2.5 液体作用在平面上的总压力
2.5.1 平面图形的几何性质
xoy平面上有一任意形状的几何图形，其形心在C点，面积为A。直线L通过C点并平行于x轴，C点到x轴距离，也即直线L与x轴的距离为yc，如图2.11所示。
图2.11 平面图形的几何性质
将平面图形划分成若干微元面积，其中一微元面的面积为ΔA，其形心到x轴距离为y，那么乘积yΔA和y2ΔA分别叫微元面对x轴的静矩和惯性矩，而积分式
dA分别表示平面图形对x轴的静矩和惯性矩。
由数学分析，
等于平面图形的面积A与图形形心C到x轴距离yc之积：
由惯性矩的平行移轴定理，
dA等于平面图形对过其形心且平行于x轴的直线L的惯性矩Jc和平面图形面积A与yc平方之积的和：
式（2.28）是计算平面图形对x轴惯性矩常用公式。
工程中常用对称规则平面的形心位置yc和对通过平面形心水平轴的惯性矩Jc见表2.1。
表2.1 常见图形的形心坐标、惯性矩和面积
2.5.2 平面壁上总压力的计算
一面积为A的平面完全淹没在密度为ρ的静止液体的液面之下，平面上各点压强是一与作用点深度成正比的变量，从而在平面上作用了一非均匀的分布力系。可以用一集中力代替这一分布力系。由于平面各点压强都与平面正交，因而合力即总压力也将垂直于平面，下面将讨论总压力P大小的计算及总压力与平面交点位置即压力中心D的确定。
静止液体作用在平面上的总压力计算有解析法和图解法两种。
1.解析法
设液下一平面与液面夹角为α，建立一直角坐标系，坐标原点O在液面，y轴通过平面形心C点，正向向下，如图2.12所示。图中hc为平面形心C处深度，yc为形心C的y坐标，显然，hc=ycsinα。
图2.12 平面壁的液体压力
在平面上取一大小为dA的微元面积，dA形心处水深为h，于是微面积处压强为ρgh。由于h=ysinα，于是微元面积形心处压强可写为ρgysinα，在dA充分小的条件下，可以认为微元面积上压强为常数，因而微元面积上压力大小为ρgysinαdA，于是液下平面所受总压力P为
代入式（2.27）：
式（2.29）中ρghc是液下平面形心处压强。该式表明，作用于液下平面由液体产生的压力大小等于平面形心处压强与平面淹没面积的乘积，形心处压强等于被淹没面积的平均压强。应注意，此处的压强应为相对压强。
平面上静水压力作用线与平面的交点叫压力中心D。除开平面水平放置的特殊情况，压力中心与平面形心并不重合，而在形心位置以下。事实上，形心是平面的几何属性，压力中心是合力的力学属性。
设压力中心D沿平面到液面距离即D点的纵坐标为yd，yd可以由力矩定理确定：总压力P对x轴的力矩Pyd应等于平面上所有微元面积的压力对x轴力矩的和
，即
上式左边
右边
由此得
代入式（2.28），整理得
由此可看出，压力中心在平面形心之下，两点在平面上距离为Jc/ycA。工程中常用轴对称图形的压力中心一定位于对称轴上，不必计算压力中心的x坐标。
2.图解法
解析法适用于任意形状的平面，图解法仅适用于一边平行于水面的矩形平面。图解法的步骤是：先绘制压强分布图，总压力的大小等于压强分布图的面积乘以受压平面的宽度；压力中心的位置相当于压强分布图的几何形心点位置。
使用图解法的关键在于绘制压强分布图，压强分布图是在受压平面上，以一定的比尺绘制压强（大小、方向）分布的图形。按照压强沿水深线性变化的关系，首先标出受压面起点和终点的压强，再以直线连接，而压强方向始终垂直于受压面，如图2.13所示。
图2.13 压强分布图
【例2.3】 设有一铅垂放置的矩形闸门，如图2.14所示。已知闸门高度h=2m，宽度b=3m，闸门上缘到水面的距离h1=1m。试用图解法和解析法求解作用在闸门上的静水总压力Fp。
图2.14 ［例2.3］图
解：（1）图解法。绘制闸门对称轴AB线上的压强分布图ABFE，如图2.14（a）所示。静水总压力大小等于图形ABFE的面积乘以闸门的宽度，即
压力中心点D位于梯形ABFE的几何形心点处，因此距水面的距离yd为
（2）解析法。由式 （2.29）可知，
压力中心点D距水面的距离yd由式（2.31）得到
