样呢？原本他想推出错误来，结果总也推不出来。他突然产生一个思想飞跃，这个飞跃非常重要。他考虑是不是可以建立另外一种几何，假定过直线外的一点可以引两条以上的平行线，这样就能建立一套完备的新几何。他把自己的想法告诉了父亲，他父亲一听儿子在研究这个，简直难过极了，说：“我的儿子，你可千万别干这个了，你爹我就是因为研究这个，最后几乎一辈子一事无成啊！你可千万别走这条路了。”后来，他爹仔细一看鲍耶写的东西，觉得儿子的研究还真有点道理，于是挺高兴，就把这些东西写信告诉高斯。高斯看了以后说：“我实在没法赞扬你的儿子，因为赞扬他就等于赞扬我自己，其实你儿子的想法我前些年就有了。”鲍耶听了以后非常生气，觉得高斯是想用自己的名望来篡夺他的研究成果，一气之下不干了。他父亲最后把儿子的成果作为附录，附在自己出版的一本数学教科书后面。由此世人才知道鲍耶做出过重大贡献。
罗巴切夫斯基的奋斗
不过最早提出并建立完整的新几何的人，不是鲍耶而是俄罗斯喀山大学的教授罗巴切夫斯基。他也在研究平行公理，也是用反证法，最后他也想到，会不会过直线外一点可以引一条以上的平行线，那样的话是不是可以得到一种新几何。他就把论文寄给彼得堡科学院，彼得堡科学院的院士们一看，这个教授简直是稀里糊涂，过直线外一点怎么可以引两条平行线啊！这不是胡说八道嘛！不久，罗巴切夫斯基又来信了，又发来论文了。科学院的人说这个教授怎么回事啊，这点事情都不明白还当教授？然后彼得堡科学院的几个数学家就做了一个决议，说是以后凡是罗巴切夫斯基先生有关这方面的论文，我们都可以不必审稿了，肯定不要。罗巴切夫斯基只好把论文发表在喀山大学学报上，这些论文比鲍耶的工作还要早两年。由于在国内得不到支持，罗巴切夫斯基后来就到欧洲去周游交流，看看大家的反应怎么样。结果没有一个人表态支持他。他到德国发表了演讲，高斯听了演讲，没有说什么，当时高斯已经很老了。高斯只是建议德国科学院授予他通讯院士的称号，但是没有提他创建新几何的事。高斯在自己的日记和给朋友的信中说：“我相信，当时在会场上只有我一个人听懂了罗巴切夫斯基先生在讲什么内容。”但是高斯不敢表态。为什么呢？因为欧几里得几何是教会支持的，哥白尼、布鲁诺他们的前车之鉴，使高斯顾虑很大，他想：我还是少插这一脚吧，反正我干的事多了，也不在乎这点东西。所以他不掺和。高斯去世以后，这些东西才披露出来。罗巴切夫斯基从欧洲回去以后，因为德国人也承认了他的学术水平，后来当上了喀山大学的校长，继续研究新几何。但是俄罗斯国内还是没有人承认。罗巴切夫斯基晚年双目失明，最后靠着口述，他的学生记载，把他的新几何搞了出来，这就是罗氏几何。
黎曼集其大成
过了些年以后，又有一个年轻的数学家黎曼，提出：过直线外一点一条平行线也引不出来，以这条公理为基础建立起另一套几何，这就是黎氏几何。黎曼又把欧式几何、罗氏几何、黎氏几何综合起来统一成黎曼几何。他用上述工作在哥廷根大学做了一个求职报告，争取一个讲师位置。由此可以想见，哥廷根大学的数学水平有多高了！
什么是黎曼几何？
实际上，黎氏几何是一种正曲率空间的几何，在二维情况下，就是球面几何（图2-3（a））；罗氏几何是一种负曲率空间的几何（图2-3（b）），在二维情况下，就是伪球面和马鞍面上的几何；而欧几里得几何是一种零曲率空间的几何，在二维情况下，就是平面上的几何。它们描述不同曲率的空间，如表2-1 所列，三种几何都对。
表2-1 三种几何的对比
图2-3 正负曲率的空间
图2-4 球面上的大圆周和三角形的三内角
