2.2 控制网优化设计
2.2.1 优化设计内容
GNSS工程测量控制网与经典控制网相似，需要评定在限定精度、可靠性和费用等目标准则下，寻求控制网设计的最佳极值。GNSS控制网的优化设计是依据测量任务书提出的GNSS网的用途、精度、密度和费用指标，结合国家有关测量规程、规范的规定，经过现场踏勘，在确定的地形、地物、交通等条件下，对GNSS控制网的坐标基准(投影面、投影带)、网形、外业观测调度等方面进行具体设计，并根据所设计的控制网图形和所选择GNSS接收机的精度进行GNSS控制网精度、可靠性的估算。在各种设计方案中选择既可满足精度、可靠性要求，又能使整个建网费用最低，以达到GNSS控制网优化设计的目的。
由于GNSS控制网同经典控制网有诸多不同，导致了GNSS控制网的优化设计不完全等同于经典控制网的优化设计，一般可分为四级。
(1)0级优化设计。即GNSS控制网的基准设计，是在已知GNSS控制网平差模型中的系数阵A和权阵P的基础上，求解协因数阵Qxx的过程。
(2)1级优化设计。即GNSS控制网的图形设计，是在大致确定了总点数、总基线数的基础上，通过网形的优化设计求出数学模型中的系数阵A，以使得Qxx达到设计要求的过程。
(3)2级优化设计。即GNSS控制网观测方案的设计，是在已确定网形，即确定了系数阵A和未知数协因数阵Qxx后，优化设计权阵P的过程。
(4)3级优化设计。即对GNSS网形结构强度的优化设计，是对精度没有达到限差要求的GNSS控制网进行网的加密和改进，使其逐渐达到精度要求的过程。
GNSS控制网优化设计的目的，就是要使控制网有较高的质量。为了衡量网的质量，需要提出若干准则，或称为标准。目前对网的质量主要从以下几个方面来考虑：①网的精度；②网的可靠性；③网的费用；④对于监测网来说，还应考虑灵敏度。
GNSS测量控制网优化设计的过程，就是围绕上述指标(根据网的用途、规模和设计者考虑问题的侧重点，可能以其中一两个指标为主)，选择最合理的布网方案的过程。
2.2.2 优化设计的质量准则
2.2.2.1 精度准则
1.纯量精度标准
GNSS网精度控制的依据是协因数阵Qxx，设坐标未知数向量的协方差阵为
其中第k个新点的坐标协方差为
坐标方差为
反映GNSS网的总体精度是依靠式(2.1)的坐标未知数协方差阵Dxx或协因数阵Qxx。由于矩阵之间通常无法进行比较，因此，为了从GNSS网的总体精度方面决定设计方案的优劣，还不能直接以Dxx或Qxx进行比较，而是由Dxx或Qxx出发推导出一系列用单一的数(这显然有利于最优化模型的建立)来表述GNSS控制网的精度标准：
(1)N最优标准。若Dxx的范数‖Dxx‖满足下式
就称为N最优。
(2)A最优标准。若下式成立
则称为A最优。式中trace(Dxx)是Dxx的迹，代表网的平均方差。λ1,λ2，…,λt，是Dxx的t个非零特征值。实际上f就是Dxx对角元素的和，即为各待定参数方差之和。A最优标准是在各种可选择方案中找到一个各待定参数方差之和最小的优化方案。
(3)E最优标准。若下式成立
则称为E最优。式中λmax是Dxx的最大特征值。E最优标准就是在各种可选择方案中找到一个多维椭球最大长半径最小的优化方案。
(4)S最优标准。若下式成立
则称为S最优。式中λmax-λmin是最大与最小特征值之差，称为矩阵Dxx的频谱间隔。S最优标准实际是在各种可选择方案中找到一个多维椭球最大长半径与最小短半径之差为最小的优化方案。
（5）D最优标准。若下式成立
则称为D最优。式中det(Dxx)是个非零特征值之积，称为网的广义方差或体积准则。D最优标准就是在各种可选择方案中找到一个多维椭球体积最小的优化方案。
(6)F最优标准。若下式成立
则称为F最优。式中λmax、λmin分别是Dxx的最大最小特征值。F最优标准就是在各种可选择方案中找到一个各向同性的多维椭球的优化方案。
以上介绍的是六种不同类型的纯量最优化函数精度标准。这些标准往往相互矛盾，在考虑所谓等价设计和同时设计的情况下按不同纯量精度标准所得的设计结果才能取得一致。在实际工作中，应用最多的是A最优标准。
