2.4 场论概述
在科学技术和工程问题中，研究的物理量有多个自变量，常常要研究某种物理量在空间的分布和变化规律，数学上引进了场的概念。若空间某个域内每一点都对应有一个或几个确定的物理量，这些量值可表示为空间点位置的连续函数，则称此空间域为场。如果一个物理量具有数量、矢量或张量的性质，那么这个物理量所形成的场就分别称为数量场、矢量场、张量场。聚合物工程中研究温度、压力、浓度、流速、应力、应变等物理量在空间的分布及其变化规律，都要用到“场”的数学处理办法——场论。研究聚合物加工成型的问题，必须使用场论的知识。场除了是位置的函数以外若与时间有关，则该场称为非定常场或非稳定场，与时间无关的称为定常场或稳定场。本节重点介绍稳定场，所得结果适用于非稳定场的每一瞬间情况。
本节从场的数学表达、几何描述和特性等几方面来介绍数量场、矢量场和张量场[1-10]，分为4小节，包括数量场、矢量场、张量场、正交曲线坐标系中场的变化率。
2.4.1 数量场
如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理量的一个确定的数量值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个数量场或标量场。
本小节介绍数量场的几何描述、数学表达和基本运算，包括数量场的域和等值面、数量场的梯度和哈密顿算子两部分。
2.4.1.1 数量场的域和等值面
这里介绍数量场的单连域、复连域和等值面等数学描述。
(1)单连域和复连域
空间域为场，在介绍数量场之前先介绍在三维空间里单连域与复连域的概念。
① 如果在一个空间区域Ω内，任何一条简单闭曲线l，都可以作出一个以Σ为边界且全部位于区域Ω内的曲面S，则称此区域Ω为线单连域；否则，称为线复连域。例如图2.4.1(a)空心球体是线单连域，而图2.4.1 (b)环面体则为线复连域。
② 如果在一个空间区域Ω内，任一简单闭曲面S所包围的全部点，都在区域Ω内（即S内没有洞），则称此区域Ω为面单连域；否则，称为面复连域。例如图2.4.1(b)环面体是面单连域，而图2.3.1(a)空心球体是面复连域。
图2.4.1 单连域与复连域
(a)空心球体(b)环面体
显然，有许多空间区域既是线单连域，同时又是面单连域，例如实心球体、椭球体、圆柱体和平行六面体等。
一个稳定数量场u是场中点M的函数u＝u(M)，当确定了直角坐标系Oxyz后，它是点M(x，y，z)的坐标函数，一个稳定数量场表示为
式中，假定数量函数u＝u(x，y，z)是一个单值、连续函数，且有一阶连续偏导数。
在工程实际中，常用到的数量场有密度场ρ(x，y，z)、温度场T(x，y，z，t)，前者表示某空间中某物质的密度不均匀，后者表示该空间里温度不一致，并且随时间变化。
(2)数量场的等值面
为了直观地研究数量u在场中的分布状况，引入了等值面、等值线的概念。由隐函数存在定理可知，当函数u＝u(x，y，z)为单值，且各连续偏导数
不全为零时，这种等值面或等值线一定存在。等值面是由场中使函数u取相同数值的点所组成的曲面，其方程为
在平面数量场u(x，y)中，具有相同数值的点组成该数量场的等值线
式中，C为常数。C取不同的数值，可得到不同的等值面或等值线。
等值面或等值线充满了数量场所在的空间，而且互不相交。数量场中的每一点都有一等值面或等值线通过。数量场的等值面或等值线用图直观地表示物理量在场中的分布状况。例如聚合物加工成型的温度场中，由温度相同的点所组成的等温面。在平面问题中，例如地形图上等高线、等温线，可以了解到该地区温度的分布情况，还可根据等温线的稀密程度来大致判定该地区在各个方向上温度变化的趋势，较密的地方温度变化较大。
2.4.1.2 数量场的梯度和哈密顿算子
这里介绍数量场的数学物理意义和哈密顿算子，以及梯度的基本运算公式。
(1)数量场的方向导数和梯度
