第四节 分散化决策
制造商和零售商签订惩罚—补偿契约，零售商为Stackelberg主从博弈的领导者。即零售商为防止制造商生产过低而导致其订购量得不到保障，要求对制造商供货不足进行惩罚，同时零售商为鼓励风险规避制造商增加生产投入，愿意对其生产过剩部分给予一定补偿。事件序列如下：零售商提供惩罚—补偿契约，制造商接受契约；由于制造商是风险规避的，在生产周期前，零售商根据制造商的产出率和风险规避系数发出订购需求；制造商收到订购信息后，根据自身产出率的预期和风险规避系数投入生产；生产发生，实际产出确定；当实际产出大于零售商订购量时，制造商以批发价格交付q，剩余产品以折扣价格交付；当实际产出小于订购量时，以批发价格交付TQ，不足订购量部分以单位惩罚成本支付给零售商。
本小节主要对制造商和零售商的生产量和订购量的纳什均衡分析。首先，运用逆推归纳法[6]（Backward Induction）求出制造商生产量关于零售商订购量的反应函数；然后，零售商根据制造商的反应函数确定其最优订购量；最后，确定制造商生产量和零售商订购量的均衡解。
一 制造商的生产决策模型
在惩罚—补偿契约下，对于零售商的订购量q，设风险规避制造商的生产投入量为Q，则实际产出量为TQ。当TQ 大于q时，制造商以价格w交付q，以折扣价格w1交付剩余（tQ-q）部分；当实际产出TQ 小于q时，制造商以价格w交付TQ，同时以价格s1支付（q-tQ）部分的惩罚费用。因此，制造商的利润函数为：
由此可得制造商的期望利润函数为：
情况1：如果
，那么制造商的利润函数为
，令
，则
。由于
是t的严格增函数，因此：（1）如果
，那么当t＜t1时，有
；当
，有
；（2）如果
，那么当
，有
。
情况2：如果
，那么制造商的利润函数为
，令
，则
。由于
是t的严格增函数，因此：（1）如果
，那么当
时，
；（2）如果
，那么当
，有
；当t＞t2，
。
比较以上两种情况可得：
命题3.1（1）如果
，那么当
时，πm（Q）≥0，当
时，πm（Q）＜0；
（2）如果
，那么当
时，πm（Q）≥0，当
时，πm（Q）＜0。
命题3.1给出了风险规避制造商期望利润值为负值或正值的条件，命题也表明制造商在产出率t很低时总将面临期望利润负值。进一步，由命题3.1可得风险规避制造商的期望效用函数为：
则制造商的决策问题为：
引理3.1 制造商的期望效用E｛U[πm（Q）]｝是其生产投入量Q的凹函数。
证明：由式（3-6）可知：
（1）如果
，那么：
因此，
（2）如果
，那么：
因此：
综上，可知E｛U[πm（Q）]｝是Q的凹函数。证毕。
命题3.2 产出随机和需求确定情况，风险规避制造商在惩罚—补偿契约下的最优生产投入量Q*（q）满足：
（1）如果
，则：
（2）如果
，则：
证明：由引理3.1可知，存在唯一的生产投入量使得风险规避制造商的期望效用最大。分别在
和
情况下，令dE｛U[πm（Q）]｝/dQ=0，得到式（3-7）和式（3-8）。证毕。
命题3.2表明风险规避制造商的最优投入生产量Q*由零售商的最优订购量q*、产出率分布Φ（t）、生产成本c、批发价格w、折扣价格w1、单位惩罚值s1和风险规避水平γ决定。式（3-7）和式（3-8）表明不同
对应不同反应函数。
命题3.3 Q*（q）是零售商订购量q的线性增函数。
证明：由式（3-7），令：
可知：
由隐函数求导法则，可知：
同理，由式（3-8），令：
可得：
由隐函数求导法则，可知：
综上，Q*（q）是零售商订购量q的线性增函数。证毕。
命题3.3表明风险规避制造商的最优生产量Q*是零售商订购量q的线性增函数，此结论与制造商为风险中性时情况相一致。
由此，可令：
由式（3-7）可得线性因子δγ1满足：
由式（3-8）可得线性因子δγ2满足：
特别地，令δ1表示制造商为风险中性时的线性因子，即γ=1，则由式（3-10）和式（3-11）可得δ1满足
。因此，可得：
命题3.4（1）如果
，那么当δγ1＜δ1时，
；如果
，那么当δγ1=δ1时，
；如果
，那么当δγ1＞δ1时，
。
（2）如果
，那么当 δγ2＜δ1时，
；如果
，那么当δγ2=δ1时，
；如果
，那么当δγ2＞δ1时，
。
证明：由式（3-10），令：
由隐函数求导法则可知：
通过
与式（3-10）可得命题3.4的（1）。
由式（3-11），令：
由隐函数求导法则可知：
通过
与式（3-11）可得命题3.4的（2）。证毕。
命题3.4表明，当制造商是风险规避时，线性因子δγ1（δγ2）可能小于、等于或大于风险中性时的线性因子δ1。也就是说，在惩罚—补偿契约下，风险规避制造商的最优生产量可能小于、等于或大于风险中性时的最优生产量。
命题3.5 δγi（i=1，2）是批发价格w和惩罚价格s1的增函数，是生产成本c的减函数。
证明：由式（3-10），令：
由此可得
同样方法，可得
，
和
，
和
。证毕。
命题3.5表明，δγi（i=1，2）随着批发价格w和单位惩罚值s1的增加而增加，随着生产成本c的增加而减少。
二 零售商的订购决策模型
惩罚—补偿契约下，零售商的决策变量为q。当制造商实际产出量TQ*小于q时，制造商与零售商的产品交割量为TQ*，并以价格s1获得（q-TQ*）部分的处罚收益；当制造商的产出量TQ*大于q 时，零售商与制造商以价格w交付q，以价格w1交付剩余（TQ*-q）部分。因此，零售商的期望利润为：
式（3-12）右边的第1项为产品销售给消费者获得的收益；第2项为制造商支付的惩罚收益；第3项为以批发价格采购的正常采购成本；最后一项为超过订购量的折扣采购成本。
式（3-12）改写为：
由于Q*（q）=δ γi q（当
时，i=1；当
，i=2），因此：
则零售商的决策问题为：
引理3.1 零售商的期望利润E[πm（q）]是定购量q的凹函数。
证明：由式（3-13）可得：
因此，E[πr（q）]是q的凹函数。
命题3.6 惩罚—补偿契约下，产出随机和需求确定的零售商最优订购量q*满足：
其中，当
时，i=1；当
，i=2。
证明：由引理3.1可知，存在唯一的订购量使得零售商的利润最大化。令dE[πb（q）]/dq=0，得到式（3-14）。证毕。
命题3.6表明零售商的最优订购量q*由产出率分布Φ（t），制造商风险系数δγi，零售价格r，批发价格w，惩罚成本s1和单位折扣价w1决定。
命题3.2和命题3.6表明，产出和需求确定的零售商和制造商的订购量和生产投入量在惩罚—补偿下的纳什均衡存在且唯一。基于上述结果，下面通过与集中决策情形相比较，研究供应链的协调问题。