2.准则矩阵
对于点数较多的大型GNSS控制网，用纯量精度标准作为优化设计的精度准则，有时是难以描述整个GNSS控制网的精度特征的。而准则矩阵则不同，准则矩阵是以一个理想结构给定全部方差和协方差阵，可以描述GNSS网的整体质量和细部结构，避免了纯量精度标准的缺点。用准则矩阵进行GNSS网优化设计时，主要任务及难点在于如何构造合理的准则矩阵。下面介绍几种构造准则矩阵的方法。
（1）格拉法伦德等人根据随机过程理论提出采用泰勒-卡尔曼结构（简称TK结构）作为控制网优化设计的准则矩阵，它要求网的方差-协方差阵D满足均匀性和各向同性，亦即满足下列条件
式中:r1,r2,…，rβ为位置向量;t为平移向量;R为旋转矩阵。
式(2.11)说明，方差-协方差阵D是平移不变量和旋转不变量。具有TK结构准则矩阵的控制网，相应的点位误差椭圆为等半径的误差圆，这对于大地网来说是理想的准则矩阵，而对于工程控制网则很难实现，这是因为工程控制网面积小，边缘点较多，不可能实现均匀性和各向同性。
(2)人们针对工程控制网尤其是变形监测网，提出了具有QSVD结构的准则矩阵(SVD，Singular Value Decomposition，即奇异值分解)，请参阅相关文献。
(3)以间接平差为例，观测误差方程式为
则构成点位精度矩阵为
式中：P为权。
若设网中有n个点，全网可能连接的边为
条，则上式中的N为
式中：Pij为点号i到点号，边长的权，当i=j,Pij=0。
然而GNSS接收机的实际中误差可表示为
式中：K为经验系数。
若对某基线观测了n次，单位权中误差为σ0，则该基线边的权为
需要指出的是，用准则矩阵作为GNSS控制网优化设计的精度指标，在构造准则矩阵的方法上，有待进一步研究。
2.2.2.2 可靠性准则
由于GNSS测量具有很高的内符合精度，能以少量的多余观测来满足网的精度要求，导致多余观测数目减少，GNSS控制网对外部干扰的反应变差。这样，在GNSS控制网设优化设计中，仅按精度准则进行GNSS控制网的优化设计，得到的方案虽然精确，但不一定可靠。
可靠性是指控制网探测出观测值中存在的粗差，以及抵抗观测数据中残存的粗差对平差成果影响的能力。GNSS网的可靠性是通过增加网中多余观测来体现的，多余观测分量越大，检验粗差的能力就越强，可靠性就越高。反之，多余观测分量越小，检验粗差的能力就越差，可靠性就越低。
设r为平均多余观测分量，则有
式中：n为全网的观测总数；t为必要观测量。
在间接观测平差中，改正数(或称为残差)向量可以表示为
V的协因数阵为(顾及Q=P-1)
因此，可以估算出多余观测分量矩阵
R矩阵在GNSS控制网优化设计可靠性分析中具有重要的作用。它具有如下性质：①R矩阵为幂等矩阵，即R2=R；②R矩阵的迹等于控制网多余观测数r，即trace(R)=r；③尺矩阵降秩方阵；④R矩阵的第i个对角元素(R)ii称为第i个观测值的多余观测分量，以ri表示，即ri=(R)ii。
有了多余观测分量就可以进一步研究GNSS控制网的内部可靠性和外部可靠性。鉴于粗差检验是基于对观测值残差(改正数)的参数估计，通过讨论观测值中粗差对改正数向量的影响得知，粗差以ri的百分比反映到相应的观测值改正数中，ri越小，则检验出粗差的可能性越大，这意味着控制网抵制粗差的能力也越大。根据Baarda可靠性理论，GNSS基线向量观测值li的多余观测分量
则有
式中：r为整个网的多余观测数，ri可以反映GNSS控制网发现观测值中粗差的能力，称为内部可靠性；n为总观测值个数；u为未知数个数。
外部可靠性反映的是控制网中未被发现的粗差对平差结果的影响程度，计算公式为
式中：ω0为非中心参数，一般取2.79(显著水平为0.05，检验功效为0.80)。
2.2.2.3 效率准则
在进行GNSS网的设计时，我们经常采用效率指标来衡量某种网设计方案的效率，在采用某种布网方案作业时所需要的作业时间、消耗等。
在布设一个GNSS网时，点数、接收机数和平均重复设站次数确定后，完成该网测设所需的理论最少观测期数就可以确定。但是，当按照某个具体的布网方式和观测作业方式进行作业时，要按要求完成整网的测设，所需的观测期数与理论上的最少观测期数会有所差异，理论最少观测期数与设计的观测期数的比值，称为效率指标(e)。
