任务五 工程结构的平衡

工程结构通常是由几个构件通过一定的约束联系在一起的系统，这种系统称为物体系统。如图3-19（a）所示的三铰拱，就是由左半拱AC和右半拱BC通过铰C连接，并支承在A、B支座上而组成的一个物体系统。

研究物体系统的平衡问题，不仅要求解支座反力，而且还需要计算系统内各物体之间的相互作用力。通常把作用在物体系统上的力分为外力和内力。所谓外力，就是系统以外的物体作用在该系统上的力；所谓内力，就是系统内各物体之间相互作用的力。对整个物体系统来说，内力总是成对出现的，且等值、反向、共线，其作用自行抵消。所以，内力不应出现在整个物系的受力图和平衡方程中。如图3-19（b）中，主动力F₁、F₂以及A、B处的约束反力F_Ax、F_Ay、F_Bx、F_By都是三铰拱上的外力，而铰C处的约束反力属于内力，不必画出。但需要指出，内力与外力的概念都是相对的，取决于所选择的研究对象。如图3-19（c）中，当研究左半拱AC时，铰C处的内力F_Cx、F_Cy就成为外力了。

当物体系统平衡时，组成系统的每个物体也都是平衡的。因此，可以选取整个系统作为研究对象，也可以选取系统中的一部分物体或单个物体作为研究对象。对于由n个物体组成的平衡系统，受平面任意力系作用的每个物体都可列出3个独立的平衡方程，整个系统共有3n个独立的平衡方程，故可求出3n个未知量。当未知量的数目等于或小于独立的平衡方程式数目时，可由平衡方程求解出全部未知力，这类问题称为静定问题；当未知量的数目大于平衡方程式数目时，仅由平衡方程无法解出全部未知力，这类问题称为超静定问题。下面举例说明物体系统平衡问题的解法。

【例3-9】 三铰拱在顶部受有荷载集度为q的均布荷载作用，各部分尺寸如图3-20（a）所示。试求支座A、B及铰C处的约束反力。

解：（1）以整体为研究对象，受力图如图3-20（b）所示，属于平面任意力系。A、B两处共有4个未知的约束反力，而只有3个独立的平衡方程。虽然不能求出全部未知力，但有3个约束反力的作用线通过A点或B点，可以解出部分未知力。列平衡方程如下

（2）将系统从C处拆开，以左半拱AC为研究对象，其受力图如图3-20（c）所示，列平衡方程

【例3-10】 图3-21（a）所示机构在图示位置平衡，已知主动力F，各杆重量不计，试求集中力偶矩的大小及支座A处的约束反力。

解：（1）取CD杆为研究对象。由于CD杆为二力杆，因此它所受到的C、D两铰链的约束反力必沿C、D两点连线。其受力图如图3-21（b）所示，由几何关系可知α=60°。

（2）取BD杆为研究对象，其受力图如图3-21（b）所示，于是有

（3）以AC为研究对象，其受力图如图3-21（b）所示。由于AC杆上的主动力只有力偶m，根据力偶只能与力偶平衡的性质可知，F_A与必组成一力偶与主动力偶m平衡。由图中几何关系可求得力偶 （F_A，）的力偶臂为h==2（m），F_A==/3。由

【例3-11】 图3-22（a）所示为一多跨静定梁，C处为中间铰。试求A、B、C、D处的反力。已知q=0.2kN/m，F=0.4kN，梁的自重不计。

解：（1）选取研究对象。若取整个组合梁为研究对象，则有4个未知量，不具备可解条件。若取梁CD为研究对象，未知量仅有3个，都可以求出。因此，解题的顺序是，先取梁CD为研究对象，再取梁AC（或系统ABCD）为研究对象，即可求得全部未知量。

（2）画受力图。均布荷载用其合力Q表示，Q=6q=1.2kN。

（3）列平衡方程并求解。

先考虑CD的平衡，写出平衡方程

再考虑AC的平衡，写出平衡方程

通过以上例题分析，可概括出求解物系平衡问题的一般步骤和要点：

（1）弄清题意，判断物体系统的静定性质，确定是否可解。

（2）正确选择研究对象。一般先取整体为研究对象，求得某些约束反力。然后，根据要求的未知量，选择合适的局部或单个物体为研究对象。注意研究对象选取的次序和每次所取的研究对象上未知力的个数，最好不要超过该研究对象所受力系独立平衡方程式的个数，避免求解研究对象的联立方程。

（3）正确画出研究对象的受力图。根据约束的性质和作用与反作用定律，分析研究对象所受的约束力。只画研究对象所受的外力，不画内力。

（4）分别考虑不同的研究对象的平衡条件，建立平衡方程，求解未知量。列平衡方程时，要选取适当的投影轴和矩心，列相应的平衡方程，尽量使一个方程只含一个未知量，以使计算简化。

（5）校核。利用在解题过程中未被选为研究对象的物体进行受力分析，检查是否满足平衡条件，以验证所得结果的正确性。