第二节 平面力系平衡问题的求解
一、单个物体的平衡问题
受到约束的物体，在外力的作用下处于平衡，应用力系的平衡方程可以求出未知反力。求解过程按照以下步骤进行：
（1）根据题意选取研究对象，取出分离体。
（2）分析研究对象的受力情况，正确地在分离体上画出受力图。
（3）应用平衡方程求解未知量。应当注意判断所选取的研究对象受到何种力系作用，所列出的方程个数不能多于该种力系的独立平衡方程个数，并注意列方程时力求一个方程中只出现一个未知量，尽量避免解联立方程。
【例3 1】如图3 1（a）所示，已知重为G的钢管被吊索AB、AC吊在空中，不计吊钩和吊索的自重，当重力G和夹角α已知时，求吊索AB、AC所受的力。
图3 1
解：（1）受力分析。对吊钢及钢管进行受力分析，可得T=G；再选吊钩为研究对象，画出受力图如图3 1（b）所示，其所受的力系为一汇交力系。
（2）列平衡方程并求解。
∑X=0
-T1sinα+T2sinα=0
∑Y=0
T-T1cosα-T2cosα=0
解得
T1=T2=T
2cosα
=G
2cosα
【例3 2】简易起吊机构如图3 2（a）所示，重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB、AC支撑。定滑轮的直径很小，可忽略不计，设重物的重量W=2kN，其余各构件的自重不计，忽略摩擦，求直杆
AB、AC所受的力。
解：（1）受力分析。结构中的直杆AB、AC均是二力杆，所受的力及对外施加的反力汇交于定滑轮A上，因此，可选取定滑轮A为研究对象，画如图3 2（b）所示的受力图，所受的力系是一个平面汇交力系。
图3 2
（2）列平衡方程并求解。
∑X=0
-NAB-NACcos30°-Fsin30°=0
∑Y=0
-NACsin30°-Fcos30°-W=0
将相关数值代入方程中，其中F=W=2kN，解得NAC=-7.46kN，NAB=5.46kN。
AC杆受的力是负值，说明实际力的方向与图示的方向相反，即AC杆受压。
【例3 3】水平外伸横梁AB的受力如图3 3（a）所示，其中F=20kN，m=16kN·m，q=20kN/m，a=0.8m。求A、B处的支座反力。
图3 3
解：（1）受力分析。取梁为研究对象，受力如图3 3（b）所示。其中，除给定的主动力外，正常情况下，支座A处的约束反力为相互垂直的两个分力，但由于梁上无水平方向的主动力，因此A处的约束反力只有垂直于梁的一个力，而支座B处的约束反力为一个与梁垂直的力。力系为平面一般力系。
（2）建立坐标系，列平衡方程并求解。
∑MA（F）=0
YBa+m-F×2a+qa×a2=0
∑Y=0
YA+YB-qa-F=0
解得YA=24kN（↑），YB=12kN（↑）。
【例3 4】简支梁如图3 4（a）所示，其中P=10kN，M=6kN· m，求A、B处
的支座反力。
解：（1）受力分析。取梁为研究对象，受力如图3 4（b）所示。所受力除主动力外，支座A处的约束反力为相互垂直的两个分力，而支座B处的约束反力为一个与梁垂直的力。力系为平面任意力系。
图3 4
（2）建立坐标系，列平衡方程并求解。
∑X=0
XA=0
∑MA（F）=0
-P×2+M+RB×6=0
∑Y=0
YA+RB-P=0
解得XA=0，YA=7.67kN（↑），RB=2.33kN（↑）。
【例3 5】外伸梁如图3 5（a）所示，其中q=5kN/m，M=20kN· m，求A、B
处的支座反力。
图3 5
解：（1）受力分析。取梁AB为研究对象，受力图如图3 5（b）所示，所受力系为平面任意力系。
（2）建立坐标系，列平衡方程并求解。
∑X=0
XA=0
∑MA（F）=0
-q×10×5-M+RB×10=0
∑Y=0
YA+RB-q×10=0
解得XA=0，YA=23kN（↑），RB=27kN（↑）。
【例3 6】悬臂梁如图3 6（a）所示，q=2kN/m，P=10kN，M=15kN· m，求
A点的支座反力。
图3 6
解：（1）受力分析。取梁AB为研究对象，其受力图如图3 6（b）所示，力系为平面任意力系。
（2）建立坐标系，列平衡方程并求解。
∑X=0
XA=0
∑MA（F）=0
MA-q×2×1-P×2+15=0
∑Y=0
YA-q×2-P=0
解得XA=0，YA=14kN（↑），MA=9kN· m（逆）。
二、物体系统的平衡问题
在工程实际问题中，往往遇到由多个物体通过适当的约束相互连接而成的系统，这种系统称为物体系统，简称物系。物系的平衡问题是比较常见的问题。