数量场的等值面或等值线描述了场中数量的整体分布情况，不能对其作局部分析。一个函数的变化率可以用该函数的导数表示。为了考察数量场u在场中各个点处的邻域内沿每一方向的变化情况，引入方向导数的概念。数量场u的方向导数表示u沿某个方向的变化率。
定义：设M0为数量场u＝u(M)中的一点，从点M0出发引一条射线l，在l上的点M0的邻近取一动点M，Δl为M0和M的距离。若当M→M0时，下列极限
存在，则称它为数量场u(M)在点M0处沿这个l方向的方向导数。
由定义可知，当Δl→0时，方向导数
是在一个点M处沿方向l的函数u(M)对距离的变化率。当
时，函数u沿l方向就是增加的；当
时，函数u沿l方向是减少的。在直角坐标系中，数量场u(x，y，z)的方向导数由以下定理给出计算公式。
定理：在直角坐标系中，若函数u＝u(x，y，z)在点M0(x0，y0，z0)处可微，cosα，cosβ和cosγ为l方向的方向余弦，则函数u在点M0处沿l方向的方向导数必存在，由下面的公式给出
式中，
和
是在点M0处的偏导数。
推论：若在有向曲线C上取定点M0作为计算弧长s的起点，取C之正向为s增大的方向，点M为C上一点，在M处沿C正向作与C相切的射线，如图2.4.2所示，则在点M处u可微，曲线C光滑，则有
图2.4.2 沿C正向作与C相切的射线
这就是说，函数u在点M处沿曲线C(正向）的方向导数
与函数u在点M处沿切线方向（指向C的正向一侧）的方向导数
相等。
详细证明可参看相关文献[3]。在数量场定义的区域内，从一个给定点出发，有无穷多个方向。显然，沿各个方向的变化率可能不同。函数u(M)沿其中哪个方向的变化率最大，最大变化率是多少？需要引入梯度的概念。方向导数式(2.4.4)中cosα，cosβ和cosγ为l方向的方向余弦，即l方向的单位矢量l0＝cosαi+cosβj+cosγk，令
可将方向导数写成G与单位矢量l0的数量积，得
式中，cos(G，l0)为矢量G与l0夹角的余弦。
由数量积的定义和式(2.4.6)可知，当l0方向与G方向一致时，cos(G，l0)＝1，方向导数取得最大值，其值为
，G的方向就是u(M)变化率最大的方向，其模是这个最大变化率的数值。称G为函数u(M)在给定点处的梯度。一般有如下定义。
梯度的定义：若在数量场u(M)中的一点M处，存在这样的矢量G，其方向是函数u(M)在点M处变化率最大的方向，其模是这个最大变化率的数值，则称矢量G为u(M)在点M处梯度，记作gradu＝G。
可见，梯度的定义与坐标系的选择无关，它仅由数量函数u(M)的分布决定。在直角坐标系中，可表示为
因此，只要求出u(M)在三个正交方向的变化率，就完全确定了梯度。
梯度grad u本身又是一个矢量场，有两个重要的性质。
① 任意方向导数等于梯度在该方向上的投影，写作
＝gradlu。
② 数量场中每一点M处的梯度，垂直于过该点的等值面，且指向函数u(M)增大的一方。由式(2.4.7)可知，在直角坐标系中点M处gradu的坐标
正好是过M点的等值面u(x，y，z)＝C的法线方向数，也就是说梯度是等值面的法矢量，即它垂直于等值面。
梯度是数量场中一个重要概念，在科学技术问题中广泛的应用。若把数量场中每一点梯度与场中的每一点对应起来得到一个矢量场，称为由此数量场产生的梯度场。
(2)哈密顿算子和梯度运算公式
为了书写和运算的方便，哈密顿(Hamilton)引入了劈形算符Δ，称为哈密顿算子。在直角坐标系中，哈密顿算子为
式中，Δ为微分运算符号的矢量，是矢量微分算子。在运算中，它具有矢量和微分的双重性质。
梯度的基本运算公式：
若设C为常数，u，v为数量函数，用梯度定义和函数运算规则可证明以下运算公式[4]。
① ΔCu＝CΔu
② Δ(u±v)＝Δu±Δv
③ Δ(uv)＝uΔv+vΔu
④ 
⑤ Δf(u)＝f′(u)Δu
⑥ 
若u为数量函数，A为矢量函数，有以下运算规则
① gradu＝
② 
③ 
