1.3 分数维是怎么回事？

了解了更多有关分形的知识之后，三个好朋友：张三、李四、王二又凑到了一块儿，返回去思考和探索1.1节留下的问题：分数维到底是怎么回事呢？

张三说，在经典几何中，是用拓扑的方法来定义维数的，也就是说，空间的维数等于决定空间中任何一点位置所需要变量的数目。例如，所谓我们生活在三维空间，是因为我们需要三个数值：经度、纬度和高度来确定我们在空间的位置。对于一个二维空间，比如在地球这个球面上，则需要两个数值来确定一个物体的位置。当我们开车行驶在某一条高速公路上，汽车的位置只需要用一个数——出口的序号数就能表示了，这是一维空间的例子。

如上面所定义的拓扑维数，如何用分数维数才能解释像皮亚诺图形、科赫雪花、分形龙这些奇怪的几何图形呢？

维数概念的扩展，要归功于德国数学家费利克斯·豪斯多夫（F.Hausdorff,1868—1942）。豪斯多夫在1919年给出了维数新定义，为维数的非整数化提供了理论基础［5］。

“豪斯多夫！我读过他的故事。他后来是自杀的……”王二在三个朋友中年纪最小，急不可耐地插了几句。

“豪斯多夫是拓扑学的创始人。第二次世界大战开始后，纳粹当权，豪斯多夫是犹太人，但他认为自己做的是纯数学，在德国已经是令人敬重的大教授，应该可以免遭迫害。但是事非所愿，他未能逃脱被送进集中营的命运。他的数学研究，也被指责为属于犹太人的、非德国的无用之物。1942年，他与妻子一起服毒自尽。”

不等王二说完，李四便抢着接下去：“这是科学家不懂政治而造成的悲剧。不过，我们还是回到豪斯多夫的数学上吧。张三说得一点没错，因为变量的数目不可能是一个分数，因此，按照这种拓扑方法定义的维数，当然只能是整数喽！但是，分形的维数是用另一种方式定义的……”

李四说，其实，在分形这个名字中，就已经包含了分数维数的玄机。众所周知，经典几何学中，有一维的线、二维的面、三维的体。三维以内，有现实物理世界的物体对应，容易理解，维数大于三的时候，就需要应用一点想象力了，比如加上了时间的四维空间等。但是不管怎么样，经典几何的维数总是一个整数，将经典的三维空间扩展想象一下，一维一维地加上去就可以了。而分形几何中的维数，却包含了分数维在内，这也就是分形名称的来源。

“如何定义和理解分数维呢？首先，让我举几个例子，慢慢解释给你们听！”李四洋洋得意地看着两个师弟说。李四学的是物理，并且已经是大学四年级的学生，比两个朋友多读了几年书，讲起课来头头是道。

“在分形几何中，我们将拓扑方法定义的维数，扩展成用与自相似性有关的度量方法定义的维数。在1.1节中我们不是已经介绍过花菜的结构和分形龙的自相似性吗？其实，经典整数维的几何图形，诸如一条线段、一个长方形、一个立方体，也具有这种自相似性，只不过，它们的自相似性太平凡而不起眼，被人忽略了而已。”

王二眨巴着大眼睛，不甚明白的模样：“你的意思是说：线、面、体……这些我们常见的整数维几何形状，也算是分形？”

李四点头：“当然，也应该是这样嘛。就像实数中包括了整数一样，扩展了的分形维数定义当然也包括了整数维在内。你听我先解释一下如何用自相似性来定义维数吧……

根据自相似性的粗浅定义：‘一个图形的自身可以看成是由许多与自己相似的、大小不一的部分组成的’，我们来观察普通整数维图形的度量维数。

比如说，如图1.3.1所示，（a）一条线段是由两个与原线段相似、长度一半的线段接成的；（b）一个长方形，可以被对称地剪成四个小长方形，每一个都与原长方形相似。也就是说，长方形自身可以看成是由4个与自己相似的，大小为四分之一的部分组成的；（c）一个立方体，则可以看成是由8个大小为自身八分之一的小立方体组成的。

仍然利用上面的图，用自相似性来定义的维数可以如此简单而直观地理解：首先将图形按照N∶1的比例缩小，然后，如果原来的图形可以由M个缩小之后的图形拼成的话，这个图形的维数d，也叫豪斯多夫维数，就等于：

图1.3.1 用度量方法定义的维数（彩图附后）

不难看出，将上述方法用来分析直线、平面、空间，分别得到d＝1、2、3。见图1.3.1中的（a）、（b）、（c）。

现在，我们可以用同样的方法来分析科赫曲线的维数，就像图1.3.1中的（d）所示：首先，将科赫曲线的尺寸缩小至原来的三分之一；然后，用4个这样的小科赫曲线，便能构成与原来一模一样的科赫曲线。因此，根据公式（1.3.1），我们得到科赫曲线的维数d＝ln（4）/ln（3）＝1.2618…，这就说明了，科赫曲线的维数不是一个整数，而是一个小数，或分数……”

“等一等，我想用这个公式算算我这个分形的维数……”张三一边用笔在本子上画着什么一边说。