当物系平衡时，系统内的每一部分都处于平衡状态。求解物系的平衡问题，思路、方法和选择的方程与单个物体的平衡完全相同，关键在于研究对象的确定。由于在物系的平衡问题中往往不仅有外部的约束力，还有系统内各物体间的相互作用力，因此，只选择一个研究对象还不能求出全部的未知力，需选择两个或更多的研究对象。
在解决实际问题时，可以先以整体为研究对象，解出一部分未知力，再以单个物体或小系统为研究对象，求出剩下的未知力；也可以分别以系统中的单个物体为研究对象求解问题。选择研究对象时，宜选择已知力和未知力共同作用的物体，尽量使计算过程简单，尽可能避免解联立方程组。另外还应注意：当以整体为研究对象时，系统内各物体间的相互作用力是内力，相互抵消，不体现出来；而若以单个物体为研究对象时，内力则转化成外力，必须考虑。
【例3 7】如图3 7（a）所示，组合梁的AC和CD在C点铰接，已知P1=10kN，
P2=20kN，P2与水平方向夹角为60°，不计梁的自重，求支座A、B、D及C处的约束反力。
图3 7
解：此例要求解的未知量共有六个，最少需要选择两个研究对象。
（1）将梁在C点假想地拆成两部分，由于AC部分的未知力较多，而CD部分只有三个未知力，因此，先以CD部分为研究对象，画受力图如图3 7（b）所示，列平衡方程并求解。
∑X=0
XC-P2cos60°=0
∑MC（F）=0
-P2×2sin60°+RD×4=0
∑Y=0
YC+RD-P2sin60°=0
解得XC=10kN（→），RD=8.66kN（↑），YC=8.66kN（↑）。
（2）以AC部分为研究对象，画受力图如图3 7（c）所示，列平衡方程并求解。
∑X=0
XA-X′C=0
∑MA（F）=0
-P1×2-Y′C×6+RB×4=0
∑Y=0
YA+RB-P1-Y′C=0
解得XA=10kN（→），RB=17.99kN（↑），YA=0.67kN（↑）。
（3）校核。取整体梁为研究对象，画受力图如图3 7（d）所示，列平衡方程。
∑X=XA-P2cos60°=0
∑Y=YA-P1+RB-P2sin60°+RD=0.67-10+17.99-17.32+8.66=0
校核结果说明计算正确。
【例3 8】如图3 8（a）所示三铰钢架，求支座A、B的约束反力和铰C处的相互作用力。
图3 8
解：（1）取整体钢架为研究对象，画受力图如图3 8（b）所示，列平衡方程并求解。
∑MA（F）=0
YB×12-10×12×6=0
∑Y=0
YA+YB-10×12=0
∑X=0
XA-XB=0
解得YB=60kN（↑），YA=60kN（↑），XA=XB。
（2）以AC部分为研究对象，画受力图如图3 8（c）所示，列平衡方程并求解。
∑MC（F）=0
-YA×6+XA×6+10×6×3=0
∑X=0
XA-XC=0
∑Y=0
YA+YC-10×6=0
解得XA=30kN（→），XB=30kN（←），XC=30kN（←），YC=0。
（3）校核。取BC部分为研究对象，画受力图如图3 8（d）所示，列平衡方程。
∑Y=YB-Y′C-10×6=0
∑MC（F）=-10×6×3-XB×6+YB×6=0
校核结果说明计算正确。
【例3 9】求图3 9（a）所示人字梯A、B处的约束力和绳DE的拉力。
图3 9
解：（1）以人字梯整体为研究对象，作受力图如图3 9（b）所示，建立平衡方程求出A、B两处光滑面的约束力。
∑MA（F）=0
FNB×2lcosθ-Fcosθ×23l=0
∑Y=0
FNA+FNB-F=0
解得FNB=F3，FNA=23F。
（2）以BC部分为研究对象，作受力图如图3 9（c）所示，建立平衡方程求绳子拉
力FT。
∑MC（F）=0
FNB×lcosθ-FT×h=0
解得FT=Fl3chosθ。
（3）校核。可取AC部分为研究对象，列出其平衡方程，并将已求出的数值代入，验算是否满足平衡条件（请读者自己完成）。
通过上述问题的求解可以看到，物体系统平衡问题的解法与单个物体平衡问题的解法并无实质性的区别，只是解物体系统的平衡问题时必须注意计算顺序。
三、平面桁架问题
工程中，房屋建筑、桥梁、起重机、油田井架、电视塔等结构物常用桁架结构。桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，它在受力后几何形状不变。
如桁架所有的杆件都在同一平面内，这种桁架称为平面桁架。桁架中杆件的铰链接头称为节点。