那么在弯曲空间当中，怎么定义直线呢？显然没有直线！但有短程线。所谓短程线就是两点之间最短的线。因为伪球面和马鞍面大家不那么熟悉，我们以球面几何为例来说明弯曲空间中的几何（图2-4）。球面上的短程线就是大圆周，你用球表面上的两点和球心这三点作一个平面，截出来的那个圆周——大圆周，就是短程线。比如说，赤道是短程线，所有的经线都是短程线，但是除去赤道外所有的纬线都不是短程线，因为它们都不是大圆周（图2-4）。地球表面两点之间最短的距离是沿大圆周的，所以从中国飞往美国和加拿大的飞机，并不是直接向东横越太平洋走的。它是从北京起飞以后往东北方向飞，穿过俄罗斯的西伯利亚，一直飞到白令海峡的北边，贴着阿拉斯加的北部沿海飞过去，再进入加拿大，进入美国。有人说：“这不是绕了一个大弯吗？”不是绕了个大弯，那是真正最近的路线。黎氏几何，过直线外的一点引不出一条平行线是说什么呢？是说在一个大圆周之外，你不能再作一个大圆周跟它不相交。对不对？你想赤道是个大圆周，你能在赤道外再作一个大圆周跟它不相交吗？根本不可能。另外呢，在黎氏几何中三角形三内角之和是大于180°的，因为时间问题，今天我们就不讲了。
4．广义相对论的创建
爱因斯坦场方程
在爱因斯坦的时代，黎曼几何已经有了。爱因斯坦在格罗斯曼的帮助下熟悉了黎曼几何，但是刚开始摸索的时候并没有得到正确的方程。后来他到了德国，与希尔伯特进行了几次讨论以后，终于找到了正确的方程。这就是广义相对论的基本方程——爱因斯坦方程，或叫场方程，
左边是时空曲率，右边是物质的能量动量，常数κ实际上是8πG/c4,G就是万有引力常数，c是真空中的光速。你们看着简单，实际上它是二阶非线性偏微分方程组，10个二阶非线性偏微分方程组成的方程组，左边表示时空弯曲，右边表示物质的存在。这就是广义相对论的最基本的方程。这个方程解起来很困难，谁如果能求出来一个解，就可以以他的名字命名。到目前为止，有用的解没有几个，大部分解虽然数学上正确，但是物理上找不到对应，物理学家兴趣不大。因为物理学是一门实验和测量的科学。
万有引力不是力
好，我现在就来定性地解释一下弯曲的时空。举个例子，我拿着一个粉笔头，一松手它就掉下来了，按照牛顿第二定律和万有引力定律，这是一个在万有引力作用下的匀加速直线运动。按照爱因斯坦的广义相对论，万有引力根本就不是什么力，只是时空弯曲的表现，松手之前你用了力拽着粉笔头，一松手这个粉笔头就没有受到力了，就自由下落，它作的是惯性运动。
再看行星绕日的运动，行星绕日的运动可以用万有引力定律和牛顿第二定律联立起来，严格地计算出它的椭圆轨道。现在我们发射人造卫星，也全部用的是牛顿力学，因为牛顿力学计算起来简单，而且在太阳引力场中足够精确。如果你用广义相对论的方程算，那就复杂多了。用牛顿第二定律和万有引力定律的联立，我们能够准确地预报卫星在几点几分过什么地方，非常精确地预报。按照牛顿力学，太阳用万有引力吸引着地球，使地球依照牛顿第二定律，围绕着它转，走一个椭圆轨道，这是一种变加速运动。但是按照爱因斯坦的广义相对论，这是惯性运动，因为万有引力不是力，行星没有受任何力，绕着太阳转动是一种惯性运动，没有受到任何力的自由运动。
如何理解弯曲时空
图2-5 弯曲的时空