例题2.4.1[7] 求函数u＝xy2+yz3在点M(2，－1，1)处的梯度和在矢量l＝2i+2j－k方向的方向导数。
解：应用式(2.4.7)，有gradu|M＝[y2i+(2xy+z3)j+3yz2k]M＝i－3j－3k
l方向的单位矢量为
得到方向导数为
2.4.2 矢量场
如果在全部空间或部分空间里的每一点，都对应着某个物理矢量的一个确定的值，就说在这个空间里确定了该物理量的一个矢量场。矢量场是用矢量函数表示的三维矢量。聚合物工程中常用的矢量场有力场F(x，y，z，t)，流体运动速度u(x，y，z，t)，热流速率q(x，y，z，t)和传质速率等。
本小节从矢量场的几何描述、数学表达和基本运算等几方面来介绍矢量场[7]，包括矢量线与矢量面、矢量场的通量和散度、矢量场的环量和旋度、三个重要的矢量场4部分。
2.4.2.1 矢量线与矢量面
这里介绍矢量场的数学描述和图形表示。
在矢量场中，分布各点处的矢量A是场中点M的函数A＝A(M)，当取定直角坐标系后，它就成为点M(x，y，z)的坐标函数A＝A(x，y，z)，它的直角坐标表达式为
式中，函数Ax，Ay，Az为矢量A的三个坐标。假定Ax，Ay，Az为单值、连续且有一阶连续偏导数的函数。
为了直观地描述矢量场中矢量的分布状态，引入矢量线和矢量面的概念。在矢量线上每一点处，场中每一个点的矢量都位于该点处的切线上。矢量场中每一点均有一条矢量线通过，如图2.4.3所示。例如流速场中的流线，电场中的电力线和磁力线。
图2.4.3 矢量线
例题2.4.2 已知矢量场A( x， y， z)，确定其矢量线的微分方程。
解：设点M(x，y，z)为矢量线上任一点，其矢径为r＝xi+yj+zk，其微分为
dr＝dxi+dyj+dzk
矢径的微分按其几何意义是在点M处与矢量线相切的矢量。根据矢量线的定义，由于dr无限小，故它必定在点M处与场矢量A＝Ax(x，y，z)i+Ay(x，y，z)j+Az(x，y，z)k共线，即与矢量A(x，y，z)方向一致，有dr×A＝0，即
因此，得矢量场A的矢量线方程
这就是矢量线所应满足的微分方程。求解该方程，可以得到矢量线族。
例题2.4.3 在三维瞬时流动中，速度为u＝uxi+uyj+uzk，确定流速的流线方程。
解：在给定的某一瞬时t，取流场流线上的任一点M，流场中流线上的每一个流体质点的流速方向必定在该点M处与该曲线的切线相重合。由矢量线方程式(2.4.10)，可得流速的流线微分方程
当矢量A的三个坐标函数Ax，Ay，Az为单值、连续且有一阶连续偏导数时，这族矢量线充满了矢量场所在的空间，而且互不相交。
对于场中任一条非矢量曲线 C上的每一点处仅有一条矢量线通过，这些矢量线的全体构成一个通过非矢量曲线C的称为矢量面的曲面，如图2.4.4所示。在矢量面上的任一点M处，场的对应矢量A(M)都位于该矢量面在该点的切平面内。通过一封闭曲线C的矢量面构成一管形曲面，称之为矢量管，如图2.4.5所示。
图2.4.4 矢量面
图2.4.5 矢量管
2.4.2.2 矢量场的通量和散度
这里介绍矢量场的通量和散度数学物理意义，以及散度的基本运算公式。
讨论一个实际的例子，介绍矢量场通量的概念。
例题2.4.4 设有不可压缩流体的流速场u( M)＝u( x， y， z)，求在单位时间内流体向正向穿过S的流量q，即单位时间内穿过此曲面的流体体积流量为qV＝体积/时间。
解：为了简化问题，假定流速场相对密度为1，如图2.4.6所示，在流场取有一有向封闭曲面S，规定法矢量n指向正向，按习惯总是取其外侧为正向。在S上取曲面元素dS，M为dS上任一点，当dS→0时，速度矢量u和法矢量n近似地不变化，这样单位时间dt内穿过dS流体的流量等于
图2.4.6 曲面元素上的流量
式中，dV为斜体体积，其为柱体高与底面积的乘积。
若以n表示点M处的单位法矢量，dS是点M处的一个矢量，其方向与n一样，其模等于面积dS，有dS＝ndS。用un表示速度u在n上投影，这样单位时间dt内穿过dS流体的流量近似地等于以dS为底面积，un为高的柱体体积，流量表示为
