第一节 力在直角坐标轴上的投影

研究空间力系应先掌握力在空间直角坐标轴上投影的计算，一般有直接投影和二次投影两种方法。

一、直接投影法

若已知力F与正交坐标系Oxyz三轴间的夹角分别为α、β、γ，如图41所示，则力在三个轴上的投影等于力F的大小乘以力F与各轴夹角的余弦，即

X=FcosαY=FcosβZ=Fcos

㊣

╮

γ╯

（4 1）

力在轴上的投影是代数量，正负与平面力系在轴上的投影规定相同。

图4 1

图4 2

二、二次投影法

当力F与坐标轴Ox、Oy间的夹角不易确定时，可把力F先投影到坐标平面Oxy上，得到力F_xy，然后再把这个力投影到x、y轴上。在图4 2中，已知角γ和φ，则力F在三个坐标轴上的投影分别为

X=FsinγcosφY=FsinγsinφZ=Fcos

㊣

╮

γ╯

（4 2）

三、力的合成

如果已知力F在正交轴系Oxyz的三个投影，则可求得力F的大小和方向，即

F=㊣X²+Y²+Z² cosα=X

F

cosβ=YF cosγ=Z

㊣

╮

F╯

（4 3）

【例41】图43所示的圆柱斜齿轮，其上受啮合力F_n的作用。已知斜齿轮的齿倾角（螺旋角）β和压力角α，试求力F_n沿x、y和z轴的分力。

图4 3

解：先将力F_n向z轴和Oxy平面投影，得

F_z=-F_nsinαF_xy=F_ncosα

再将力F_xy向x、y轴投影，得

F_x=-F_xysinβ=-F_ncosαsinβF_y=-F_xycosβ=-F_ncosαcosβ

则F_n沿各轴的分力为

F_x=-F_ncosαsinβi，F_y=-F_ncosαcosβj，F_z=-F_nsinαk

式中，i、j、k为沿x、y、z轴的单位矢量，负号表明各分力与轴的正向相反。F_x称为轴向力，F_y称为圆周力，F_z称为径向力。

【例4 2】已知力沿直角坐标轴的分力为：X=3kN，Y=4kN，Z=-5kN，试求这

个力的大小和方向，并作图表示。

图4 4

解：根据式（43）求得

F=㊣X²+Y²+Z²=5㊣2（kN）

cosα=5

3㊣2=0.4243cosβ=5

4㊣2=0.5657

cosγ=5

-㊣52=-0.7071

则角度为

α=64.9°，β=55.55°，γ=180°-45°=135°

作图如图44所示。