1.8 水利水电工程仿真建模实例

现在以泥石流运动机理分析为例，讲述建立水利水电工程模型的过程。

1.8.1 选择建模思维导向

首先按照“问题导向”思维分析命题——“泥石流运动机理分析”，命题中“运动机理”是研究重点，而“泥石流”是运动机理的特征主体，其决定了运动的特殊性和范围，从而可知该命题的问题核心围绕两个主题：其一是运动机理，其二是泥石流。这两个主题就是要解决什么是泥石流，泥石流的运动特征有哪些属性。

何为泥石流？泥石流是发生在山区的常见地质灾害，是一种饱含大量泥沙石块和巨砾的固、液、气三相流，流动状态呈黏性层流或是稀性紊流，是介于崩塌、滑坡与含沙水流之间的一系列的连续流动形态。它具有爆发突然、来势凶猛、破坏力大、突发性与短暂性，多物相性与不均质性，脉动性与大冲大淤积性，周期性与季节性，夜发性与齐发性等诸多特点。从泥石流的定义，不难从4个层面上来获取信息和资料：泥石流属于山区常见的地质灾害；泥石流属于特殊的流体介质；泥石流分类和定义较多；泥石流运动特征较为复杂。

现就上述4个方面的信息进行探索，以寻找解决的主要问题。

泥石流属于山区常见的地质灾害，因此不难分析到深层次重要的信息，泥石流地质灾害的发生条件是地质因素（固体物质补给条件）、流域因素（流域形状、面积、山坡或沟床比降）和水文气象因素；发生频率与上述发生条件有关；从发生条件来看，泥石流属于可以认知、可以预防、可以治理的灾害。那么我们针对主体问题应该得到这样的思路：可以确定陡峻的地形和固体松散物质的补给是泥石流产生的重要内在因素；同时集中的降雨产生洪水是激发泥石流的外界诱发因素，洪水强度及频率对泥石流的发生几率和规模有很重要的影响。

泥石流的介质特征描述是“一种饱含大量泥沙石块和巨砾的固、液、气三相流”，这种描述介绍了泥石流的介质构成，属于特殊的流体构成，那么这种组成结构由哪些因数控制呢？研究发现由组成泥石流浆体的固体颗粒的成分和结构，以及固体颗粒、水和空气的比例关系所决定，同时还与泥石流的生成时间有关系。从而可以得到这样的思路：对泥石流浆体进行分类研究，并研究各种浆体结构的泥石流的运动特征；在不同的时间上去分析泥石流浆体的运动特性。

泥石流的分类和定义较多。从泥石流的定义和分类入手，寻找一种泥石流浆体作为研究对象，从而找到泥石流运动特征的普遍性，不难找到这样的思路：复杂的泥石流运动研究方法可以从简化的特殊泥石流开始研究。

泥石流运动特征较为复杂。泥石流运动复杂性主要由以下4个方面构成：

（1）泥石流构成的复杂。

（2）泥石流的产生、流动和消亡过程受到很多因素影响，能量的传递过程也很复杂。

（3）泥石流运动在时间和空间尺度上均属于动态效应，描述比较复杂。

（4）运动的特殊性表现形式比较难以描述。

从这4个方面可以得到研究思路：应该采用多种研究方法来不断探索泥石流的复杂性，不能完全依赖其中的某一种方法。

1.8.2 分析研究目的

可以得出分析的结论是，研究泥石流是面对一个复杂的动态系统，系统中存在许多子系统，各个子系统也属于复杂行为过程。所以在研究“泥石流运动机理分析”整个项目时，应该制定其详细的研究计划，找到各个系统的研究重点。依据此思路，应从泥石流的形成条件、发生空间、经历时间、表现特征以及控制因素等各个方面展开研究泥石流运动的机理。具体包括：泥石流的分类、泥石流的组成、产生发展消亡的基本规律、产流模型、汇流模型、泥石流发生条件、泥石流发生机理、起动特征与起动机理、泥石流流变性、冲淤和堆积机理及特征、泥石流冲刷磨蚀机理、泥石流体流动的不稳定和随机性、泥石流浆体运动冲击力和破坏力、泥石流的输移过程、本构方程、运动控制方程、流动形态等研究内容。根据不同的研究内容，来确定不同的研究目的。