dqV1＝undS＝u·dS
在单位时间内向正侧通过整个曲面S的流量用曲面积分表示为
式(2.4.12)的面积分称为流体流动的流量通量，其为数量。
许多学科都使用通量，如物理学中电场的电通量Φe和磁场的磁通量Φm分别为
Φe＝∬SDndS＝∬SD·dS，Φm＝∬SBndS＝∬SB·dS
式中，D为电场中的电位移矢量，B为磁场中的磁感应强度矢量。数学上把这类积分概括为通量。
(1)通量
通量的定义：设有矢量场A(x，y，z)，沿其中某一有向曲面S的曲面积分
称为矢量A(x，y，z)向法矢量n的方向穿过曲面S的通量。
若矢量场中，有n个矢量，则矢量为
，则通量是可叠加的数量，矢量A(x，y，z)向法矢量n的方向穿过曲面S的总通量
以流体流动的流速场u为例说明正通量、负通量和零通量的物理意义。单位时间dt内穿过dS流体的流量等于dqV1＝u· dS，如图2.4.7所示。dqV1＝u·dS>0为正流量，u是从dS的负侧穿到dS的正侧，u与n相交成锐角；dqV1＝u·dS<0为负流量，u是从dS的正侧穿到dS的负侧，u与n相交成钝角。
图2.4.7 流量
(a)正流量(b)负流量
对于总流量qV＝∮SdqV， qV>0流出多于流入，如S为一闭合曲面，在S内必有产生流体的泉源 (源)。 qV<0流出少于流入，在S内有吸入流体的汇 (涵)。 qV＝0流出等于流入，闭合曲面S内的源和汇二者相互抵消，即无源又无汇。
例题2.4.5 用高等数学面积分知识，计算直角坐标系速度矢量u的通量，即流量。
在直角坐标系中，若矢量u＝ux(x，y，z)i+uy(x，y，z)j+uz(x，y，z)k，面积矢量为
dS＝ndS＝dScos(n，x)i+dScos(n，y)j+dScos(n，z)k＝dydzi+dxdzj+dxdyk
则通量为矢量与面积矢量的面积分，得到
式中，dScos(n，x)，dScos(n，y)和dScos(n，z)分别是dS在Oyz，Oxz和Oxy的平面上投影，即分别是Oyz，Oxz和Oxy平面上的面积元。
因此，通量（流量）可具体写成
(2)散度
由(2.4.16)可以计算速度矢量场u(x，y，z)向正侧穿过闭合曲面S流量qV的大小和正负值。该式可宏观地描述该流量。但是，无法了解在闭合曲面S通量的分布情况和变化的强弱程度。为了进一步了解源或汇在S内的分布情况及其强弱程度，需要确定闭曲面通量对体积的变化率，引入矢量场散度的概念和计算方法。
散度的定义：若闭曲面S向其围成的空间区域Ω中某点M无限缩小时，速度矢量场u在这个闭曲面上的通量与该曲面所包围空间Ω的体积之比的极限存在，则称此极限为速度矢量u在点M处的散度，记为
由定义式(2.4.17)可知，速度矢量场的散度是一个数量场，它不依赖于坐标系的选择。散度表示在场中一M点处闭曲面通量对体积的变化率，亦即在M点处对单位体积边界上所穿越的通量，其物理意义表示矢量场在M点处源（汇）的强度。
divu＝0的矢量场u为无源场，divu>0的矢量场u为散发通量之正源场，divu<0的矢量场u为吸收通量之负源场。如果把速度场u中每一点的散度与场中的每一点一一对应起来，就得到一个数量场，称为由此矢量场产生的散度场。
在直角坐标系中，矢量场u＝ux(x，y，z)i+uy(x，y，z)j+uz(x，y，z)k在任一点M(x，y，z)处的散度为
由公式(2.4.18)，可得以下推论：
① 奥—高公式可写成矢量形式
② 若在封闭曲面内处处有divu＝0，则
③ 若在场内某些点或区域上有divu≠0或divu不存在，而在其他点上都有divu＝0，则穿出包围这些点或区域的任一封闭曲面的流量都相等，即为一常数。
利用高等数学中学习过的奥—高公式可以证明式(2.4.19)。这里略去证明。
(3)散度的基本运算公式
若C为常矢量，C为常数，u为数量函数，A，B为矢量函数，可用散度定义和函数的运算规则证明以下运算公式[4]。
