3．5　应变协调方程

式（3．1．10）表明，6个应变分量是通过3个位移分量表示的，因此，6个应变分量之间不是独立的，它们之间必然存在着一定的联系。我们可以根据式（3．1．10）由位移分量方便地求出应变分量；但是反过来，由应变分量求解位移分量时，式（3．1．14）则是包含6个方程而只有3个未知函数的偏微分方程组，由于方程的个数超过未知函数的个数，方程组可能是矛盾的。为使这个方程组不矛盾，则6个应变分量必须满足一定的条件，这个条件就是应变协调方程。从物理意义上理解，若把一个物体划分成许多网格，如果对应变不加任何约束，也就是不要求应变协调的话，网格在变形后可能出现“撕裂”或“套叠”的位移不协调现象，从而破坏物体的整体连续性。

为了得到应变协调方程，我们从式（3．1．10）中消去位移分量。例如，将εx（ε11）的二阶导数和εy（ε22）的二阶导数相加得

即

类似地可以得到一共6个应变协调方程：

满足以上6个应变协调方程，就可以保证得到单值连续的位移函数。

应当指出，弹塑性力学问题求解时，如果先正确求出物体各点的位移函数u、v、w，再根据式（3．1．10）求出应变分量，则应变协调方程自然满足；但是如果先求解的是应变分量，然后再由应变分量求解位移时，需要同时考虑应变协调方程。