图2-5是一个示意图，一颗恒星把周围的空间压弯了，这不是什么真正的物理图。我们可以打个比方，比如说四个人拽开一张床单，床单是平的，小玻璃球搁在上面不动，你一滚它就作匀速直线运动。但是如果床单中间放上一个铅球，就把床单压弯了。再将玻璃球搁在上面，玻璃球动不动？不动行不行？不行。它会滚到铅球那里去。我们可以把铅球想象成地球，这个玻璃球想象成粉笔头，它滚过去了。按照牛顿式的解释，就是那铅球（地球）用万有引力吸引这个玻璃球（粉笔头）；而按照爱因斯坦式的解释，铅球（地球）使周围的空间弯了，在弯曲的空间当中，这个玻璃球（粉笔头）就自然地滚过去了。同样的，你可以把那个铅球看作太阳，把玻璃球看作地球，你横着一扔，它就转起来了。这个玻璃球（地球）为什么不跑掉呢？也就是说行星为什么不逃离太阳呢？按照牛顿力学的解释，就是这个铅球（太阳）用万有引力吸引着玻璃球（地球），它跑不了；按照爱因斯坦的解释，就是铅球（太阳）让周围的空间弯了，在弯曲空间中，玻璃球（地球）作自由运动。也就是说，太阳让周围的时空弯了，在弯曲时空中，地球作自由运动，这个自由运动就是围着太阳转，所以它跑不了。这是一种直观的比喻。爱因斯坦认为，万有引力不是真正的力，而是时空弯曲的表现。行星绕日的运动是弯曲时空中的惯性运动。
伽利略的“错误”
我们这里顺便谈一下伽利略的一个错误，很多人认为他犯的一个错误。伽利略当时在谈论惯性运动的时候，对这个概念进行过解释。伽利略认为什么是惯性运动呢？他说静止或者匀速直线运动是惯性运动；再有呢，匀速圆周运动也是惯性运动。这后一个说法长期被认为是伽利略的一个错误。
我们今天知道匀速圆周运动确实不是惯性运动，但是伽利略为什么要说匀速圆周运动是惯性运动？最重要的就是那时候，不管是日心说还是地心说，都认为行星在作圆周运动。比如日心说，太阳在中心，地球围绕它旋转，这是一个圆周运动。地球为什么一直转，它又没有受到力？伽利略猜想这可能是一种惯性运动。今天看来伽利略的猜测本质上还是对的，在他的潜意识里，意识到了行星绕日的运动可能是惯性运动。
弯曲时空中的直线——短程线
我们都知道，在地球表面上一个不受力的物体作的惯性运动是匀速直线运动，走的是直线。那么在弯曲空间当中，它走的是什么呢？走的是所谓短程线，就是两点之间最短的距离。不过呢，广义相对论的情况实际上要复杂，因为它用的是“伪”黎曼几何，就是时间的一项跟其他的几项的正负号不一样，所以行星绕日走的这些轨道反而是两点之间最长的那条，但是习惯上都叫短程线，或者叫测地线，实际上是最长的一条。可能有人以为行星绕太阳转动的椭圆轨道就是短程线。不是！因为相对论所说的短程线是四维时空当中的曲线（即世界线），不是三维纯空间中的曲线。我们可以假定太阳在三维空间中不动，是一个点。但是在四维时空中它会描出一根与时间轴平行的直线来，那么行星绕日走的就是螺旋线。在四维时空当中，这根螺旋线是短程线，是作惯性运动的行星描出的世界线。如图2-6所示。
图2-6 太阳和行星在四维时空中的运动曲线
5．广义相对论的实验验证
现在我们来讲一讲广义相对论的实验验证。爱因斯坦当年提出广义相对论的时候就说：“有三个实验可以证明我的广义相对论是正确的。”
时钟变慢与引力红移
第一呢，他说，由于时空弯曲，钟会走得比较慢，以前在狭义相对论中他说过运动的钟会变慢，现在他又说还有一个新效应，就是时空弯曲的地方钟也会变慢。时空弯曲得越厉害，钟走得越慢。因此太阳表面的钟会比我们地球表面的钟走得慢。怎么知道呢？可以在太阳表面放一个钟，然后去看一下。但实际上你没法放那个钟。就是放了个钟你也不敢去看啊，是不是？这怎么办呢？爱因斯坦说没关系。其实呢，太阳表面本来就有钟。他说：你看啊，每一种原子的光谱都有确定的光谱线。我们现在做化学分析不就是根据这些谱线的波长来判定化学元素吗？他说：“每一种原子都有特定的光谱线，每一根光谱线就表示，在这个原子当中有一个以这种频率在震荡着的钟。”