1.8.3 分析模型主要因素

不难获得泥石流运动特征模型，其分析过程如下：

泥石流运动是相当复杂的，但是流动过程中表现出的各种特征都存在相应的必然性与随机性。本小节试图采用泥石流的特征因子来判定泥石流的运动特征。各类特征因子有主次之分，在判定泥石流运动特征过程中，起主导作用的为主要因子，其他的为次要因子。主要因子和次要因子均包含在泥石流浆体本身以及抑制泥石流发生发展的边界这两方面中，即泥石流系统的两个方面中，浆体本身属性和泥石流发生发展的边界条件。建立泥石流的运动特征判定模型，首先要确定目标；其次选取合适的研究方法来分析泥石流的动力特征；第三，因子的分析，确定各个因子对泥石流运动的影响，从而确定各个因子的权重；最后，概括出泥石流运动特征的一般表达形式。将泥石流特征模型的主要因子进行分类，从理论框架上分析，泥石流特征模型由以下几个部分组成。

1.外部变量

外部变量是泥石流流动系统之外的输入、输出变量，属于外部条件因子，一个泥石流流动系统，降雨程度、土体与水体的补给、淤积情况、人类活动的影响等因子变量的增加和减弱都对泥石流规模向扩大或缩小的趋势上有重要影响。

2.状态变量

泥石流系统的状态变量是描述在一定空间上，某一时刻初物理状态，其变量因子主要由土体和水体的比例以及土体的颗粒级配影响，在运动过程中则表现为冲刷侵蚀、沉积淤积等现象。从另一个层面上讲，泥石流系统的状态是各个时刻和外界环境边界之间的输入输出能量的具体体现，泥石流的状态变量由系统外部变量和泥石流组成决定。在泥石流形成、运动和淤积过程中，外部变量与内部变量之间是互相影响。例如降雨最初是外部条件，但当与泥石流浆体交汇后变为泥石流的一部分，影响了泥石流的组成比例，改变了泥石流的状态，从而降雨成为了影响状态的变量因子。在一个泥石流系统模型中，状态变量和外部变量是相互影响的，所以用数学表达这两类变量时常常引入中间变量，并动态反映系统的动态效应。换言之，外部条件的变化，必然引起状态变量的改变；反之，状态变量发生变化了，也可以推断外部变量发生变化。因此在建立模型时选取泥浆的密度作为状态变量，选择供给的水体和土体颗粒介入量作为外部变量，同时也要考虑土体的崩塌情况，松散固体物质的厚度等变量。

3.数学方程

所选取的数学方程是从数量关系方面表明，在泥石流系统中，泥石流的运动过程中其启动、发展、消亡的物理过程，同样也是表明泥石流系统中状态变量和外部变量之间的一定数量关系，尤其是在能量传递和转化过程中表现出的物理参数的变化，因此数学方程是泥石流系统的外部变量因子和状态变量因子的桥梁和纽带，也就是说数学方程是一种表现形式，针对不同类型的泥石流系统，可能会包含有相同的过程，同样的泥石流流动过程，可以得到多种数学模型。泥石流从启动、发展、消亡过程中涉及的数学方程有：泥石流浆体组成级配方程、启动诱发条件方程、冲刷侵蚀河岸变形方程、泥石流运动控制方程。

4.过程变量

在泥石流运动模型中，状态变量在时间和空间上的变化体现称为过程变量。泥石流运动系统中速度、动能（或动量）、冲击力、冲刷沉积量等在运动控制方程中均反映了过程变量的所有变化特征，在每个时间和每个空间上都描述外部变量和状态变量关系。

5.泥石流系统数学模型中的参数变量

建立数学模型，往往要确定相关的一些参数，若没有这些参数的准确限制数学方程，方程就失效了，甚至这样的泥石流数学模型在现实中就是没有意义以致不能应用的，这些参数在泥石流特征系统中，主要表现为泥石流的初步运动状态、边界条件等。

