2.2 重力作用下静水压强的基本方程式

由静水压强的特性分析可知，静水压强的大小仅与空间位置有关，下面按静止液体的平衡条件，导出静水压强的大小及其分布规律。

图2.5 静止液体受力分析

（1）图2.5（a）为仅在重力作用下处于静止状态的水体，水表面受压强p₀的作用。在水体中有任意两点1、2，它们在水下的深度分别为h₁和h₂，两点的水深差为Δh，静水压强分别为p₁和p₂，围绕点2，取一个水平的铅直柱体为脱离体以其微小面积ΔA为底、Δh为高，以下分析其受力。

首先，分析小柱体受到的质量力，由于是在重力作用下处于静止状态的，所以质量力只有重力，即小水柱的自重G=γΔhΔA，方向垂直向下。

其次，分析小柱体受到的表面力，有3部分组成：

1）作用在小水柱顶面的静水总压力p₁ΔA，方向垂直向下。

2）作用在小水柱底面上的静水总压力p₂ΔA，方向铅垂直向上。

3）作用于小水柱周围表面上的水压力，因小水柱侧面皆为铅直面，侧面所受水压力皆为水平力，且小水柱处于静止状态，侧面上所受的水平力是相互平衡的。

根据静止液体受力平衡条件，在垂直方向上，作用于小水柱上向上的力必然等于向下的力，即

p ₂ΔA=p₁ΔA+γΔhΔA

等式两边同除以ΔA，得

式（2.3）和式（2.4）表明：1、2两点的压强差等于作用在单位面积上、高度为Δh的液柱重量γΔh。

（2）在图2.5中，若取共同的水平面0-0为基准面，1、2两点到基准面的高度分别为z₁、z₂，则Δh=z₁-z₂，代入式（2.4）整理可得

通过式（2.5），可以对静水压强分布规律有3点基本认知。

1）γ一定时，若z₁=z₂，则p₁=p₂，即同种液体内，水平面上的各点压强相等。

2）γ一定时，若z₂＜z₁，则p₂＞p₁，即同种液体内，位置越低点的压强越大。

3）γ一定时，若已知某点的p和z值，便可求得液体内其他各点的压强。

式 （2.5）表明：在静止液体中，各点的都相等，或者说，在同一容器的同种静止液体中，无论哪一点的总是一个常数，即

式（2.5）、式（2.6）即为静水压强基本方程式，式中各项含义将在本章2.6节中讨论。

在图2.5（a）中，若点1位于水面，即h₁=0、h₂=Δh=h、p₁=p₀、p₂=p时，如图2.5（b）所示，式（2.3）可写成

式（2.7）是常见的静水压强基本方程式，它表明：仅在重力作用下的静止液体中，任一点的静水压强由两部分组成，一部分是从液体表面上传来的表面压强p₀，另一部分是γh，它相当于单位面积上高为h的液柱重量。

由式（2.7）可推知，在静止液体中，表面压强p₀可等值地传递至液体中的任一点。这就是帕斯卡原理。

【例2.1】 如图2.6所示，某密闭水箱，若水面上的气体压强p₀=98kN/m²，h_A=0，h_B=1m，h_C=2m，要求①计算A、B、C 3点的压强；②以水箱底面0-0为基准面，验证A、B、C 3点的为一常数。

图2.6 ［例2.1］图

解：（1）依式（2.7）

A点h_A=0，p_A=p₀+γh_A=98kN/m²+9.8kN/m³×0m=98（kN/m²）

B点h_B=1m，p_B=p₀+γh_B=98kN/m²+9.8kN/m³×1m=107.8（kN/m²）

C点h_C=2m，p_C=p₀+γh_C=98kN/m²+9.8kN/m³×2m=117.6（kN/m²）

由计算可知，水深越大处压强越大。

由计算可知，在静止的同种液体中，各点的都相等，或各点的为同一常数。