① Δ·(C)＝0
② Δ·(CA)＝CΔ·A
③ Δ·( A ± B)＝Δ·A ±Δ·B
④ Δ·(uA)＝uΔ·A+Δu·A
⑤ 
例题2.4.6 有一由圆锥面x2+y2＝z2和平面z＝H(H>0)围成的封闭曲面S，如图2.4.8所示。设速度矢量u＝uxi+uyj+uzk＝xi+yj+zk组成速度场，分别使用面积分和散度公式计算从S内流出S的流量[3]。
图2.4.8 圆锥面和平面围成的封闭曲面
解：① 封闭曲面S由z＝H(H>0)的平面S1和圆锥面S2组成，使用面积分公式计算流量
在平面S1上，有
式中，σ1为S1在Oxy平面上投影区域。
在圆锥面上，因为u⊥n，有
因此，得到流量
qV＝πH3
② 用速度场的散度计算流量，因为散度为
所以，使用体积分计算流量，得
2.4.2.3 矢量场的环量和旋度
这里介绍矢量场的环量和旋度的数学物理意义，以及旋度的基本运算公式。
设力场F(M)，l为场中的一条封闭的有向曲线，τ为l的单位切向矢量，曲线的微分dl＝τdl是一个方向与τ一致，模等于弧长dl的矢量，如图2.4.9所示。在场力F的作用下，一个质点M沿封闭曲线l运转一周时场力F所做的功，可用闭曲线积分表示为
W＝∮lFτdl＝∮lF·dl
图2.4.9 环量的几何表示
数学上把形如上述的一类曲线积分概括成环量的概念。由上式可知，环量是个数量。例如在流速场u(M)中，积分∮lu·dl表示在单位时间内沿闭路正向流动的环流。
(1)环量
环量的定义：设有矢量场A(x，y，z)沿场中某一封闭的有向曲线l的曲线积分
称为此矢量场按积分所取方向沿曲线l的环量。一般规定逆时针方向积分为正。
在直角坐标系中，设速度矢量u＝ux(x，y，z)i+uy(x，y，z)j+uz(x，y，z)k，有弧长
dl＝dlcos(τ，x)i+dlcos(τ，y)j+dlcos(τ，z)k＝dxi+dyj+dzk
式中，cos(τ，x)，cos(τ，y)和cos(τ，z)为l的切向矢量τ的方向余弦，则环量可写成
为了研究环量的强度，引入环量面密度的概念，以速度场为例讨论环量对面积的变化率。在速度场u中一点M处，任取一面积为ΔS的微小曲面ΔS，n为其在点M处的法矢量，曲面ΔS边界线Δl的正向与法矢量n构成右手螺旋关系，如图2.4.10所示。
图2.4.10 边界线的正向与法矢量构成右手螺旋关系
速度场u沿它边界线Δl的正向的环量ΔΓ与面积ΔS之比，当曲面ΔS在保持M点于其上的条件下，沿着自身缩向M点时，若ΔΓ/ΔS的极限存在，则称其为速度场u在点M处沿方向n的环量面密度，即环量强度，记为
在直角坐标系中，设矢量u＝ux(x，y，z)i+uy(x，y，z)j+uz(x，y，z)k，运用高等数学的斯托克斯公式，将曲线积分转化为曲面积分
将上式代入环量面密度定义式(2.4.22)，得到在直角坐标系下环量面密度公式
式中，cosα，cosβ，cosγ为ΔS在点M处的法矢量n的方向余弦。
例如，在流速场u中，
为在M点处与法矢量n成右手螺旋方向的环流对面积的变化率，称为环流密度或环流强度。
环量面密度和数量场的方向导数一样，与方向有关。从场中任一点出发有无穷多个方向，矢量场在同一点对各个方向的环量面密度可能会不同。为了确定其中最大的一个，引入旋度概念。比较环量面密度和方向导数的计算公式，可以看出这两个公式很类似。若令式(2.4.23)中的三个数量
和
构成矢量R，其表达式为
且在给定处，R为固定矢量，则式(2.3.23)可写成
式中，n＝cosαi+cosβj+cosγk。
式(2.4.25)表明，在给定点处，R在任一方向n上的投影，就给出该方向上的环量面密度。当R的方向与n方向一致时，环量面密度取最大数值。由此可见，R的方向为环量面密度最大的方向，其模为最大环量面密度的数值。此时称矢量R就是速度矢量场u的旋度。旋度是一个矢量场，旋度矢量在任一方向n上的投影，等于该方向上的环流密度。
(2)旋度