建立均质黏性泥石流在河谷中的运动特征模型。按照上述变量的分类，运动特征主次因子如表1.1所示。

针对泥石流的特殊性，分析各个因子在泥石流运动过程中表现出的特征进行论述，如表1.2所示。

1.8.4 编制建模整体框架

从上述的分析不难得到泥石流运动特征模型的整体框架，如图1.7所示。从模型框架可知，泥石流运动特征模型的整体思路主要是采用机理分析方法，流动特征中心是“运动特征”，决定运动特征的因素是泥石流浆体和泥石流浆体的泥浆流变特性，决定这两个因素的主要条件是构成泥石流的水和颗粒组成结构及其比例关系，这属于浆体内部属性因子；影响流动特征的因素包括：土体、水体补给与补给条件，河坡、河谷形状、流域面积、曲率等河谷环境，启动条件，降水、水文、地震等诱发条件，降水、水文、地震等诱发条件，其他因素（泥石流规模、泥石流沟发生泥石流的历史、发展趋势、人为因素等），属于外部条件属性因子。这些因子均在运动过程中被隐藏起来，运动过程中直观表现的主要有：流量情况、冲刷磨蚀、堆积位置、淤积沉积特征、冲击力、流速分布等现象。这样一个复杂的系统，不可能用一个简单的形式来概括，必须对子系统进行深层次研究才能全面解释泥石流的运动特征。既然研究的主题是“泥石流运动机理”，我们就不难从泥石流运动特征模型框架中将该子系统挖出来进行深层次研究。

1.8.5 “泥石流运动机理”子系统研究

既然这属于子系统，虽然问题本身仍然复杂，相对原整体系统而言比较具体，一些参数和边界属于已知，例如：浆体介质的组成结构及其比例、泥石流流动边界等。采用上述同样的方法，分析主要因素，主要的研究内容是：泥石流的本构方程、运动控制方程、几何模型的建立、仿真计算（或编制计算程序，或借用仿真平台）、试验验证模型等，通过运用建模的基本过程，得出泥石流运动机理分析子系统的研究技术路线，如图1.8所示。

1.8.6 推导控制方程和定解条件

1.通过推导可得二维泥石流的运动控制方程

图1.7 泥石流运动特征模型整体框架

图1.8 子系统（泥石流运动机理）研究技术路线

上述方程可以看出，泥石流运动方程是有非齐次项的一组非线性偏微分方程组。对方程直接求解存在一些困难：

（1）泥石流为重力流，要考虑重力的影响，但是河床底坡是变化值。

（2）由底面的剪切应力而导致的摩擦阻力使得方程为非齐次方程。

（3）浅流运动的天然地形曲折起伏，非常复杂。

（4）流体的边界随流体的运动而不断变化，成为动边界问题。所以一般使用数值方法对该方程进行求解。

2.泥石流定解条件

（1）初值条件给定沟谷入口处在零时刻的流深和流速初始条件，即上游边界条件为入口处的流深和流速为：

（2）边界条件包括上游边界条件和自由边界条件，即自由边界条件边界上的网格外向面上的流量取为零。

（3） 固边界条件，即河床底部边界条件，法向流速为零：，表示河床边界的法向矢量，为流速矢量。

1）根据泥石流运动的特殊性为满足上述边界条件，给出下列假定：

a.上游入口边界假定速度发布均匀。

b.下游出口边界速度垂直边界线。

c.河床底面上由于是固壁流线，假定速度为零。

d.河岸边界线假定为未滑移固壁流线，并假定其速度为零。

e.泥石流自由面，满足流线条件和压力条件为零。

2）该边界条件研究的困难为：

a.自由面边界线H=H（x，y）事先未知，当采用有限元方法求解时，求解区域Ω不容易确定，单元剖分无法进行。

b.上游入口边界和自由面边界各式中Q值未知，采用有限元求解时边界条件处理很难进行。

从泥石流控制方程不难看出，当采用有限元方法求解这样的不可压缩的黏性流动，属于求解偏微分方程组，求解的函数有速度分量和压力分量。而求解该控制偏微分方程组是非线性的，通过有限元建立的有限元方程也属于非线性的方程组，其求解难度比较大，也存在收敛问题。

3）解决办法为：

a.采用固定边界条件迭代法，其基本思想是假定自由面形状和流量值，使边界完全固定，然后采用常规的有限元方法求解；再采用自由面的校核条件对求解所得的流量值和自由面进行修正，进行迭代，最后求解获得收敛解。

b.可变边界法，其基本思想为在可变区域或可变流量的变分原理的基础上有限元求解。