第二篇 测量与定量语言
第五章 科学中的三种概念
科学的概念，如同日常生活的概念一样，可以方便地划分为三大类：分类的概念、比较的概念和定量的概念。
我用“分类的概念”来简单地表示将一客体放入一定的类中这样的概念。所有的植物学的和动物学的分类学上的概念——不同的种、科、属等——都是分类的概念。它给予我们关于一客体的信息量异常广泛。例如，如果我说某一客体是蓝色的，或者是暖的，或者是立方体的，我是在做出关于客体的相对弱的陈述。将客体放入比较狭隘的类中，关于它的信息便增长了，尽管这增长仍是比较有限的。一个客体是一个生物体的陈述，比起一个客体是暖热的陈述告诉我们关于这客体的更多一些的东西。“它是一个动物”就说了更多一点的东西。“它是一个脊椎动物”，就说得更多了。随着类继续走向狭窄——哺乳动物，狗，长卷毛狗，等等——我们得到不断增加的信息量，尽管这信息量相对来说仍然是少的。分类概念对于我们来说是最为熟悉的。小孩学到的最初的一些词——“狗”“猫”“屋”“树”等——都是这一类概念。
在传达信息方面比较有效的是“比较概念”。它起着在分类概念和定量概念之间的媒介物的作用。我想，对这种概念给以注意是合适的，因为甚至在科学家中间，这种概念的价值和力量是常常被忽略的。科学家常常说：“定量的概念，可用一定标度加以测量的概念，引进我们的领域当然会是很称心如意的；不幸，现在还不能这样做。这个领域只处于它的幼年时期。我们还没有发展出一套测量的技术，因而我们只能限于使用非定量的定性的语言。也许在将来，当这个领域比较发展起来的时候，我们将能够提出一种定量的语言。”在做这样的陈述时，这个科学家也许是非常正确的；但是，如果他得出这样的结论，认为由于他必须用定性的词语来讲话，所以他必须将他的语言限于分类概念，那就是不对的了。常常有这样的情况，在定量概念能引入科学领域之前，是引进比较概念，它对于描述、预言和解释来说，比之粗糙的分类概念，是更为有效的工具。
分类的概念如“暖”或“冷”，仅仅将客体置于一个类中，而比较的概念，如“比较暖”或“比较冷”，借助于多于或少于的词，告诉我们一个客体与另一个客体有怎样的关系。在科学提出可测量的温度概念之前很久，就可以说“这个客体比那个客体暖热些”。这类比较概念是极为有用的。例如，假定有35人申请一个要求有某种技能的工作，而公司有一个心理学家，他的任务是确定这些申请者们合格的程度怎样。的确，分类的判断比之全然没有判断好一些，他能够决定，有5个申请者有好的想象力，而10个申请者想象力低，其余的人想象力不高不低。用类似的方法，他可以按照他们的操作技巧、数学能力、感情上的稳定性等对这35人做粗略的分类。当然，在某种意义上说，这些概念可以作为较弱的比较概念来使用；我们可以说，有“好想象力”的人在这种能力上高于“想象力贫乏”的人。但如果这个心理学家能提出一种比较的方法，置所有35人于每种能力的等级序列中，则我们关于他们比起当我们只对他们分为强、弱、中间三类时知道得详细得多了。
我们永远不要低估比较概念的用处，特别在那些科学方法和定量概念还没有提出来的领域更是如此。心理学越来越多地运用定量概念，但仍然存在着很大的心理学领域，在那里只可以用比较的概念。人类学几乎没有定量的概念。它更多地与分类概念打交道并且需要经验标准，运用它来提出有用的比较概念。在这样的领域，提出这样的概念是重要的，它比起分类概念强有力得多，即使它仍不能做出定量的测量。
我十分高兴地向你们推荐卡尔·G.亨普尔和保罗·奥本海姆的专著Der Typusbegriff im Lichte der neuen Logik。它出版于1936年，其题义是“从现代逻辑观点看的类型概念”。作者特别谈及心理学和有关领域，在那里正如作者所强调的，类型的概念是贫乏的。当心理学家花费他们的时间，比如说，将个人分为外倾性格的人、内倾性格的人、居于外倾和内倾之间的中间类型以及其他类型时，他们并没有做出了他们所能做的最好的东西。我们到处都发现引进能导出数值的经验标准的各种努力，如威廉·谢尔登的人体类型学中所干的那样，不过亨普尔和奥本海姆写他们的专著时，这类事物是非常少的。几乎所有讨论性格、素质以及气质的心理学家，都有他们自己的类型系统。亨普尔和奥本海姆指出，所有这些不同的类型概念都与分类概念差不多。他们强调这样的事实，虽然引进测量和定量概念将会是不成熟的，但如果心理学家制定可行的比较概念，这将会向前跨进一大步。