旋度定义：若在矢量场u中一点M处存在这样的一个矢量R，在点M处，u沿其方向的环量密度的最大数值正好是|R|，矢量R为矢量u在点M处的旋度，记为rotu＝Δ×u＝R。
旋度矢量的上述定义与坐标系的选择无关。在数值和方向上，旋度矢量给出了最大的环量面密度。在直角坐标系中，旋度计算式为
使用式(2.4.26)，将速度场的斯托克斯公式可写成速度矢量形式，有
对于二维平面，速度场中格林定理表达式为
(3)旋度的基本运算公式：
若C为常矢量，C为常数，u为数量函数，A，B为矢量，可用旋度定义和函数的运算规则证明以下运算公式[4]。
① Δ×C＝0
② Δ×(CA)＝CΔ×A
③ Δ×(A ±B)＝Δ×A ±Δ×B
④ Δ×(uA)＝uΔ×A+Δu×A
⑤ Δ·(A×B)＝B·(Δ×A)－A·(Δ×B)
⑥ Δ×(A×B)＝(B·Δ)A－(A·Δ)B+A(Δ·B)－B(Δ·A)
⑦ Δ(A·B)＝(A·Δ)B+(B·Δ)A+A×(Δ×B)+B×(A×Δ)
⑧ Δ×(Δ×A)＝Δ(Δ·A)－(Δ·Δ)A＝Δ(Δ·A)－Δ2A
⑨ rot(gradu)＝Δ×(Δu)＝0
⑩ div(rotA)＝Δ·(Δ×A)＝0
2.4.2.4 三个重要的矢量场
工程中常用无旋场、无源场和调和场来描述流体流动的动量、传热和扩散等问题。这里仅介绍这三个场的定义和相关知识，不展开介绍。有兴趣的读者可参看有关文献[7,8]。
(1)无旋场
定义：若有速度矢量场u(M)，在其所定义的区域里的各点的旋度都等于零，即rotu＝Δ×u＝0，则该矢量场称为无旋场，也称为有势场或保守力场。
由斯托克斯公式的矢量式(2.4.27)，将曲线积分化为面积分，得到
这个事实等价于曲线积分
与路径无关，其积分值只取决于积分的起点M0(x0，y0，z0)和终点M(x，y，z)的位置。大多数聚合物加工成型过程，聚合物流体流动是层流，因此流场是无旋场。
(2)无源场
定义：设有矢量场u(M)，在其所定义的区域里各点的散度都等于零，即divu＝0，该矢量场称为无源场，也称为管形场。
由矢量场的旋度定义很容易证明任何矢量场的旋度所构成的矢量场都是无源场，有Δ·(Δ×u)≡0。矢量场为无源场的充要条件，即在其所定义的区域里对任何闭合曲面的通量等于零。由奥—高公式可知
此式表明无源场在其所定义的区域里，对任何闭合曲面的流量都等于零。例如当不可压缩流体流过管子时，通过任何截面流体的流量都应相等。
例题2.4.7 设管形速度场u所在的空间区域是面单连域，在场中任取一个矢量流管，由流线所组成管形曲面如图2.4.11所示。假定S1与S2是它的任意两个横断面，其法矢量n1与n2都朝向速度矢量u所指的一侧，则有
图2.4.11 矢量管
上式表明，在无源场所定义的区域里取定任意的有向闭合曲面，无源场的面积分只取决于曲面的边界，与曲面的形状无关。在讨论聚合物口模流动时，用到这个概念。
(3)调和场
定义：如果在速度矢量场同时有divu＝0和rotu＝0，则称此速度矢量场u为调和场。亦即调和场是既无源又无旋的速度矢量场。
平面调和场是指既无源又无旋的平面矢量场。与空间调和场相比，它具有某些特殊性质。当研究对象在某一维尺度特别的大，大于另外二维的尺度，也可以说，当研究对象某一维边界的影响可忽略不用考虑时，该问题可简化为平面问题。由于工程中很多问题可以简化为二维问题，在工程中常用到平面调和场。
以一个二维不可压缩流体的平面流动为例，u＝uxi+uyj为无源无旋的调和场。由于
，即有
。由此式得到流线微分方程(stream line equation)式(2.4.11)
流线是同一时刻不同质点所组成的曲线，它给出该时刻不同流体质点的运动方向。流线有以下特点：
① 在某一给定时刻t，流场中任一空间点都有一条流线流过，流场中的流线是曲线族。流线不相交，即流体不能穿过流线流动；
② 非稳定场中任一空间点的流速大小和方向都随时间改变，流线和迹线不重合。但是，稳定场中任一空间点处只能有一条流线通过，流线和迹线重合；