桁架的优点是：杆件主要承受拉力或压力，可以充分发挥材料的作用，节约材料，减轻结构的重量。
为了简化桁架的计算，工程实际中采用以下几个假设：（1）桁架的杆件都是直的。
（2）杆件用光滑的铰链连接。
（3）桁架所受的力（载荷）都作用在节点上，而且在桁架的平面内。（4）桁架杆件的重量略去不计，或平均分配在杆件两端的节点上。这样的桁架，称为理想桁架。
实际的桁架，当然与上述假设有差别，如桁架的节点不是铰接的，杆件的中心线也不可能是绝对直的。但在工程实际中，上述假设能够简化计算，而且所得的结果已符合工程实际的需要。根据这些假设，桁架的杆件都看成只是两端受力作用的二力杆件，因此各杆件所受的力必定沿着杆的方向，只受拉力或压力。
本节只研究平面简单桁架中杆件的内力计算。下面将介绍两种计算桁架杆件内力的方法：节点法和截面法。
1.节点法
桁架的每个节点都受一个平面汇交力系的作用。为了求每个杆件的内力，可以逐个取节点为研究对象，由已知力求出全部未知力（杆件的内力），这就是节点法。
【例3 10】平面桁架的尺寸和支座如图3 10（a）所示。在节点D处受一集中载荷P=10kN的作用。试求桁架各杆件所受的内力。
图3 10
解：（1）求支座反力。以桁架整体为研究对象。在桁架上受四个力P、FAy、FBx、FBy作用，列平衡方程并求解。
∑X=0
FBx=0
∑MA（F）=0
FBy×4-P×2=0
∑MB（F）=0
P×2-FAy×4=0
解得FBx=0，FAy=FBy=5kN。
（2）依次取一个节点为研究对象，计算各杆内力。假定各杆均受拉力，各节点受力如图3 10（b）所示，为计算方便，最好逐次列出只含两个未知力的节点的平衡方程。
在节点A，杆的内力F1和F2均未知，列平衡方程并求解。
∑X=0
F2+F1cos30°=0
∑Y=0
FAy+F1sin30°=0
解得F1=-10kN，F2=8.66kN。
在节点C，杆的内力F3和F4未知，列平衡方程并求解。
∑X=0
F4cos30°-F′1cos30°=0
∑Y=0
-F3-（F′1+F4）sin30°=0
代入F′1=F1值后，解得F4=-10kN，F3=10kN。
在节点D，只有一个杆的内力F5未如。列平衡方程：
∑X=0
F5-F′2=0
代入F′2=F2值后，解得F5=8.66kN。
（3）判断各杆受拉力或受压力。原假定各杆均受拉力，计算结果F2、F5、F3为正值，表明杆2、5、3确受拉力；内力F1和F4的结果为负，表明杆1和4承受压力。
（4）校核计算结果。解出各杆内力之后，可用尚未应用的节点平衡方程校核已得的结果。例如，可对节点D列出另一个平衡方程为
∑Y=0
P-F′3=0
解得F′3=10kN，与已求得的F3相等，计算无误。
2.截面法
如只要求计算桁架内某几个杆件所受的内力，可以适当地选取一截面，假想地把桁架截开，再考虑其中任一部分的平衡，求出这些被截杆件的内力，这就是截面法。
【例3 11】如图3 11（a）所示平面桁架，各杆件的长度都等于1m。在节点E上
作用载荷P1=10kN，在节点G上作用载荷P2=7kN。试计算杆1、2和3的内力。
图3 11
解：先求桁架的支座反力。以桁架整体为研究对象。在桁架上受主动力P1和P2以及约束反力FAx、FAy和FBy的作用。列出平衡方程并求解。
∑X=0
FAx=0
∑Y=0
FAy+FBy-P1-P2=0
∑MB（F）=0
P1×2+P2×1-FAy×3=0
解得FAx=0，FAy=9kN，FBy=8kN。
为求杆1、2和3的内力，可作一截面mn将三杆截断。选取桁架左半部为研究对象。假定所截断的三杆都受拉力，受力如图3 11（b）所示，为一平面任意力系，列平衡方程并求解。
∑ME（F）=0
-F1×㊣23×1-FAy×1=0
∑Y=0
FAy+F2sin60°-P1=0
∑MD（F）=0
P1×12+F3×㊣23×1-FAy×1.5=0
解得F1=-10.4kN（压力），F2=1.15kN（拉力），F3=9.81kN（拉力）。
若选取桁架的右半部为研究对象，可得同样的结果。
同样，可以用截面截断另外三根杆件计算其他各杆的内力，或用以校核已求得的结果。由上例可见，采用截面法时，选择适当的力矩方程，常可较快地求得某些指定杆件的
内力。当然，应注意到，平面任意力系只有三个独立的平衡方程，因而，作截面时每次最多只能截断三根内力未知的杆件。如截断内力未知的杆件多于三根时，它们的内力还需联合由其他截面列出的方程一起求解。