常遇到这样的情况，一种比较概念以后变成为定量概念的基础。一个经典的实例乃是“较暖的”概念，它终于发展为“温度”概念。在我们详述给数量概念制定经验标准的方法之前，看一看对于比较概念建立什么样的标准会是有用的。
作为例证，我们考察一下在可能给出数值以前的重量概念。这时我们只有较重、较轻和等重这些比较概念。什么是我们所需要的经验程序，借助于它我们能取任意两个客体并确定怎样用这三个概念来比较它们呢？我们需要的只是一个平衡天秤和下列两条规则：
（1）如果两客体在天平上彼此平衡，则它们等重。
（2）如果这些客体不平衡，则沉下的秤盘中的客体重于上升的秤盘中的客体。
严格说来，我们仍然不能说一个客体“大大地重于”另一个客体，因为我们仍然没有弄明白重的定量概念；不过在实际的实验上，尽管仍没有获得给这概念定出数值的方法，这样的语言还是可用的。例如。刚才我们讲到一个人比另一个人有“较大的想象力”，尽管不能给想象力以数值。
在平衡天秤的例解中，以及在所有其他为建立比较概念的经验程序中，在这些程序的纯粹约定的方面和这些程序的因依赖于自然事实和逻辑规律而造成的非约定的方面之间做出区别是重要的。为了看出这个区别，让我们比较形式地陈述这两个规则，运用这两个规则，我们定义等重、重于和轻于等比较概念。对于相等，我们需要一种规则，以便定义对应于相等的可观察的关系，我们称之为“E”；对于其他两个概念，我们需要一种规则来定义我们称之为“少于”的关系，符号化为“L”。
E关系和L关系用经验程序来定义。我们将两个物体置于平衡天秤的两个秤盘上。如果我们观察到天秤保持平衡，我们说对于重量的性质，关系E在两物体之间成立。如果我们观察到一个秤盘上升另一个秤盘下降，则我们说，对于重量的性质，关系L，在两物体之间成立。
看来我们好像采取了一种完全约定的程序来定义E与L，但情况并不是这样。除非我们选择的两种关系满足一定的条件，否则它们不能作为E与L充分起作用。因此，它们不是任意选择的关系。我们的两种关系被运用于所有具有重量的物体。这一组客体的集合是我们的比较概念的“定义域”。如果关系E与L对这个定义域成立，则将所有定义域里的客体，排列成一种有层次的结构，有时被称为“准连续排列”，必定是可能的。这可用关系逻辑的某些术语来做出很好的解释。例如，关系E必定是“对称的”（若它在任意两物体a与b之间成立，则它也在b与a之间成立）。它也必定是“可迁的”（若它在a与b之间以及b与c之间成立，那它必定在a与c之间也成立）。我们可用点来表示物体、双箭头表示相等关系来将此图示出来。
清楚的是，若我们为E选择一种非对称的关系，就不会满足我们的目的。我们必定会说一物体准确地具有与另一物体相同的重量而另一物体则不具有与前一物体相同的重量。的确，这不是我们想用“相同重量”一词的用法。天秤的平衡是一对称关系。如果两物体平衡，在我们调换它们在秤盘中的位置之后，它们继续保持平衡。所以E必定是对称关系。类似的，我们发现，若a与b在秤盘中平衡，而b平衡于c，则a会平衡于c；因而关系E也是可迁的。若E既是对称的也是可迁的，则它必定也是“自反的”；这就是，任何客体在重量上自身相等。在关系逻辑中，一种既是对称又是可迁的关系叫作“等价”关系。我们选择关系E明显不是任意的。我们选择天秤的平衡为E，因为我们观察到这种关系是等价关系。
关系L不是对称的，它是非对称的。若a轻于b，则b不轻于a。L是可迁的：若a轻于b，而b轻于c，则a轻于c。这个L的可迁性，像关系E的性质一样，对于我们是如此熟悉，以至于我们忘记了我们必须做出经验的检验来确信它适用于重量概念。我们置a与b于天秤两秤盘上，而a下降。我们置b与c于秤盘上，而b下降。若我们置a与c于这两个秤盘上，我们期望a下降。在一个不同的世界上，那里我们的自然定律不成立，a会向上升；如果是这样，则我们已检验的关系不能称为可迁的因而也不能作L起作用。
