二、几种主要的差分格式

（一）显式差分格式

为了便于说明，以下列一维河间地块均质各向同性承压含水层中的地下水流问题

为例来加以说明。

首先将研究区域[0，L]用直线等分为l份，步长Δx=L/l，把时间段[0，Tsum]用直线等分成m份，时间步长Δt=Tsum/m，构成如图2-1所示的网格，结点坐标xi=iΔx，tκ=κΔt（i=0，1，…，l；κ=0，1，…，m），简记为（i，κ），并以表示H（iΔx，κΔt），以表示原方程的差分方程解（即H的近似值）。

式（2-5）中的导数，用差商代替，在典型结点（i，κ）处表示为

略去O（Δt）和O（[Δx]2），可得和式（2-5）以及图2-1中x，t平面上的网格对应的差分方程为

截断误差为O（Δt）+O（[Δx]2）。即当Δt和Δx很小时，这一误差是Δt阶的一个量与（Δx）2阶的一个量之和。若定义

则式（2-10）可改写为

由此可知，只要知道某一时段κ开始时刻tκ各结点的值，利用上式便能算出tκ+1时刻，即κ时段终了时刻的值（1≤i≤l-1，1≤κ≤m）。所以称这一方法为显式方法。边界结点的水头值则由边界条件给出，即

这样利用t=0时刻时各结点的值已由初始条件式（2-6）

给出的情况，直接计算t1时刻各内部结点的水头值，并利用边界条件补充边界结点上的水头值。再把求得的t1时刻各结点的水头作为初值，重复上述过程求t2时刻各结点的水头值。如此一个时间水平、一个时间水平地做下去，就能求得计算区Ω上所有时刻的水头值。

前面我们给出了求的方法，但必须回答一个问题，即差分方程的解是不是很逼近原微分方程的解在相应结点上的值？为此，需要从两个方面，即差分方程的收敛性和稳定性来回答上述问题。

如果差分方程的解在步长Δx、Δt取得充分小时，和微分方程的解析解在某种意义上很接近的话，便说这种差分格式是收敛的。研究收敛性就是讨论当Δx→0、Δt→0时，差分方程的解和微分方程解的差（在一维条件下为）的绝对值在什么条件下趋近于零。其次，实际计算中由于只能用有限位计算，每一步都会有舍入误差，而且它还影响以后的计算结果。于是要考虑一个问题，当某一步结果本身有误差时，利用它去计算，若Δx和Δt固定，随着计算时间或计算次数的增加，误差是逐渐消除？还是逐步积累，愈变愈大？如是后者，则当t→∞时（或计算次数无限增多时），尽管某一步的误差很小，但其影响最终有可能达到十分可观的程度，使所得解面目全非。这时所考虑的差分格式便是不稳定的。显然，不收敛和不稳定的差分格式是没有实用价值的。

显式格式经证明，只有当0<λ≤1/2时才收敛和稳定。因此，Δt不能取的太大。

（二）隐式差分格式

如式（2-5）左端二阶导数取在tκ+1时间水平上[即用κ时段末t=（κ+1）Δt时刻的水头值]，便得隐式差分方程为

截断误差为O（Δt）+O（[Δx]2）。仍用式（2-11）定义的λ，则式（2-12）化为

式（2-13）左端包含3个未知数，不能直接解出，所以称为隐式方法。必须对所有内结点（本例共有l-1个）都列出与式（2-13）相应的方程，并把边界条件

代入第一个和最后一个方程，形成由l-1个方程组成的方程组。联立求解，可得l-1个内结点上tκ+1时刻的水头值。所得代数方程组的系数矩阵只在三条对角线上有值，其余均为零，故称三对角线方阵。可用追赶法求解。

可以证明，隐式方法对任何λ都是收敛、稳定的，也就是说它的收敛、稳定是无条件的，Δt的取值不受Δx的严格限制。

（三）中心式差分格式

如果对在tκ和tκ+1的中点t=tκ+Δt/2处取中心差

把沿t的正向在tκ+1/2处用Talyor级数展开，沿t的负向在tκ+1/2处用Talyor级数展开，各取两项，两式相加，得

于是，式（2-5）可写成下列差分格式

截断误差为O（[Δt]2）+O（[Δx]2）称为Crank-Nicolson中心式差分格式或六点格式，形成的代数方程组的系数矩阵也是三对角线方阵。它和隐式方法一样也是无条件收敛、稳定的。

（四）加权显式-隐式格式

前面介绍的几种差分格式可以统一到下列一般形式中

θ为权因子。上述格式称为加权显式-隐式格式。当θ=0时即为显式方法；θ=1时即为隐式方法；θ=1/2时即为中心式差分方法。不难证明，如取则式（2-15）是无条件稳定的，截断误差为O[（Δt）2+（Δx）4]（Lapidus和Pinder，1982）。