2.2 轴流泵叶轮水动力学理论

由叶片泵的基本方程可知，由于轴流泵叶轮的进口和出口半径相同，因此，液体在叶轮进、出口的圆周速度也相同，即u1=u2，从而式 （2.15）变为

所以轴流泵叶轮产生的扬程要比离心泵叶轮产生的扬程相对要低得多。

由于轴流泵叶轮的叶片数较少，叶片之间的流道宽大，以致在假定叶片无限多条件下导出的基本方程与实际情况出入较大。因为轴流泵叶轮的叶片剖面都采用机翼剖面的形状，故可以用机翼理论的升力原理来分析叶轮内的能量传递关系。

2.2.1 孤立翼型的空气动力特性

机翼理论的升力原理是以翼型的空气动力特性为基础的。所谓翼型即目前轴流泵叶片采用的 “机翼型断面的叶型”，也被简称为叶型。轴流泵叶轮是否具有较高的工作效率，关键是其叶型的流线形状。而按空气动力学原理设计的机翼断面的流线形状，能很好的满足轴流泵叶轮叶型的要求。

把一个孤立的具有一定翼展 （沿垂直于翼型方向上的长度）的翼型放置在相对无限大的一个具有平行流速的空气流场中，当实际流体绕流翼型时，就会产生如图2.13所示的流线。从该图可以看出，翼型上方的流体流速大于翼型下方的流速，因此，作用在翼型上表面的压力Pup小于作用于下表面上的压力Pdown，于是产生了一个作用在翼型上的力R。合力R可以分解为两个分力，即垂直于来流方向的升力Ry和平行于流体流动方向的阻力Rx，R与升力Ry之间的夹角λ称为升力角或滑翔角。如图2.14所示，在一定冲角Δα（无穷远来流方向与翼型弦的顺流方向之间的夹角）的条件下升力角的大小与翼型和液体的黏滞性等因素有关。由图2.14上的力三角形的几何关系可以得到，。显然，性能良好的翼型应具有升力大、阻力小的空气动力特性。因此，常用升阻比Ry/Rx或升力角λ来衡量翼型空气动力性能的好坏，升阻比越大或λ角越小表示其翼型性能越好。翼型的升力和阻力一般通过试验来确定，对单个翼型一般可采用以下公式计算：

图2.13 孤立翼型绕流受力分析

图2.14 实际流体绕流时作用在翼型上的力

式中：v∞为无穷远来流的流体速度；ρ为流体的密度；A为翼型在翼弦平面上的投影面积，为翼弦长l与翼展b的乘积，A=lb；Cy为单个翼型的升力系数；Cx为单个翼型的阻力系数。

升力系数Cy和阻力系数Cx是表征翼型性能好坏的重要参数，它们的数值取决于叶片的断面形状、相对厚度、表面粗糙度、冲角Δα和雷诺数Re等有关因素，通常可以在风洞或水洞内采用平行绕流翼型的试验方法加以确定，并将试验结果表示成阻力系数Cx和升力系数Cy与冲角Δα的关系曲线，如图2.15所示。

从图2.15可以看出，当冲角Δα从小变大时，阻力系数和升力系数都随冲角Δα而增大，但当冲角Δα超过某一数值时，由于在翼型的表面上形成较大的扩压区，导致流体的主流离开翼面，在翼型后面引起强烈的旋涡，使翼型上、下表面的压力差减小，并伴有强烈的噪音和振动。此时，阻力系数值急骤增高，而升力系数则开始陡降，这种现象称之为 “失速”。相应升力系数最大值的点称为 “失速点”。失速现象发生后会使翼型的空气动力性能极大地恶化，对轴流泵而言，失速工况将使泵的效率大大降低，并伴有噪音和振动。因此，在轴流泵设计中，一方面应使冲角小于失速点对应的冲角，另一方面应使升力角较小，使翼型具有较大的升阻比，以提高泵的效率。

图2.15 孤立翼型的空气动力特性

2.2.2 叶栅的空气动力特性

当流体绕流叶栅时，由于叶栅中翼型彼此间的相互干扰影响，使得叶栅的空气动力特性和流体绕流单个翼型时的空气动力特性就不完全相同。其差异表现为：流体绕流单个翼型时，液流在翼型前后的速度大小相同，方向不变；而流体绕流叶栅时，由于叶栅改变了栅前来流的速度方向，使叶栅前后的相对速度无论其大小还是方向都会发生一定程度的改变。因此，通常采用修正后的升力系数Cyc及阻力系数Cxc和无穷远处来流的相对速度w∞来计算作用于叶栅翼型上的升力Ryc和阻力Rxc的数值，即

式中：w∞为无穷远处来流的相对速度，根据H.E.儒柯夫斯基的证明，可用取叶栅翼型前、后相对速度w1和w2的几何平均值来代替，其大小和方向可由下面介绍的轴流泵叶轮速度三角形来确定；Cyc为叶栅内翼型的升力系数；Cxc为叶栅内翼型的阻力系数。

据有关试验资料证明，叶栅内翼型的阻力系数Cxc和升力系数Cyc与翼型的形状、叶栅稠密度l/t及翼型的安放角βe有关。当叶栅稠度l/t=0.5～0.7时 （轴流泵的叶栅稠密度通常都在这个范围内），叶栅中翼型彼此之间几乎没有干扰。因此，叶栅内翼型的阻力系数和升力系数值可以借助单个翼型的试验方法确定。