③ 流线疏密表示流速大小，流线密处流速度大。绘出流线图，即表示了流速场。
流体力学中，求解不可压缩流体平面调和速度场u的问题可以转化为求解流函数Ψ(x，y)和速度势Φ(x，y)，u未知数的数目由3个减少到一个Ψ(x，y）或Φ(x，y)。由于在数学物理方程中，拉普拉斯方程研究得比较透彻，给出确定的边界条件，函数Ψ(x，y)和Φ(x，y)是可解的。这里不展开介绍。有兴趣的读者可阅读参考文献，学习拉普拉斯方程的求解方法[7]。在聚合物加工成型过程中，描述聚合物熔体的流动将用到速度场和流线的数学描述。
2.4.3 张量场
聚合物流动和变形要用张量来描述。在全部空间或部分空间里，如果每一点都有一个确定的张量与之对应，就称这个空间里确定了一个张量场。例如聚合物流体运动的不均匀形变，其中各点的应力构成应力张量场T(x，y，z，t)。若应力张量场既是位置的函数，又是时间的函数，此张量场为非定常张量场；与时间无关的张量场为定常张量场。数量场和矢量场都属于张量场。数量是零阶张量，矢量是一阶张量。
本小节仅介绍稳定的二阶张量场，包括矢量场的梯度、张量场的散度两部分。
2.4.3.1 矢量场的梯度
在2.3.1节定义了数量场u(x1，x2，x3)的梯度
且由下列公式可方便地求出数量场对任一方向的方向导数
类似地，可定义矢量场的梯度为
式(2.4.31)所示的是张量。因此在确定了矢量场的梯度ΔA以后，就能运用上式求出矢量场对任一方向的方向导数，有
式中，cosα，cosβ，cosγ为l的方向余弦，即为单位矢量l0的分量。
矢量场A的梯度也可表示为
或表示为矩阵形式
由矢量场梯度的定义可得运算式
例题2.4.8 证明矢量场的全微分dA＝dr·ΔA。
证明：因为矢径的微分为dr＝dx1e1+dx2e2+dx3e3，且矢量A的梯度为
故等式两边相等
例题2.4.9 若u为数量和A为矢量，证明运算式 Δ( uA)＝uΔA+ ΔuA。
证明：按照定义计算
上式两边相等，有
Δ(uA)＝uΔA+ΔuA
2.4.3.2 张量场的散度
前面已经介绍，面元矢量dS与该面元处矢量场点积表示该面元上通过的某种数量。例如dS·u表示通过dS的流量；dS·ε表示单位时间内通过dS的能量。
面元矢量对该面元处张量场的点积表示该面元上通过的某种矢量。例如dS·T表示通过dS的弹性力；dS·P表示单位时间内通过dS的动量。
在2.4.2节介绍了矢量场A在有向曲面S上的通量∬SdS·A。定义矢量场的散度为
用张量运算符表示为
类似地，定义张量场T在有向曲面S上的矢通量为
同理，为了描述闭合曲面矢通量的变化率，引进张量场的散度概念。
张量场散度的定义：在闭合曲面上，张量场的矢通量与该曲面所包围空间的体积之比的极限（当曲面向一点无限缩小时）为张量场的散度，记为divT或Δ·T，即
式(2.4.37)是奥—高公式的另一种表示形式。由矢量变换关系式可证明，Δ·T为矢量。若R，S都为张量，有运算式
拉普拉斯引入了一个数性微分算子Δ，称为拉普拉斯算子，它与哈密顿算子Δ的关系为Δ＝Δ·Δ＝Δ2。矢量场A的拉普拉斯表示式被定义为矢量A梯度场的散度，即
式中，矢量场A的梯度是张量。
矢量场的拉普拉斯算子，其结果为矢量，可以用矢量定义证明，有
在直角坐标系中的表达式
在直角坐标系中，若速度场矢量u＝uxi+uyj+uzk为调和场，用式(2.4.40)计算得到速度矢量拉普拉斯算子的形式
该二阶偏微分方程称为三维拉普拉斯(Laplace)方程，满足拉普拉斯方程的函数称为调和函数。方程式(2.4.31)中可写成Δux，Δuy，Δuz称为调和量。数量场的拉普拉斯算子的结果是数量。
2.4.4 正交曲线坐标系中场的变化率
为了减少流体流动的阻力，提高设备使用的寿命，工程中常常使用管形和球形设备。数学上就要使用正交曲线坐标系来描述这类问题，使用正交曲线坐标系中物理量的梯度、散度和旋度研究问题。工程中最常用的是柱坐标系和球坐标系。
