3．2　转轴时应变分量的变换

设在坐标系Oxyz下，物体内某一点的6个应变分量为εx、εy、εz、γxy、γyz、γzx。现使坐标系旋转某一角度，得新坐标系Ox′y′z′，设新坐标系下的应变分量为εx′、εy′、εz′、γx′y′、γy′z′、γz′x′，建立新旧坐标系之间的变换关系。

设新旧坐标轴夹角的方向余弦见表3．2．1　。

先建立转轴时位移分量的变换关系。设位移矢量U在老坐标系中的3个分量为u、v、w，而在新坐标系中的3个分量为u′、v′、w′，于是有

式中：e′1、e′2、e′3为3个新坐标轴的单位矢量。

利用方向导数公式

式中：l、m、n分别为矢量s对x、y、z轴的方向余弦。

于是新坐标系中的应变分量为

根据几何方程式（3．1．10），得

将上述应变张量分量表示数字形式，有

类似可以求得其余的正应变和切应变分量，最后可以将新、旧坐标系应变之间的关系用张量形式表示如下：

式（3．2．3）就是坐标变换时，二阶应变张量εij服从的变换规律，由此可以求得不同坐标系下的应变张量分量。

采用上面同样的方法，还不难导出过物体内一点沿任意方向微分线段的伸长率：

这里l、m、n为该微分线段的方向余弦。