3.1　平面汇交力系的合成

平面汇交力系是上述力系中最简单的一种力系。这里首先研究平面汇交力系，一方面是为了解决实际工程中遇到的这类静力学问题；另一方面是为研究更复杂的平面力系打下基础。

在工程力学中，要对物体作受力分析并进行力学计算，通常用到力在坐标轴上的投影。

3.1.1　力在直角坐标轴上的投影

1.投影的大小

设力F作用在物体上某点A处，如图3.2所示。通过力F所在的平面内的任意点O作平面直角坐标系xOy。从力F的两端点A和B分别向x轴作垂线，得垂足a和b，并在x轴上得线段ab，线段ab的长度称为力F在x轴上的投影的大小，用X表示。同样的方法也可以确定力F在y轴上的投影的大小为线段a′b′的长度，用Y表示。投影为代数量。

2.投影的正负号

投影的正负号规定：从起点的投影指向终点的投影，若与坐标正方向相同，则投影取正号；反之取负号。

3.投影的计算公式

从图3.2中的几何关系得出投影的计算公式为

式中：α为力F与x轴所夹的锐角，X和Y的正负号可按上述规定由直观判断来确定。

由式（3.1）可知：当力与坐标轴垂直时，力在该轴上的投影为零；当力与坐标轴平行时，力在该轴上投影的绝对值与该力的大小相等。

如果已知力F的大小及方向，就可以用式（3.1）方便地计算出投影X和Y；反之，如果已知力F在x轴和y轴上的投影X和Y，则由图3.2中的几何关系，可用式（3.2）确定力F的大小和方向：

式中：α为力F与x轴所夹的锐角，力F的具体方向可由X、Y的正负号确定。

【例3.1】　试分别求出图3.3中各力在x轴和y轴上的投影。已知F1＝100N，F2＝150N，F3＝F4＝200N，各力的方向如图3.3所示。

【解】　由式（3.1）可得出各力在x轴、y轴上的投影为

X1＝F1cos45°＝100×0.707＝70.7（N）

Y1＝F1sin45°＝100×0.707＝70.7（N）

X2＝－F2cos30°＝－150×0.866＝－129.9（N）

Y2＝－F2sin30°＝－150×0.5＝－75（N）

X3＝F3cos90°＝0

Y3＝－F3sin90°＝－200×1＝－200（N）

X4＝F4cos60°＝200×0.5＝100（N）

Y4＝－F4sin60°＝－200×0.866＝－173.2（N）

3.1.2　平面汇交力系的合成

1.合力投影定理

平面汇交力系的合成问题，从理论上讲，可连续应用两共点力合成的平行四边形法则，就能将一个平面汇交力系进行合成。

设力F1、F2作用于物体上的A点，按力的平行四边形法则合成合力R。任选力系所在平面内y轴为投影轴，如图3.4所示。

F1、F2、R在y轴上的投影分别为

Y1＝Ob1，　Y2＝－Ob2，　Ry＝Ob

由几何关系得

Ry＝Y1＋Y2

现推广到n个力汇交的力系。设一平面汇交力系F1、F2、F3、…、Fn作用于刚体上，按力的平行四边形法则依次合成，得该力系的合力R。在此力系所在平面内取一坐标系xOy，将所有的力矢向x轴和y轴投影。

同理得

于是可得结论：平面汇交力系的合力在任一轴上的投影，等于力系中各分力在同轴上投影的代数和。这就是合力投影定理。

2.平面汇交力系合成的解析法

当平面汇交力系为已知时，如图3.5所示，可在其平面内选定一直角坐标系xOy，先求出力系中各力在x轴和y轴上的投影，然后由合力投影定理得平面汇交力系的合力R在x轴和y轴上的投影分别为Rx＝∑X、Ry＝∑Y。最后由式（3.2），求得合力的大小和方位为

式中：α为合力R与x轴所夹的锐角。

合力的作用线通过力系的汇交点O，具体指向或所在象限由∑X及∑Y的正负号确定，如图3.6所示。

【例3.2】　已知某平面汇交力系如图3.7所示，其中F1＝20kN，F2＝10kN，F3＝18kN，F4＝15kN，试求该力系的合力。

【解】　（1）建立坐标系xOy如图3.7所示，计算合力在坐标轴上的投影：

（2）求合力的大小：

（3）求合力的方向：

因为Rx为正，而Ry为负，所以合力R作用在力系的汇交点O且在第四象限，指向右下方，如图3.7所示。