你看看，他这想法跟一般人多不一样，恐怕很多人都想不到这一点。他说：“太阳表面有很多的氢，我们地球实验室也有氢。我们可以把太阳光中的氢光谱，跟地球实验室的氢光谱来比较，你就会发现由于太阳处的钟变慢，太阳上的氢光谱的振动的频率也要变慢。所以，太阳上的氢光谱的所有的光谱线会向红端移动，频率减小，波长增大。”大家把拍的照片一对比，果然如此。不过呢，用牛顿的万有引力定律也能算出光谱线的红移。为什么呢？一个光子从太阳那里跑过来，它要克服引力势能啊，对不对？光子要减少动能，E等于hν,E一旦减小ν也会减小。所以从牛顿力学来看，光谱线也会出现红移。但是，对光谱线红移的牛顿力学解释和相对论解释，在高阶近似上是有差异的。
水星轨道近日点的进动
现在我们来谈另外两件事情。一件事是水星近日点的进动（图2-7）。牛顿力学算出来的行星绕日运动都是一些封闭的椭圆。但实际上我们看到的行星绕日运动都不是封闭的椭圆，它会进动，这样一圈一圈地转起来，近日点在不断地前移。远日点也在移，但是远日点在天文观测上不好确定，近日点的移动，容易确定。离太阳越近的行星轨道进动越厉害。所以大家总以水星为例来讨论行星轨道近日点的进动。
图2-7 水星轨道近日点的进动
在爱因斯坦那个时代已经知道，水星绕太阳的轨道不是一个封闭的椭圆，人们用天文学上的“岁差”和其他行星的影响来解释。当时观测到水星轨道每一百年有5600弧秒的进动，把所有可能的影响因素都考虑进去以后，有5557.62弧秒的进动能得到解释，但还有约43弧秒的进动没法解释。你看天文观测多精确，每一百年还有43弧秒的进动得不到解释！最先对这个问题进行研究的是勒维叶，就是预言海王星，发现海王星的那个人。
海王星是法国的勒维叶和英国的亚当斯首先预言，然后发现的。人们早就知道，除了地球以外还有五颗行星，就是金、木、水、火、土五颗，这些是我们肉眼能看到的。天文望远镜出现以后又发现了天王星。后来发现天王星轨道的计算值跟实际观测值有偏离。当时英国的亚当斯和法国的勒维叶都怀疑是不是有一颗比天王星离太阳更远一点的行星对它有影响。亚当斯首先算出了结果，寄给了英国的格林尼治天文台，指出了这颗星的位置。格林尼治天文台的人一看，说：亚当斯？亚当斯是谁呀？从来没听说过。就搁一边了，没管。勒维叶独立算出来以后，就在科学杂志上发表了自己的结果。英国天文台的人看到勒维叶的文章后一想，咱们那个亚当斯不是也算过吗？就把亚当斯的东西拿出来看。准备观测一下，看是不是真的有一颗新的行星。正在英国人磨磨蹭蹭准备的时候，勒维叶急于知道自己的预言对不对，就把他的论文寄给了柏林天文台，因为法国的天文台不如德国的好。柏林天文台台长拿到这封信后，立刻叫他的部下当天晚上就去观测，结果一下就发现了海王星。这个报道一出来，英国人赶紧也去找，根据亚当斯的结论去找，也发现了海王星。所以海王星的发现，是万有引力定律的一个伟大成就。因为它是用万有引力定律预言的，首先准确地预言了它，把它算出来的，然后由观测证实。
勒维叶取得这个成就以后就想，水星轨道的进动，是不是因为有一颗比水星离太阳更近的行星造成的？他就反过来算出了这颗星的位置。他很高兴又预言了一颗新行星。他给这颗新行星取名火神星，为什么叫火神星呢？因为离太阳近，温度高。于是有些人去观测，但怎么也找不到。一次，有个人真的看到了太阳表面上有个黑点在那儿动。以为发现了“火神星”，高兴了一场，后来发现那颗“火神星”不过是个太阳黑子，不是行星。所以水星这个43弧秒的进动问题就遗留下来了。