我们可以用从一点到另一点的单向箭头来图示关系L，那可迁的与非对称的关系是：
如果关系E与L对定义域中所有个体成立，则排列所有客体于如图5—1所示的准连续序列中必定是可能的。在最低层级中，即在层次A中，我们有等重的但轻于所有不在这层次中的客体的客体。可能只有一个这样的客体，也可能有千千万万个。图5—1表示出4个。在层次B中，我们有另一个等重客体集，它们彼此的关系是E，它们全部重于A层次中的客体，而轻于所有不在A或B中的客体。这些层次继续向上，直至我们最终到达那最重客体的层次。除非经验检验表明定义域的客体能处于这种准连续的排列中，否则关系E与L对于分别定义等重和不重于的比较概念来说是不合适的关系。
图5—1
在亨普尔的专著《经验科学中概念形成的基本原理》[1]一书第十节和第十一节中，你们会找到关于这个问题的极为详细的讨论。他说，E与L必须满足下列四个条件：
1.E必须是一个等价关系。
2.E与L必须互相排斥。没有任何两个物体可以是等重的同时又是具有一个轻于另一个的关系的。
3.L必须是可迁的。
4.对于任意两客体a与b，下列三种情况之一必须成立（实际上，说至少有一个成立就足够了，它可从其他有一个成立的条件中推导出）。
（a）E在两客体之间成立。
（b）L在a与b之间成立。
（c）L在b与a之间成立。
换句话说，任何两个具有重量的客体a与b或者重量相等，或者a轻于b，或者b轻于a。
如果两种关系E与L满足这四个要求，我们就可以说，它们组成一个准连续序列，它可以以图5—1所表示的有层次的方式图示出来。借助于等价关系E，我们能将所有客体划分为等价类；然后，借助于关系L，我们能部署这些类于一连续的序列中并以这种方法提出有序层次的整个图式。这里我要强调的一点是，完全撇开它是否适用于自然界的事实这个问题不谈，比较概念由关系逻辑结构界定。
分类概念的情况就不是这样。在定义一个类的概念时，我们可以指明我们所喜欢的任何条件。当然，如果我们包括了逻辑矛盾的条件，例如，我们说重三磅同时又少于一磅的物体，则我们是在定义一个在任何可能世界中都没有元素的类。除此之外，我们可以以我们想要的任何连贯一致的方式来定义一个类，不管这个类在我们的世界里是否具有元素。这种类的实例是独角兽的概念。我们把它当作一种身体似马的但额上有直角的动物来定义。在给予“独角兽”一词以意义这个意义上说，这是一个完全好的定义。它定义了一个类。它对于动物学家来说并不是一个有用的类，因为在经验的意义上说，它是空的——它无元素——但这不是逻辑学家解决的问题。
至于谈到比较概念，情况便完全不同了。不像类的概念，它包含了一个逻辑关系的复杂结构；如果我们引进它，我们不能自由去拒绝或修改这个结构。亨普尔所说的四个要求必须被满足。因此，我们看到，存在着两条道路，在那里科学的比较概念都不是完全约定的：它们必须适用于自然的事实，以及它们必须符合关系逻辑结构。
现在我们转到“定量概念”。每一个定量的概念都有一对相对应的比较概念，在某一科学领域的发展中它通常作为走向定量的第一步而起作用。在我们已引用的实例中，轻于或等重的比较概念容易引导到能测量和能用数字表示的重量概念。我们将讨论定量概念的性质，为什么它们如此有用，在哪些领域它们可以被应用，以及是否存在着一些领域，在那里它们不能被应用。这后一点在科学方法论中是极为重要的，并且由于这个理由，我们将极详细地讨论它。但在着手处理这个问题之前，我将做出初步的一般论述，它使我们讨论的课题更清楚一些。现在我就来讲这个问题。
首先，我们必须强调，定量和定性之间的区别并不是性质上的区别，而是在我们的概念系统中的区别。我们可以说，如果我们用语言来表示概念系统的话，这种区别是在我们语言中的区别。我这里用的“语言”一词，是逻辑学家所用的，并不是在这种意义上使用的：英语是一种语言而中文是另一种语言。我们有物理学的语言、人类学的语言、集合论的语言等。在这个意义上说，一种语言由词汇规则、造句规则、从这些句子做逻辑演绎的规则以及其他规则组成。出现在科学语言中的概念种类是极为重要的。我要搞清楚的就是定性与定量的区别是语言之间的一种区别。