如果GNSS网的总点数是n，用m台接收机进行同步观测，则该网最小观测期数为
如果重复设站率用R表示，理论最小观测期数为
设实际观测期数为S，则GNSS网的效率指标定义为
式中：e1为理论设计效率；e2为实际效率；e为总效率。
2.2.2.4 费用准则
任何一个测量控制网，如果不顾及费用消耗而追求高精度和高可靠性，都谈不上是优化设计。事实上，几乎所有的测量业务部门都在力求降低成本费用，提高经济效益。
GNSS控制网关于费用准则的优化设计跟经典测量控制网一样，都是从以下两种原则考虑：①最大原则，即在费用支出一定的条件下，使控制网的精度和可靠性最大，或达到足够的可靠性并且精度最高；②最小原则，即在满足网的精度和可靠性指标的前提下，使成本费用能够最小。
这两个原则实际上是一致的，都是为了寻求最优方案。根据原则①，则有
根据原则②，则有
上面两式显然是对偶问题，它们的最优解是相同的。GNSS控制网的总成本可以用公式表示为
在GNSS控制网的优化设计时，不必计算出每项费用指标，而只需考虑其中受方案变动影响而变化的部分就可以了。显然，C观测是优化设计中最重要的费用准则，而C观测取决于GNSS网中点的总数和重复设站率，如果一台接收机一期的平均测量费用为c，则
式中：Sm为实际GNSS网观测期数。而其他各项费用对得到合理的C总影响很大，具有重要意义。
2.2.2.5 灵敏度准则
在GNSS变形监测网优化设计中，除考虑GNSS网的精度、可靠性、效率和费用等准则外，还要考虑一个重要的准则——灵敏度。GNSS控制网灵敏度是研究模型中每个观测值精度变化，对待定参数估值精度和可靠性的影响。灵敏度分析可以应用于GNSS网优化设计中，某观测值的灵敏度大，说明该观测量在控制网中的作用大，可以提高该观测量的观测精度；反之，可减少该观测值的精度，或删除该观测值。
设n个互相独立的基线观测值的权阵为Pi，若将第i个基线观测值的权由Pi改为λiPi，其余权保持不变，新的权阵为
，则两个权阵之差为P″，则P″的主对角线元素只有第i个子块为为 （1-λi）
，是非零子阵，其余均为零子阵。将矩阵P正则分解为
式中：G为三角矩阵；P为对角矩阵。
令B=GB，则得
定义
为精度敏感度系数，记为sdi。根据矩阵反演公式导出精度敏感度系数，即
则全网所有观测值敏感度系数总和为
式（2.36）表明，待估参数的协因数矩阵是全网所有观测值的综合影响。
跟精度敏感度原理一样，多余观测分量ri也受到参与平差所有观测值的影响，也可以定位可靠性敏感度系数，令
为可靠性敏感度，记为Sri(j)。于是，可靠性敏感度计算公式为
式中：hij为矩阵H=B(BTPB)-1BP的元素。
利用敏感度进行GNSS控制网优化设计，可以通过对精度、敏感度的比较，选择对网精度影响较大的观测值或提高这些观测值的精度，也可以通过对可靠性、敏感度的比较，选择对网可靠性影响较大的观测值。
2.2.3 分级优化设计
2.2.3.1 GNSS网的零级优化设计
GNSS测量获得的是GNSS基线向量，它属于WGS-84（或ITRS等）坐标系的三维坐标差，而实际我们需要的是国家坐标系或地方独立坐标系的坐标。所以，在GNSS网的技术设计时必须明确GNSS成果所采用的坐标系统和起算数据，即明确GNSS网所采用的起算基准。我们将这项工作称为GNSS网的零级优化设计或基准设计。
GNSS控制网的基准包括位置基准、尺度基准和方位基准三类。一般来说，对于纯粹的n维空间的几何GNSS测量控制网，当以点位和尺度比作为待定参数，被观测量是边长(或高差)和方向(或角度)时，基准的个数可计算如下：
GNSS控制网的位置基准，又称为平移自由度。它取决于网中“起算点”的坐标和平差方法。确定网的位置基准一般可采用以下3种方法：①选取网中一个点的坐标并加以固定或给以适当的权；②网中各点坐标均不固定，通过自由网伪逆平差或拟稳平差来确定网的位置基准；③在网中选取若干个点的坐标并加以固定或给以适当的权。