几十年以后，爱因斯坦的广义相对论算出水星轨道正好就有43弧秒的进动。就是说，不考虑别的因素，水星绕太阳转动的轨道就不是封闭的椭圆，一百年就有43弧秒的进动，水星轨道就不停地前移。爱因斯坦算出这一结果后特别高兴，因为他事先知道有这个进动，他希望他的新理论能够解释这个进动，那么就比牛顿的理论优越了。在给洛伦兹和其他朋友的信当中，爱因斯坦说：“我的新理论算出了水星轨道近日点的进动，我高兴极了。你们知道我有多高兴吗？我一连几个星期都高兴得不知道怎么样才好。”水星轨道近日点进动是支持他的广义相对论的最重要的实验。因为它在二级近似上得到了精确的结果。
光线偏折
还有一个检验爱因斯坦理论的实验——光线偏折。按照广义相对论，太阳的存在会造成时空弯曲。图2-8中显示，在地球上的人看来，一颗恒星射来的光，如果没有太阳存在，走的是直线，光来自图中黑星所示的它的真实位置。有太阳呢，时空弯曲会使星的图像出现在图中白星所示的表观位置。这叫光线偏折。不过根据万有引力定律也能算出光线偏折，为什么呢？一个光子路过太阳附近，在重力场中下落，它应该走一条抛物线，所以光子的路径也应该弯曲，但两种解释的偏转角不一样，相对论预言的偏转角是牛顿理论预言的偏转角的两倍。
图2-8 光线偏折
在1915年发表广义相对论时，“一战”正在进行，战争中，英国、法国和德国都死了很多的人，民族仇恨非常严重。为了减弱民族仇恨，增进英德人民之间的友谊，战后英国人拿出了一笔钱，说是要资助一些项目，这些项目要能够增进英德两国人民之间的友谊。爱丁顿教授就出来说要这笔钱，申请这笔钱检验爱因斯坦的广义相对论。他说广义相对论是德国的爱因斯坦提出来的，现在由我们英国人来检验，这不就能够增进两国人民的友谊吗？他拿到了这笔经费。
不过观测太阳附近的光线偏折有点困难，有太阳的时候，你怎么拍这个照片，大白天的，那么亮，根本拍不了。有没有办法能拍照呢？日全食！是吧？当时，1919年恰好有日全食，爱丁顿带了一个观测组到西非的普林西比，还有一个助手带了另一个组到巴西。爱丁顿在西非的普林西比，遇到阴天，你看倒霉不倒霉，日全食的时候是阴天。不过就在日全食结束前几分钟，来了一阵风把乌云刮开了。哈呀！真是高兴极了，他们立刻抓住这几分钟的时间连续拍了15张照片。
巴西那个组倒是遇上了好天气，顺利地拍下了照片。但拍得的照片却令他们失望。日全食时那里是艳阳天，按理说应该得到很好的观测结果，但是因为天气太好，阳光把仪器晒得太热了，以致照片发生了变形。不过，他们把照片形变造成的误差排除后，也得到了可用的结果。
没有太阳的情况怎么拍呢？是这样的，地球绕着太阳转，日全食的时候太阳背后的星空，半年之后地球转到太阳的另一边时，就在夜间出现。所以你几个月后就可以在夜间拍照片，拍那个不存在太阳的星空。两组照片一比较，就可以得出偏转角了。
结果出来了，两个小组测得的偏转角与广义相对论都符合得很好，都得到了与广义相对论预言一致的结果。爱丁顿在报告中说：“根据牛顿的理论，偏转角是0.875弧秒；根据爱因斯坦的理论，偏转角是1.75弧秒。两个组观测到的偏转角分别是1.61弧秒和1.98弧秒，实验观测支持了爱因斯坦的广义相对论。”有人问爱因斯坦：“您有什么感想？”爱因斯坦说：“我从来没想过会是别的结果。”他非常自信。
广义相对论是爱因斯坦最得意的成就，他说：“狭义相对论如果我不发现，五年之内就会有人发现。”因为很多人都接近狭义相对论的发现了。“广义相对论如果我不发现，50年之内也不会有人发现！”确实，除去爱因斯坦之外，没有任何人接近广义相对论的发现，他几乎是单枪匹马地完成了这一杰作。