2.2.3 液体在叶轮内的运动及速度三角形

把同一半径上的圆柱截面展开成平面叶栅，就可以方便地研究流体绕过平面叶栅的流动状态。由于流体在同一叶栅上每个叶片的流动状况是基本相同的，所以只要分析其中的一个叶片的流动状况就可以拓展至整个叶轮。

图2.16 轴流泵叶轮进、出口三角形

轴流泵叶轮中液体的运动同样也是复合运动，即任一液体质点的绝对速度等于牵连速度与相对速度的矢量和。因此，叶轮中液体的运动也可以用速度三角形来描述。

轴流泵叶轮速度三角形的确定方法与离心泵叶轮基本相同，只是在轴流泵叶轮中，由于液体沿相同半径的圆柱形流面流动，所以在同一圆柱流面上叶栅前、后的牵连速度和轴面分速相同，或者说叶栅中任一翼型进、出口的圆周速度和轴面分速相同，即u1=u2=u，vm1=vm2=vm。因此，可以圆周速度u为底边、轴面分速vm为高，把进、出口速度三角形绘在一起，如图2.16所示。图中的w∞为用来代替无穷远处来流的相对速度，其大小和方向由下列公式确定：

式中：wm∞为无穷远处来流的相对速度在轴面上的投影，其大小与进、出口的轴面分速和相对速度在轴面上的投影相同，即wm∞=wm1=wm2=vm1=vm2=vm；wu1、wu2分别为进、出口相对速度在圆周速度方向上的投影。

w ∞也可用几何作图方法来确定。

2.2.4 轴流泵基本能量方程式

轴流泵翼型的工作与机翼的飞行原理相似，所不同的是，轴流泵翼型的形状与机翼形状相反，凸面在下，凹面在上。因此，液体对叶片的作用力方向朝下，根据作用力与反作用力原理，叶片对液体的作用力方向向上，大小相等。

2.2.3.1 基本能量方程的推导

以叶栅理论为基础的轴流泵基本能量方程解决的是二维流面问题，相对于一维流束理论的叶片泵基本方程则无须再假定叶片无穷多 （无限薄）。

（1）单翼型对液体的作用力。如图2.12在半径为r的流面叶栅中取一个翼展长度为dr的基元来分析单翼型对液体的作用力。如图2.17所示，无穷远处液体来流的流速为w∞，来流角为β∞；该基元翼型在弦上的投影面积为dA，其大小为翼展dr与翼弦长l的乘积，即dA=ldr。设该基元翼型对液体的作用力为dF，它为迎面阻力dFx与提升力dFy的几何和，且dF与dFy的夹角为λ。则有：

图2.17 基元单翼型对液体的作用力

基元叶片对液体的提升力dFy可由叶栅中单个翼型的升力公式求得，即

（2）单个翼型对液体所做的功。当叶轮以角速度ω转动时，只有合力dF的圆周分量dFu对旋转轴有力矩，所以翼展为dr的翼型产生的力矩dM在单位时间内对液体所做的功dP为

（3）叶栅对液体所做的功。设叶栅中有Z个翼型，则整个叶栅对液体所做的功为ZdP。如果以dQ表示半径为r和r+dr的两个同心圆柱面之间的流量，则：dQ=vm×2πrdr=vmZtdr。

由能量守恒原理，叶栅对在单位时间内流过的液体所做的功等于液流所获得的能量，即

ZdP=ρgdQHT

则可得

将dP的表达式代入上式后即得轴流泵叶轮的理论扬程：

因为有vm=w∞sinβ∞，所以有：

式 （2.26）和式 （2.27）均为翼型的升力理论导出的轴流泵叶轮的基本能量方程，它表达了理想液体在通过叶轮时所获得的单位重量能的关系式。

2.2.3.2 轴流泵基本能量方程的修正

上述轴流泵叶轮的基本能量方程式的导出没有叶片无穷多、无限薄的假定。因此，只需要对理想液体的假定加以修正即可。采用水力效率ηh对理论扬程进行修正，即

H=ηhHT

从理论上说，当给定了流体机械的工作参数Q、H、n后，如果利用欧拉方程式可以决定进出口处的速度三角形，也就可求得与之相适应的叶片几何形状了。但实际上，几何形状与速度分布的关系极为复杂，故工程应用不得不引入一些简化。引入不同的简化，就得到不同的理论与方法。

（1）一维理论采用了叶片无穷多及轴面流速度均匀分布的假定。在此假定下，流动状态只是轴面流线长度坐标的函数，故称为 “一维理论”，又称为 “流束理论”。它可以非常简单而方便地对叶片泵的工作进行定性的分析，用以阐述其工作原理简洁且易于为初学者理解，所以本书中仍将主要采用一维理论的方法。

（2）二维理论如在上述轴流泵叶轮基本能量方程的推导中，我们保留vm均匀分布而放弃叶片无穷多 （无限薄）的假定，直接应用流体力学直列叶栅理论求解。

（3）三维理论则完全放弃上述叶片无穷多 （无限薄）及轴面流速度均匀分布的假定，直接研究三维流场。如借助于适用的湍流模型，利用N S方程求解叶轮内的黏性流动。

目前三维流动计算已取得了很大的进展，可以在很大程度上减少模型试验的次数和规模，也是当前叶片式流体机械理论研究的重点和发展方向。