GNSS控制网的尺度基准是由GNSS网中的基线来提供的，这些基线可以是地面电磁波测距边或已知点间的固定边，也可以是GNSS网中的基线向量。早期当人们对GNSS的定位成果尚心存疑惑时，常在GNSS控制网中加测若干条电磁波测距边并将其作为长度基准。利用GNSS定位技术对原有控制网进行加密或改造时，若将原网中的若干个控制点作为已知点对GNSS网进行附合网平差，这些已知点间的边长就成为尺度基准。随着GNSS定位技术的发展，大量资料表明，GNSS测量的结果与VLBI、SLR等其他现代空间测量技术的结果能很好地相符，其精度可优于10-8，且没有明显的系统误差，不逊于电磁波测距边。因此，目前均采用GNSS测量所求得的基线作为尺度基准，但在高山峪谷等观测环境较差的工程区域，密测距边可能具有更高精度，依然选择高精度测距边作为尺度基准。
GNSS控制网的方位基准，又称为旋转自由度。它一般是由网中的起始方位角来提供的，也可由GNSS网中的各基线向量共同来提供。利用原有控制网网中的若干控制点作为GNSS网中的已知点进行附合网平差时，方位基准将由这些已知点间的方位角提供。
在GNSS基准设计时，应充分考虑如下问题：
（1）为求定GNSS点在地面坐标系的坐标，应在地面坐标系中选定起算数据和联测原有地方控制点若干个，用以坐标转换。
（2）为保证GNSS网进行约束平差后坐标精度的均匀性，以及减少尺度比例误差影响，要在GNSS网中加测2～3条高精度的测距边作为GNSS网的外部尺度基准。
（3）为保证GNSS解算时获得高精度的基线向量，需要通过解算获取较高精度的空间直角坐标，也可以在GNSS解算之前要将地面精度较高的一个起算点坐标转换到WGS-84、ITRS等与星历相对应的坐标系中，作为GNSS网基线解算时的固定位置基准。
（4）GNSS网经平差计算后，可以得到GNSS点在地面参照坐标系中的大地高，为获得GNSS控制点的正常高，在GNSS网优化设计时要考虑联测高程控制点，联测的高程点需均匀分布于网中，对丘陵或山区联测高程点应按高程拟合拟采用模型的要求进行布设。
（5）新建GNSS网的坐标系应尽量与测区过去采用的坐标系统一致。如采用的是工程独立坐标系统，在GNSS网设计时要了解坐标系统所采用的参考椭球、中央子午线的经度、纵横坐标的加常数、投影面的高程、测区的高程异常值和起算点的坐标值等，如果必要，需要重新计算确定大地基准。
2.2.3.2 GNSS网的一级优化设计
GNSS网的一级优化设计就是GNSS网的图形设计。若一组基线向量中的任何一条基线向量皆无法用该组中其他基线向量的线性组合来表示，则该组基线向量就是一组独立的基线向量。GNSS网中的各种图形都是由独立基线向量组成的。根据GNSS网的精度指标及完成任务的时间和经费等因素，GNSS网可由三角形、多边形、附合导线、支导线等基本图形组成。在GNSS图形设计时，因GNSS同步观测不要求通视，所以其图形设计具有较大的灵活性。GNSS网的图形设计主要取决于用户的实际要求、经费、时间、人力以及所投入GNSS接收机的类型、数量和后勤保障等条件。
根据不同的用途，GNSS网的图形布设通常有点连式、边连式、网连式及边点混合连接4种基本方式，也有布设成星形连接、附合导线连接、三角锁形连接以及高山峪谷环境基线共用卫星偏少时采用的“固定基站法”等。具体选择什么类型的布网方式，取决于工程所要求的精度、工程的自然环境、野外观测条件以及GNSS接收机数量等因素。
1.点连式
相邻同步图形之间仅有一个公共点的连接称为点连式。以这种方式布设的点所构成的图形几何强度很弱，网的可靠性差，没有或极少有非同步图形闭合条件，一般不单独使用。
2.边连式
边连式是指同步图形之间由一条公共基线连接。这种布网方案，网的集合强度较高，有较多的复测边和非同步图形闭合条件。在相同的仪器台数条件下，观测时段数将比点连式大大增加，几何强度和可靠性均优于点连式。
3.网连式
网连式是指相领同步图形之间有两个以上的公共点相连接，这种方法需要4台以上的接收机。显然，这种密集的布网方法，它的几何强度和可靠性指标是相当高的。但花费的经费和时间也较多，一般仅适于较高精度的控制测量。