定性语言限于谓词（例如“草是绿的”）；而定量语言引进所谓函子符号，即有数值的函数符号。这是重要的，因为认为自然界有两种特征：质的和量的，这种观点流传很广，特别是在哲学家中间更是如此。有些哲学家坚持说，由于现代科学的注意力越来越限制于量的特征，所以现代科学忽视自然界的质的方面，从而给出了一幅完全被歪曲了的世界图景。这个观点是完全错误的，如果我们引进性质地位的区别，则我们可以看出这个观点是错误的。当我们注视自然界，我们不能问：“这里我所看到的现象是定性的现象还是定量的呢？”这不是一个正确的问题。如果什么人用一定的词语来描述这些现象，定义这些词语，并向我们给出它们的运用规则，则我们可以问：“这些词是定量的语言还是准定量的语言，定性的语言？”
另一个重要观点是，在引进定量概念时约定起了非常大的作用。我们绝不应小看这种作用。另一方面，我们必须小心谨慎，不要过分估计这种约定的方面。人们并不常常这样做，不过有少数哲学家已经这样做。在德国，雨果·丁格尔是一个例子。他采取了一种我认为是错误的、完全约定主义的观点。他说，所有的概念，甚至科学的规律都是约定的事情。依我的观点，这走得太远了。彭加莱在这个极端激进的意义上也曾被人指责为约定主义，但我想，这是没有正确理解他的著作。他的确常常强调约定在科学中起的重要作用，但他同样很好地觉察到起作用的经验因素。他知道，在创立科学系统时，我们并不总是自由地做出任意选择；随着我们发现自然界的事实，我们必须使我们的系统适应于自然界的事实。自然界提供了处于我们不能控制的状态的因素。彭加莱只在这个意义上可以被称为约定主义者，就是他是一个比起先前的哲学家更强调约定的伟大作用的哲学家。他并不是极端的约定主义者。
在我们着手研究测量在发展定量概念中的作用之前，我们必须提及，有一个比较简单而又比较基本的定量方法——计数法。如果我们不首先有计数的能力，我们将不能测量。计数除了包括非负整数外，不包含什么别的东西。我之所以说“非负整数”而不说“正整数”，因为如果我们取广泛充分的意义上的计数，则零也是计数的结果。给出一个有限的类——比如说这房间的所有椅子的类——计数是我们借以决定类的基数的方法。我们数这些椅子——1、2、3等——直至数完，数到20。假定我们要数一数在一房间中钢琴的数目，我们四周环视，没看到钢琴，于是我们说其基数为零。这可以看成是计数的退化情况。在某些情况下，零是一个整数并可以作为基数运用于一个类中。在这种情况下，我们通常称它为空类。
同样的计数程序给予我们有限的连续事件的基数。我们数出在暴风雨中我们所听见的雷声的次数或时钟敲打的次数。似乎这类计数在历史上早于同时事物类（如房间中的椅子）的计数。事实上，儿童最先学计数也是这个途径。他在房间中走着，当他说出数目字时，他正在触及每一张个别的椅子。他计数的是什么呢？实际上是触及的事件的系列。如果你要一个小孩去数一数远距离的一组树木，他会觉得很难办到，因为对他来说，他难逐一触及这些树，指点这些树木，做出这种触及程序的一种形式。但是，如果他在计算指点着的事件中很小心，确信他指点着每棵树一次并只有一次，则我们说，在树的数目和指点事件的数目之间存在着一个同构。如果这些事件的数目是8，则我们将同样的基数归给远距离树木类的基数。
一个比较大的小孩或成年人可以不用指点就能数清这些树木。但是，除非它是小的数目，例如3或4，那可以一瞥便辨认出来，他集中他的注意于第一棵树，然后另一棵树，等等。这个程序仍然是数连续事件的程序。用这种方法获得的基数实际上是类的基数，这一点可以做出形式证明，不过这里我们不做详细讨论。这个观点是这样：在计算一个客体类时，我们实际上是数了某种其他的东西——事件的一个系列。我们因而在一种同构（事件与客体之间的一一对应）的基础上进行推理并得出结论，事件的基数就是类的基数。
一个逻辑学家常常去寻找有关这样简单事物的如此复杂的情况！甚至计数，这个所有定量方法中的最简单者，在分析之下也转变成并非如它初次表现出来那样简单的东西。但是一旦我们能够计数，我们就能运用规则于测量工作中，如同在第六章中解释的那样。
[1] 见《统一科学的国际百科全书》，芝加哥，芝加哥大学版，1952。