§2.1 力矢与力矩

1.力矢

作用在刚体上的力F，当发生平移后，并不改变对刚体的移动效应。这一事实说明力的移动效应是由力的大小和方向决定，与其作用点无关。将由力的大小和方向所确定的矢量称为力矢。力矢反映了力的移动效应。力矢是一个自由矢量，而力是一个定位矢量。

2.力在坐标轴上的投影

矢量在平面内可以有任何方向，为了便于分析，在平面内设置相互垂直的坐标轴（x轴和y轴），任意方向的力矢都可以用x轴和y轴两方位的分力矢表达，如图2.1所示（F=F_x+F_y）。而每一个分力矢的指向只可能有两个，要么与轴的正向相同，要么与轴的正向相反。因此，沿轴方向的分力矢可用一个代数量反映，当分力矢的指向与相应的轴正向相同时用正值，反之取负值。图2.1（a）所示力矢F_x、F_y对应的代数值为F_x>0、F_y>0；图2.1（b）所示力矢F_x、F_y对应的代数值为F_x<0、F_y<0；由力F的起点A和终点B分别向x轴引垂线，得垂足a、b，则线段ab的长度加上相应的正负号，定义为力F在x轴上的投影，即F_x=±ab；同理，力F在y轴上的投影为F_y=±a′b′。投影的正负号规定如下：若从力矢起点投影到终点投影的方向与轴正向一致，投影取正号；反之，取负号。由图2.1可知，若取力F作用线与x轴所夹锐角为α，投影F_x和F_y可用下列式子计算。

图2.1

由力矢可以求得投影，由投影是否可以求得力矢，回答是确定的。则该力矢F的大小F和方位角α可由式（2.2）确定：

力矢F的指向可由投影F_x和F_y的正负号确定。若F_x＞0、F_y＞0，力矢F指向第一象限；F_x＜0、F_y＞0，力矢F指向第二象限；F_x＜0、F_y＜0，力矢F指向第三象限；F_x＞0、F_y＜0，力矢F指向第四象限。

图2.2

应当注意的是：力的投影F_x、F_y与力的分力F_x、F_y是不同的，力的投影F_x、F_y是代数量，而力的分力F_x、F_y是矢量。只有在平面直角坐标系中，力沿坐标轴方位的分力大小与力在该轴上投影的绝对值大小相等。

力矢反映了力的平移效应，力的投影完全可以反映力矢，因此，力的投影完全反映了力的移动效应。

例题2.1 已知F₁=50kN，F₂=60kN，F₃=80kN，F₄=100kN，各力方向如图2.2所示。试分别求出各力在x轴和y轴上的投影。解：由式（2.1）可得

3.力对点之矩

当用扳手拧螺栓时，在扳手A点需加力F，将使扳手和螺母一起绕螺母中心O转动，如图2.3（a）所示。力F使扳手绕O点转动的效应，不仅与力F的大小成正比，而且还与点O到力的作用线的垂直距离d成正比。另外，力的方向不同，扳手绕点O转动的方向也随之改变。因此，可以用力F的大小与点O到力F作用线的垂直距离d的乘积，再冠以正负号来衡量力F使物体绕点O转动的效应，称为力F对点O之矩，简称力矩。用符号M_O（F）表示，即

图2.3

其中，点O称为“力矩中心”，简称“矩心”。矩心O到力的作用线的垂直距离d称为“力臂”，力F与矩心O所确定的平面称为力矩平面。式（2.3）中A_△OAB表示三角形OAB的面积，即由力的起点A、终点B和矩心O构成的面积，如图2.3（b）所示。

由式（2.3）可以看出，在平面力系中，力矩是代数量，其正负号规定为：力使物体绕矩心逆时针方向转动时，力矩为正；反之力矩为负。将力的箭头向矩心一侧偏转后即可判定转向。力矩的单位为N·m或kN·m。

由力矩的定义及计算公式可以得出如下结论：

（1）力对点之矩不仅与力的大小和方向有关，而且与矩心位置有关。同一个力对不同的矩心，其力矩一般是不相同的。因此在描述力矩时，必须要明确矩心。

（2）当力的大小为零（即F=0）或力的作用线通过矩心（即力臂d=0）时，力矩恒等于零。

（3）当力沿其作用线滑动时，不改变力对指定点之矩。

力矩反映了力对物体的转动效应。当一个力确定之后，这个力对物体的转动效应就完全确定；力的作用线将平面可分为两部分，一部分为顺转区，另一部分为逆转区；区域内的每一个点距力作用线越远，力对点的转动效应越大，反之越小，而作用线上的转动效应为零，如图2.3（b）所示。

力对物体的运动效应可以分为移动效应和转动效应，其中力对物体的移动效应用力矢来度量，而力对物体的转动效应则用力对点之矩来度量。对刚体而言，一个力的力矢和对某点之矩已知后，这个力完全可以确定。因此，一个力可由其力矢和对某点之矩来反映。

4.合力矩定理

平面汇交力系的合力对于平面内任一点之矩，等于所有各分力对该点之矩的代数和。即

图2.4

证明：由力F₁和力F₂组成作用在A点的一汇交力系，其合力为F_R。如图2.4所示，以力作用点A和矩心O的连线OA为底边，分别以两个分力、合力为邻边可作三个三角形（△OAB、△OAC、△OAD），如图2.4所示。则△OAC的高为CE，△OAD的高为DG，△OAB的高为BK。过B点作OA的平行线交于CE上的点H。由几何关系可知：

根据力对点之矩的定义，由式（2.3）可得

将式（2.5）代入式（2.6）得

定理得证。

在工程计算中，求一个力对某点之矩时，当力臂难以计算时，可将这一力分解成便于确定力臂的两个分力，再应用合力矩定理求解力对点之矩，这样往往可给计算带来很大方便。

例题2.2 试计算图2.5中力F对A点之矩。

解：本例可有两种解法。

1.由力矩的定义计算力F对A点之矩。

先求力臂d。由图中几何关系得

图2.5

所以

2.根据合力矩定理计算力F对A点之矩。

将力F在C点分解为正交的两个分力F_x和F_y，由合力矩定理可得

本例两种方法的计算结果是相同的，对比可以看出，当力臂不易确定时，用后一种方法较为简便。