4.边点混合连接式
边点混合连接式是指把点连式与边连式有机地结合起来，组成GNSS网，既能保证网的几何强度，提高网的可靠性指标，又能减少外业工作量，降低成本，是一种较为理想的布网方式。
5.星形布设
星形图的几何图形简单，其直接观测边间不构成任何闭合图形，所以其检查与发现粗差的能力比点连式更差，但这种布网只需两台仪器就可以作业。若有三台仪器，一个可作为中心站，其他两台可流动作业，不受同步条件限制。测定的点位坐标为WGS-84坐标系，每点坐标还需使用坐标转换参数进行转换。由于方法简便，作业速度快，星形布网方式广泛应用于精度要求较低的工程测量、地质、地球物理测点、边界测量、地籍测量和碎部测量等。
在GNSS实际布网设计时，需要注意以下几个原则：
（1）尽管GNSS网的点与点之间不要求通视，但是考虑到利用常规测量加密、精密测距边联测或者直接进行施工放样的需要，选点时应该考虑每点尽量有一个以上的通视方向。
（2）为顾及原有工程测绘成果资料以及各种大比例尺地形图的沿用，应采用原有工程坐标系统。
（3）GNSS网必须由非同步独立观测边构成若干个闭合环或符合线路。
6.三角锁(多边形)连接式
用点连式或边连式组成连续发展的三角锁连接图形，此连接形式适用于狭长地区的GNSS布网，如铁路、公路、管线工程勘测及带状水利水电工程等。
7.导线网形连接(环形图)
将同步图形布设为直伸状，形如导线结构式的GNSS网，各独立边应组成封闭状，形成非同步图形，用以检验GNSS点的可靠性。适用于精度较低的GNSS布网。该布网方法也可与点连式结合起来布设。
2.2.3.3 GNSS网的二级优化设计
GNSS网的二级优化设计也称为GNSS网的观测方案设计。观测方案的优化设计对于顺利完成数据采集任务，保证测量精度，提高工作效率都是极为重要的。GNSS网的观测方案设计的主要依据是：①GNSS网的规模大小；②点位精度要求；③GNSS卫星星座几何图形强度；④GNSS接收机数量；⑤交通、通信及后勤保障(食宿、供电等)。
GNSS二级优化设计的主要内容包括：
(1)编制GNSS卫星的卫星可见性预报图。在卫星高度角大于15°的限制下，输入测区中心某一测站的概略坐标、日期和时间，并使用不超过20天的星历文件，即可编制GNSS卫星的可见性预报图。
（2）选择卫星的几何图形强度。在GNSS定位中，所测卫星与观测站所组成的几何图形，其强度因子可用空间位置因子（PDOP）来代表，无论是绝对定位还是相对定位，PDOP值不应大于6。
（3）选择最佳的观测时段。在卫星多于4颗且分布均匀，PDOP值小于6的时段就是最佳时段。
（4）观测区域的设计需划分。当GNSS网的点数较多，网的规模较大，而参加观测的接收机数量有限，交通和通信不便时，可实行分区观测。为了增强网的整体性，提高网的精度，相邻分区应设置公共观测点，且公共数量不得少于3个。
（5）编排作业调度表。作业组在观测前应根据测区的地形、交通状况、网的大小、精度的高低、仪器的数量、GNSS网的设计、卫星预报表和测区的天时、地理环境等编制作业调度表，以提高工作效益。作业调度表包括观测时段、测站号、测站名称及接收机等。
（6）当作业仪器台数、观测时段及观测点较多时，在每天出测前要采用外业观测通知单对各作业组进行调度。
2.2.3.4 GNSS网的三级优化设计
GNSS网的三级优化设计是应用GNSS改造现有控制网的最优设计，控制网改造包括控制网的扩展、加密、补测，要求提高原GNSS网的精度、可靠性，这里主要考虑如何加测、加测多少GNSS基线观测值，如何进行数据处理等问题。GNSS网的三级优化设计是一个混合问题，即有网形设计(一级优化设计)方面内容，也有观测方案优化(二级优化设计)方面的内容。
分析不同时期对GNSS网进行观测的情况，分别称为Ⅰ期和Ⅱ期。设Ⅰ期网的改正数方程为
所求得的未知数估值及其协方差阵为
设Ⅱ期网改正数方程、未知数估值及其协方差阵为
在这里，未知数向量分为三部分：①X1为Ⅰ期中与Ⅱ期观测无关的部分；②X2为两期均有观测的部分；③X3为Ⅱ期观测部分。