任务三 平面一般力系的合成

平面一般力系是指各力的作用线在同一平面内但不都汇交于一点,也不都互相平行的力系，又称为平面任意力系。如图3-9（a）所示屋架，屋架受重力荷载F₁、风荷载F₂及支座反力F_Ax、F_Ay、F_B的作用，这些力的作用线都在屋架的平面内，组成一个平面力系，如图3-9（b）所示。

又如图3-10（a）所示水坝，通常取单位长度的坝段进行受力分析，并将坝段所受的重力、水压力和地基反力简化为作用于坝段对称平面内的一个平面力系，如图3-10（b）所示。本任务将讨论平面一般力系的合成问题。

一、平面一般力系的简化

设在某刚体上作用一平面任意力系F₁、F₂、…、F_n，如图3-11（a）所示。在力系所在平面内选一点O作为简化中心。根据力的平移定理，将力系中各力向简化中心O点平移，同时附加相应的力偶，于是原力系就等效地变换为作用于简化中心O点的平面汇交力系、…、和力偶矩分别为m₁、m₂、…、m_n的力偶组成的附加平面力偶系[图3-11（b）]。其中F₁=，F₂=，…，F_n=；m₁=m_O（F₁），m₂=m_O（F₂），…，m_n=m_O（F_n）。分别将这两个力系合成如图3-11 （c）所示。

（一）主矢

作用在简化中心的平面汇交力系可以合成为一个合力，合力为

即合力矢等于原力系所有各力的矢量和。力矢称为原力系的主矢，其大小和方向可用解析法计算。主矢在直角坐标轴上的投影为

则

（二）主矩

附加平面力偶系可以合成为一个合力偶，合力偶矩为

即合力偶矩等于原力系所有各力对简化中心O点力矩的代数和。m_O称为原力系对简化中心的主矩。显然，主矩的大小和转向与简化中心位置有关。应当注意的是，一般情况下，向O点简化所得的主矢或主矩，并不是原力系的合力或合力偶，它们中的任何一个并不与原力系等效。

二、平面一般力系的简化结果讨论

平面一般力系简化结果有四种情况，见表3-1。

由表3-1可见，平面一般力系简化的最终结果，可归纳为三种情况：①合成为一个力;②合成为一个力偶；③力系平衡。

【例33】 试求图312（a）所示平面一般力系简化的最终结果。

解：将各力向O点简化，主矢为

主矢与x轴的夹角α为

因为＞0，＞0，故α在第一象限，如图3-12（b）所示。主矩为

因为≠0，m_O≠0，力系合成为一个合力，且F_R==10kN，作用线距简化中心O点为

注意到m_O为负，合力F_R的作用位置如图3-12（b）所示。