任务七　叠加法作剪力图和弯矩图

一、叠加原理

叠加原理：在弹性范围、小变形情况下,各荷载共同作用时,梁的某一参数(支座反力,某截面的内力、位移等)等于各荷载单独作用时所引起的该参数的代数和。下面以悬臂梁为例,说明叠加原理在绘梁内力图中的应用。

分析悬臂梁在三种荷载情况下的反力、剪力图(Q图)和弯矩图(M图),如图3-30所示。

固定端处的支座反力为

距左端为x的任一截面上的剪力和弯矩分别为

由上列各式可见,梁的反力和内力均由两部分组成：第一部分等效于集中力F单独作用在梁上所引起的反力和内力；第二部分等效于均布荷载q单独作用在梁上所引起的反力和内力。因此,图3-30中的第一种情况等效于第二、第三两种情况的叠加。所以,计算图3-30(a)所示梁的反力和内力时,可先分别计算出F和q单独作用时的结果,然后再代数相加。这种方法称为叠加法。

二、用叠加法作内力图

如图3-30所示,将集中力F和均布荷载q单独作用下的剪力图和弯矩图分别叠加,即得两者共同作用时的剪力图和弯矩图,如图3-30(b)、(c)所示。

注意：内力图的叠加,是内力图上对应纵坐标的代数相加,而不是内力图的简单拼合。

用叠加法作内力图步骤如下：

(1)荷载分组。把梁上作用的复杂荷载分解为几组简单荷载单独作用情况。

(2)分别作出各简单荷载单独作用下梁的剪力图和弯矩图。各简单荷载作用下单跨静定梁的内力图可查表3-2。

(3)叠加各内力图上对应截面的纵坐标代数值,得原梁的内力图。

【例3-14】　用叠加法作图3-31所示外伸梁的M图。

解：(1)分解荷载为F1、F2单独作用情况。

(2)分别作二力单独作用下梁的弯矩图,如图3-31(b)、(c)所示。

(3)叠加得梁最终的弯矩图。有两种叠加方法。

第一种方法：叠加A、B、C、D各截面弯矩图的纵坐标,可得0、45N·m、-150N·m、0；再按弯矩图特征连线(各段无均布荷载均为直线),得图3-31(a)。

第二种方法：在M1图的基础上叠加M2图得图3-31(d)。其中画AC梁段的弯矩图时,将ac线作为基线,由斜线中点b向下量取bb1＝120N·m,连ab1及cb1,三角形ab1c即为M2图。这种方法也可以叫做区段叠加法。

三、用区段叠加法作梁的弯矩图

用区段叠加法作梁的弯矩图对复杂荷载作用下的梁、刚架及超静定结构的弯矩图绘制都是十分方便的。

图3-32(a)所示梁上承受荷载q、F作用,如果已求出该梁截面A、B的弯矩分别为MA、MB,则可取AB梁段为脱离体,由其平衡条件分别求出截面A、B的剪力QA、QB,如图3-32(b)所示。此梁段的受力图与图3-32(c)所示简支梁的受力图完全相同,因为由简支梁平衡条件可求出其支座反力FA＝QA,FB＝-QB。因此,两者的弯矩图也必然完全相同。用叠加法可作出简支梁的弯矩图如图3-32(d)所示,故AB梁段的弯矩图也可用此叠加法作出。用区段叠加法画梁段的弯矩图时,一般先确定两端截面的弯矩值,如BD梁段,先求出MB和MD＝0,将两端截面弯矩的连线作为基线,在此基线上叠加简支梁作用杆间荷载时的弯矩图,即得该梁段的弯矩图。BD梁段的弯矩图如图3-32(e)所示。

结论：任意梁段都可以看作简支梁,都可用简支梁弯矩图的叠加法作该梁段的弯矩图。这种作图方法称为“区段叠加法”。

区段叠加法作静定梁的弯矩图,应先将梁分段。分段的原则是：分界截面的弯矩值易求；所分梁段对应简支梁的弯矩图易画(可查表3-2)。

【例3-15】　用叠加法作图3-33(a)所示外伸梁的弯矩图。

解：(1)求支座反力。

(2)分段并确定各控制截面弯矩值,该梁分为CA、AD、DB、BF四段。

(3)用区段叠加法作各梁段的弯矩图。先按一定比例绘出各控制截面的纵坐标,再根据各梁段荷载分别作弯矩图。如图3-33(b)所示,CA梁段无荷载,由弯矩图特征直接连线作图；AD、DB有荷载作用,则把该段两端弯矩纵坐标连一虚线,称为基线,在此基线上叠加对应简支梁的弯矩图。其中,AD、DB段中点的弯矩值分别为