3.3 迹线与流线

3.3.1 迹线与流线的基本概念

某一液体质点在运动过程中，不同时刻所流经的空间点所连成的线称为迹线，即迹线就是液体质点运动时所走过的轨迹线。例如江河中漂浮物从一处漂浮到另一处时所画的曲线便是轨迹线。

显然，迹线注重的是液体质点的运动轨迹，即个别液体质点在不同时刻的运动情况，这正是拉格朗日法所描述的液体的运动情况。

流线是某一瞬时在流场中绘出的曲线，在这条曲线上所有各质点的流速矢量都和该曲线相切。所以流线表示出了瞬时的流动方向。显然，流线的概念是从欧拉法引申出来的。在欧拉法中，液体质点的运动规律是以速度场来描述液体运动的，速度场是矢量场，可以用它的矢线来形象地描述它。矢线是这样的曲线，在它上面每一点处的切线方向与对应于该点的矢量方向相重合。速度场的矢线就是流线。流线是这样的曲线，对于某一固定时刻而言，曲线上任一点的速度方向与曲线在该点的切线方向重合。

流线的绘制：设在某时刻t₁，流场中有一点A₁，该点的流速向量为u₁，在这个向量上取与A₁相距为ΔS₁的点A₂，在同一时刻，A₂点的流速向量设为u₂，在向量u₂上取与A₂点相距为ΔS₂的点A₃，若该时刻A₃点上的流速向量为u₃，在向量u₃上取与A₃点相距为ΔS₃的点A₄，…，如此继续，可以得出一条折线A₁、A₂、A₃、A₄，…，如让所取各点距离ΔS趋近于零，则折线变为一条曲线，这条曲线就是t₁时刻通过空间点A₁的一条流线，如图3.2所示。

图3.2

3.3.2 流线的基本特征

（1）恒定流时，因为整个流场内各点流速向量均不随时间而改变，所以流线的形状和位置不随时间而改变。显然，不同时刻的流线的形状和位置是固定不变的，但非恒定流时流线是随时间而变的。

（2）恒定流时，流线与迹线相重合，而非恒定流时，不同时刻各点的流速方向均与原来的不同，此时迹线一般与流线不相重合。

（3）流线不能相交，这是因为质点在同一时刻只能有一个流动方向，而不能有两个流动方向，如果流线相交，那么在交点处的流速向量应同时与这两条流线相切，显然，这与流线的定义是相悖的，所以流线是不能相交的。

3.3.3 迹线和流线方程

迹线是一个液体质点在一段时间内在空间运动的轨迹线，它给出同一质点在不同时刻的速度方向。从式（3.1）消去t后，即得在直角坐标中的迹线方程，为一迹线簇。给定（a，b，c）就可得到以x，y，z表示的该液体质点（a，b，c）的迹线。

如果知道流速场中三个坐标方向的流速，迹线方程也可以从欧拉方程得到。设在任一空间点A（x，y，z）上的质点运动速度为u，可以定义质点M沿着自己的轨迹移动了一个无限小的距离（弧长）ds，所经过的时间为dt，则速度向量u=ds/dt，设弧长ds在三个坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz，则速度向量在三个坐标轴上的投影为u_x=dx/dt，u_y=dy/dt，u_z=dz/dt，从中解出时间dt，则得迹线的微分方程为

式中：t是自变量，x、y、z是t的函数。

积分后在所得表示式中消去时间t，即得迹线方程。

流线是以速度场来描述液体运动的。它是同一时刻不同质点所组成的曲线，它给出该时刻不同液体质点的速度方向。根据流线的定义，就可建立流线的微分方程。

设有一空间流线，若流线上某一点M的速度为u→，在三个坐标轴上的投影分别为u_x、u_y、u_z，如图3.3所示。则速度与坐标轴的方向余弦为

cos(u,x)=u_x/u

cos(u,y)=u_y/u

cos(u,z)=u_z/u

在流线上过M点切线取一微小流段ds，它在坐标轴上的投影分别为dx、dy、dz，它与坐标轴的方向余弦为

cos(s,x)=dx/ds

cos(s,y)=dy/ds

cos(s,z)=dz/ds

根据流线的定义，流线的切线和速度矢量相重合，对应的方向余弦应相等，即

图3.3

dx/ds=u_x/u

dy/ds=u_y/u

dz/ds=u_z/u

由上式可得

式（3.10）即为液体在空间运动时流线的微分方程，式中u_x，u_y，u_z都是变量x、y、z和t的函数。因为流线是某一指定时刻的曲线，所以时间t不应作为自变量，只能作为一个参变量出现。欲求某一指定时刻的流线，需要把时间t作为常数代入上式，然后进行积分。

【例题3.1】 已知液体质点的运动，由拉格朗日变数表示为

式中，α（t）为时间t的某一函数，试求液体质点的轨迹。

解：

对以上两式等号两边平方得

将以上两式相加得

x ²+y²=a²+b²

上式表明，液体质点的迹线是一同心圆簇，圆心在原点 （0，0），半径，对于某一给定的 （a，b）则为一确定的圆。

【例题3.2】 设在流场中任一点的速度分量由欧拉变数给出为u_x=x+t，u_y=-y+t，u_z=0，试求t=0时通过A（-1，-1）的流体质点的轨迹。

解：

对dx/dt=x+t积分，令t=0得dx/x=dt，对此式积分，，得lnx=t+c，解出

对上式求微分得dx=e^tdc₁+c₁e^tdt，将此式和式（4）代入式（1）得e^tdc₁+c₁e^tdt=（c₁e^t+t）dt，化简得e^tdc₁=tdt，则dc₁=（t/e^t）dt，积分得

将式（5）代入式（4）得

下面决定积分常数，当t=0时，x=-1，y=-1，代入式（6）、式（7）得c₂=0，c₃=0，由此得

x=-t-1

y=t-1

将以上两式相加得 x+y=-2

上式为直线方程，即迹线是一直线。

【例题3.3】 已知液流中任一点的流速分量为u_x=kx，u_y=-ky，u_z=0，其中k为常量，求流线方程，绘出流线图。

解：

因为u_z=0，说明液流为xoy平面上的流动，由流线方程得

对上式积分得lnx=-lny+lnc，求得

例题3.3图

xy=c

上式即为所求的流线方程。可见流线是以x轴和y轴为渐近线的双曲线，如图所示。

【例题3.4】 设在流体中任一点的速度分量由欧拉变数给出为u_x=x+t，u_y=-y+t，u_z=0，试求t=0时通过A（-1，-1）的流体质点的流线。

解：

由流线的微分方程（3.10）得

因为t为参变数，设t为常量，对上式积分得ln（x+t）=-ln（-y+t）+lnc，则

(x+t)(-y+t)=c

由上式可知，流体的任一瞬时的流线是一双曲线簇。当t=0时，x=-1，y=-1，代入上式得c=-1，所以

xy=1

上式为一等边双曲线方程，即流线是一等边双曲线。因为通过点A（-1，-1），所以在第三象限。

【例题3.5】 仍为上例，考虑的是恒定流，速度与时间无关，则u_x=x，u_y=-y，u_z=0，试求t=0时通过A（-1，-1）的流体质点的迹线。

解：

迹线的微分方程为式（3.9），将流速分量代入得dx/x=dt，dy/（-y）=dt，消去dt后得

对上式积分得xy=c。当t=0时，x=-1，y=-1，则c=1，由此得

xy=1

比较以上两例可以看出，恒定流时流线与流线上的液体质点的迹线相重合。