本小节首先介绍柱坐标和球坐标系，然后介绍场的梯度、散度和旋度的表达式[7]，包括正交曲线坐标系、正交曲面坐标系场的梯度、散度和旋度两部分。
如果考虑学时数的问题，这部分内容可以不详细讲解，学会直接使用正交曲面坐标系数量场的梯度、矢量场的散度和散度计算公式。
2.4.4.1 正交曲线坐标系
在空间里的任一点M处，各坐标曲线在该点的切线互相正交，相应地各坐标曲面在相交点处的法线互相正交，即各坐标曲面互相正交，这种曲线坐标系称为正交曲线坐标系。如图2.4.12所示的柱坐标系和球坐标系的三条坐标轴不全是直线。
图2.4.12中的三条坐标轴是互相正交的曲线坐标，属于正交曲线坐标系。下面介绍柱坐标系和球坐标系这两种正交曲线坐标系。以q1，q2，q3表示正交曲线坐标，它与直角坐标系有如下关系
图2.4.12 正交曲线坐标系
(a)柱坐标(b)球坐标
讨论正交曲线坐标的弧微分。空间曲线的弧微分用直角坐标表示为
设空间两点有相同的坐标q2，q3，而另一坐标q1相差微量dq1，两点的距离为
令
代入上式，两点的距离写为
假设有相同的坐标q3，q1，而另一坐标q2两点相差微量的距离dq2，两点的距离为
假设有相同坐标q1，q2，而另一坐标q3两点相差微量的距离dq3，两点的距离为
比较式(2.4.46)、式(2.4.47)和式(2.4.48)，写成统一的表达形式
式中， hi＝hi(q1， q2， q3)称为拉梅 (G.Lame)系数或度规系数。
例题2.4.10 分别确定柱坐标系和球坐标系的拉梅系数、弧长和体积分。
解：利用柱坐标系、球坐标系与直角坐标系的数学关系求解，如图2.4.12所示。
① 柱坐标系的曲线坐标为
q 1＝r，q2＝θ，q3＝z
与直角坐标系坐标x，y，z的关系为
r，θ，z的变化范围分别是
使用式(2.4.49)，得
同理可求出h2＝r，h3＝1。使用式(2.4.50)，得弧长的微分为
柱单元体的单位弧长为
柱单元体的体积为
② 球坐标系的曲线坐标
q 1＝r，q2＝θ，q3＝φ
与直角坐标系的关系为
r，θ，φ的变化范围分别是
使用式(2.4.49)，可求出
h 1＝1，h2＝r，h3＝rsinθ
使用式(2.4.50)，得弧长的微分为
球单元体的弧长为
球单元体的体积为
2.4.4.2 在正交曲面坐标系中场的梯度、散度、旋度和物理量的随体导数
(1)正交曲面坐标系中数量场的梯度
用上面的知识确定曲线坐标梯度的表达式，假设dq2＝dq3＝0，在坐标曲线q1上数量函数u(q1，q2，q3)的微分为
而
即
同理
可见，数量场u(q1，q2，q3)的梯度在q1，q2和q3增长方向的分量分别等于u在这些方向的变化率，计算变化率时考虑距离的度规系数，得到正交曲线坐标系中哈密顿算子Δ表示为
将柱坐标系的度规系数代入式(2.4.62)，得到柱坐标系中数量u梯度表达式为
同理得到球坐标系中数量u的梯度表达式
(2)正交曲线坐标系中矢量场的散度
在正交曲线坐标系中，矢量A的散度为
应用上式，得到柱坐标系中矢量A的散度表达式为
在球坐标系中，矢量A的散度表达式为
(3)正交曲线坐标系矢量场的旋度
在正交曲线坐标系中，矢量A的旋度公式为
将式(2.3.68)应用到柱坐标系中，矢量A旋度为
在球坐标系中，矢量A的旋度为
利用柱坐标系和球坐标系中散度和旋度的表示式(2.4.66)、式(2.4.67)、式(2.4.69)和式(2.4.70)，分别得到柱坐标系和球坐标系中矢量场A的拉普拉斯表达式
在柱坐标系中，矢量场A的拉普拉斯表达式
在球坐标系中，矢量场A的拉普拉斯表达式
对于曲线坐标系中，对数量函数u求梯度后再求散度，得调和量
运用上式得到柱坐标系中调和量
在球坐标系中调和量
(4)正交曲线坐标系物理量的随体导数
在任意正交曲线坐标系中，给出确定物理量随体导数的算符为
由上式，可确定柱坐标系随体导数的算符式(2.3.31)，为
确定球坐标系随体导数的算符式(2.3.32)，为
