3.4 平面静定桁架

工程中，房屋、桥梁、起重机、塔架等结构常用桁架结构，如图3.15所示。桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链铰接而成的几何不变体结构。桁架中的杆件都是二力构件，杆件承受拉力或压力，充分发挥了材料的力学性能。由于其受力合理、节省材料、计算简单、施工方便，故被广泛用于工程中。

为简化计算,平面桁架常采用以下基本假设：

（1）所有杆件都是直杆，杆件的轴线都在同一平面内（该平面称为桁架的中心平面）。

（2）杆端节点均为光滑铰链连接。

（3）主动力（荷载）只作用在节点上，且在桁架平面内。

（4）所有杆件的自重忽略不计，或平均分配在杆端节点上。

这样的平面桁架称平面理想桁架。

本节只研究平面静定桁架。如从桁架中除去任一杆，则桁架就会变为几何可变，这种桁架称为无余杆桁架，这类桁架可如下构成：以一铰接三角形框架为基础，每增加2杆，同时增加1个节点，这样构成的桁架也称为平面简单桁架。其杆件数m和节点数n满足关系：m-3=2(n-3)。即

由于每个节点作用一个平面汇交力系，故总共可以列出2n个独立平衡方程，m根杆共有m个未知内力，加上3个约束反力，总共有m+3个未知量。这样，方程数和未知量数目相等，说明简单桁架为静定结构。

若m+3>2n则为超静定结构，这种桁架称为有余杆桁架（即复杂桁架）。

而m+3<2n则为可动结构，显然这种结构不是桁架。如图3.16所示。

分析时，各个杆件的内力一般先假设为受拉，当计算结果为正时，说明杆件受拉；当计算结果为负时，杆件受压。二力杆内力规定：杆件受拉为正，受压为负。

零杆——内力为零的杆。解桁架问题时，若先判断出结构中的零杆，可能会使问题简化。

由静力学平衡原理，如图3.17所示的三种情形存在零杆。

根据平面简单桁架的特点，计算其杆件内力的方法有节点法和截面法。

1.节点法

节点法是截取桁架的一个节点为隔离体计算桁架内力的方法。节点上的荷载、反力和杆件内力作用线都汇交于一点，组成了平面汇交力系，利用平面汇交力系求解内力。每一个节点只能求解两根杆件的内力，因此节点法最适用于计算简单桁架。

【例3.10】 如图3.18所示为一平面简单桁架。已知F₁=F₂=F₃=10kN，求各杆的内力。

解：先以整体为研究对象，求出支座反力。由

再用节点法计算各杆的内力。对节点A列写平衡方程并求解，得到

∑F_y=0,F_Ay+F_s1sin30°=0

F_s1=-2F_Ay=-30（kN）

∑F_x=0,F_Ax+F_s1cos30°+F_s2=0

F_s2=-F_s1cos30°=26.0（kN）

对节点C列写平衡方程并求解，得到

∑F_y=0，F_s3+F₁cos30°=0

F_s3=-F₁cos30°=-8.7（kN）

∑F_x=0，F_s4-F₁sin30°-F_s1=0

F_s4=F₁sin30°+F_s1=-25（kN）

对节点D列写平衡方程并求解，得到

∑F_y=0，F_s5cos30°+F_s3cos30°=0

F_s5=-F_s3=8.7(kN)

∑F_x=0，F_s6+(F_s5-F_s3)cos60°-F_s2=0

F_s6=-（F_s5-F_s3）cos60°+F_s2=17.3（kN）

注意到此桁架的结构和受力都是对称的，内力也一定是对称的，故有

F_s7=F_s5=8.7（kN），F_s8=F_s4=-25（kN），F_s9=F_s3=-8.7（kN）

F_s10=F_s2=26.0（kN），F_s11=F_s1=-30（kN）

2.截面法

截面法是用适当的截面，截取桁架的一部分（至少包括两个节点）为隔离体，利用平面任意力系的平衡条件进行求解。截面法最适用于求解指定杆件的内力，隔离体上的未知力一般不超过三个。注意，若隔离体中一根杆件被连续截断两次，由静力学原理可知，可去掉该杆。

【例3.11】 试求图3.19（a）所示桁架中杆件1、2、3、4的内力（长度单位：m）。

解：先选取截面a—a，假设将杆件IG、IH、JH截断，取右半部分为研究对象，作出受力图如图3.19（b）所示。列出平衡方程

∑F_y=0,-S₁-P=0

解得 S₁=-P（压）

再选取截面b—b，假设将杆件IG、HG、HE截断，取右半部分为研究对象，作出受力图如图3.19（c）所示。列出平衡方程

最后选取截面c—c，假设将杆件GD、GF、FE、EC截断，取右半部分为研究对象，作出受力图如图3.19（d）所示。列出平衡方程

∑M_E(F)=0,S₃×4-P×5=0

在解决一些复杂的桁架时，单应用节点法或截面法往往不能够求解结构的内力，需要将这两种方法进行联合来解题，这种方法称为联合法。